人教A版高中数学必修第一册同步练习

2019人教版选修一曲线方程椭圆

一、单选题

1.椭圆注+廿=1的焦点坐标为()

43

A.(0,±1)B.(±1,0)C.(0,±V7)D.(±b,0)

2.已知椭圆C:捺+3=l(a>b>0),若长轴长为8,离心率为1,则此椭圆的标准方程为()

A.日+£=1B.^+^=lC.直+亚=1D.直+^=1

644864161641612

22

3.P是椭圆x+4y=16上一点，%,F2是该椭圆的两个焦点，且IPFJI=7,则\PF2\=()

A.1B.3C.5D.9

4."m>0”是"方程上+止=1表示焦点在x轴的椭圆"的()

m+12m

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设M是椭圆亡+片=1上的一点，％,尸2为焦点，且^FIMF2=7.则AMF/z的面积为()

2516b

A.竽B.16(2+V3)C.16(2-V3)D.16

6.已知椭圆捺+，=l(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB_LBF,则椭

圆的离心率为()

A*B.更C.殳1D.旦

2222

7.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为e=g，过点(2(1,-2)的直线1与椭圆相交于A,

B两点，若点Q是线段4B的中点，则直线I的斜率为()

A.2或!B.2或8C.；或!D.；或8

oZoL

8.椭圆，+，=1(a>b>0)上一点M关于原点的对称点为N,F为椭圆的一个焦点，若加・

而=0,且ZMNF=I,则该椭圆的离心率为()

A.1-—B.—C.—D.V3-1

223

二、多选题

9.若方程三+工=1表示椭圆C,则下面结论正确的是()

9-kk-1

A./CG(1,9)B.椭圆C的焦距为2企

C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k6(1,5)D.若椭圆C的焦点在y轴上，则ke(5,9)

10.若椭圆C:日+—=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论中正确的是()

mm^—1

A.m=2B.C的长轴长为28C.C的短轴长为4D.C的离心率为g

11.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个

焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,

最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2Q和2c2分别表示椭圆轨

道I和II的焦距，用2al和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是()

I

\P

ClC2

A,%+Cl=02+c2B.Q]-C]=Q2-c2c.。1敢>@遥2D.~―

12.我们通常称离心率为亨的椭圆为"黄金椭圆如图，已知椭圆C:，+、=l(a>b>0),AltA2

分别为左、右顶点，Bi,B2分别为上、下顶点，F],尸2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则

满足下列条件能使椭圆C为"黄金椭圆”的有()

2

A.\A1F1\-\F2A2\=\F1F2\

B.ZFABXA2=90°

C.PF】轴，且PO//A2Br

D.四边形AB2A2BT的内切圆过焦点片,F2

三、填空题

13.已知过点M(l,-g)的椭圆C的焦点分别为Fj(-1,0),匕(1，0)，则椭圆C的标准方程是.

14.在直角三角形ABC中，AB=AC=1,椭圆的一个焦点为C,另一个焦点在边AB上，并且椭圆经

过点A,B，则椭圆的长轴长等于.

15.已知椭圆C：J+y2=l,A,B是椭圆C上两点，且关于点M时曰)对称，P是椭圆C外一点，满

足P4,PB的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是.

16.已知椭圆捺+，=i(a>b>0)的左，右焦点分别为Fi,F2,若椭圆上存在一点P使得|P%|=

2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是.

四、解答题

17.已知椭圆的长轴在x轴上，长轴长为4,离心率为更，

2

(1)求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.

(2)直线x—2y—2=0与椭圆交于A.B两点，求A.B两点的距离.

18.已知椭圆E：4+4=1(a>b>0)的焦距为2K，且离心率为血.

(1)求E的方程；

(II)若直线y^kx+1(k>”与E相交于A,B两点，M为E的左顶点，且满足MA1MB,求

k.

19.已知椭圆C:^+^=l(a>b>0)的左、右焦点分别是片产2，且离心率为当，点M为椭圆下上动

点，ZAF1MF2面积的最大值为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若M是椭圆C的上顶点，直线MF1交椭圆C于点N,过点片的直线/(直线I的斜率不为

1)与椭圆C交于P、Q两点，点P在点Q的上方.若SAFIMP：SAFINQ=3-.2,求直线I的方程.

20.已知椭圆E£+，=l(a>b>0)的左右焦点分别为Fi,F2,其离心率为苧,点P熊，当在

椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)经过椭圆E的左焦点Fi作斜率之积为的两条直线h，12.直线11交椭圆E于A,B,直

线12交椭圆E于C,D,G,H分别是线段AB,CD的中点，求ZiGHF2面积的最大值.

.已知四点中恰有三点在椭圆，上,其中a>b>

21Pi(l,y),P2(-1,-y),P3(l.l)A(0,l)4+=1

0.

(1)求a,b的值；

(2)若直线I过定点M(2,0)且与椭圆C交于A.B两点(I与x轴不重合)，点B关于x轴的对

称点为点D.探究：直线AD是否过定点，若是，求出该定点的坐标：若不是，请说明理由.

22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:\+，=l(a>b>0)的离心率为与，直线y=x被椭圆C截得

的线段长为字.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过原点的直线与椭圆C交于401)1)、5(-%1，-yi)两点(A、B不与椭圆C的顶点重合)，点£>(x2,y2)

在椭圆C上，且A0J.4B,直线BD与x轴交于M点，设直线BD、AM的斜率分别为自、七，证明存

在常数A使得自=人心，并求出入的值.

答案解析部分

一、单选题

1.B

解：由题意，椭圆—+—=1,可得=4/2=3，所以c=Va2-b2=1，

43

又由椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为F(土1,0).

故B.

2.D

解：因为椭圆=l(a>6>0)长轴长为8,所以2a=8,即a=4,

又离心率为J,所以£=；，解得：。=2,

2a2

则b2=a2-c2=12,

所以椭圆的标准方程为：-+^=1。

1612

故D

3.A

解：由％2+4y2=16得二+2^=1,

164

所以=16,所以a=4,

根据椭圆的定义可得|P%|+|P&I=2a=8,

又IPFJ=7所以\PF2\=1.

故A

4.B

解：由题意，方程—+^-=1表示焦点在x轴上的椭圆，

m+12m

则满足m+1>2m>0,解得0VmV1；

又由当0VmV1则必有m>0,但若m>0则不一定有0V?nV1成立，

所以"m>0"是"方程」匕+此=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要非充分条件.

m+12m

故B.

5.C

解：设MFi=x»MF2=%贝如+乂2=1。>

所以由余弦定理得：COS/F1MF2=22黑2-%=今瞰1肛=64(2-8),

所以SAW/2=?XiX2Sin4iMF2=16(2-百)。

6.D

解：因为4(一a,0),B(0,b),F(c,0),AB18F,所以kAB-kBF=-1,

所以g*(—2)=—1，所以b2=ac,所以a2—c2=ac,

2V5-1

所以1—/=e,所以e+e-1=0,所以e=­

7.A

解：解：由题意可得e=；T，所以由a,b,c之间的关系可得1一1="所以与=工

4a,4

M+%2=]力+尸2_

设A(x,yy),伏亚以)，由题意可得9

112二~一一乙'

因为A,B在椭圆上,

4+g=i

当焦点在x轴上时，则\，作差可得1±210，

出+金一1a2b2

a?+MT

所以皿=_1.山Z--1--1-=一1•

4-28

x^-x2a/yi+yz

=1

当焦点在y轴上时，则::作差可得=一

宏+奈=1

所以口=_[.5=_4-々=2,

xi-x2/yi+yz-2

综上所述直线I的斜率为：2或《，

O

故A.

8.D

解：如图，E是另一个焦点，由对称性知MENF是平行四边形,

•:而•而=0,M尸_LNF,MENF是矩形.

NMNF,：.ZMEF=,

\ME\—|EF|cos^=2cx|=c.\MF\—2csing=V3c,

A|MF|+\ME\=(V34-l)c=2a,

故D.

二、多选题

9.C,D

解：由题可知，端二?；，又椭圆中羊乒，故k—1H9—k,联立求得ke(1,5)U(5,9),A

不符合题意；

当9-k>k-l,即ke(1,5)时，焦点在x轴，c2=a2-b2=9-/c-(fc-1)=10-2fc,B不符

合题意，C符合题意；

当k-l>9-k,即ke(5,9)时，焦点在y轴上，c2a2-b2=k-1-(9-k)=2k-10,B不

符合题意，D符合题意，

故CD。

10.A,B

解：由已知可得Vm2-m-1-1,解得m=2或m=-1(舍去),

1•.a2=3,a=V3,h=V2,c=L

.•.长轴长为26，短轴长为2夜，离心率为e=。

故AB.

11.B,C

解：由题图可得由>。2勺>C2,[+C1>。2+C2，A不正确；

"\PF\=%-clt\PF\=a2-c2,Oj-Ci=a2-c2>B符合题意；

22

由ar-Ci=a2-c2得Q+c2)=(a2+Cj),即a；—c；+2ale2=a,-《+2a2c1,

即b\+2ale2=必+2a2J,+瓦>b2,Aa2cl>。声,吟>七，c符合题意，D不正确.

故BC

12.B,D

22

解：：椭圆C京+}=l(a>b>0)

&(一a,0)/2(a,0),Bi(0,b),B2(0,-Wc,0),F2(c,0)

对于A,若|4/1|,Mz&l=尸1/2『，则(a—c)2=(2c)2,a—c=2c,e=|,不满足条件，A

不符合条件；

对于B,4IBI4=90°,•••|42尸1|2=|8/1|2+出山|2

:.(a+c)2=a24-a24-b2,c2+ac—a2=0

e2+e-1=0，解得e=四或e=­（舍去），B符合条件;

对于C,P/_Lx轴，且P0〃A24，，P(—c,J)

五=_L,解得b=c

-c-a

•-a2=b2+c2,a=V2c

e=£=卷=2,不满足题意，C不符合条件：

aV2c2

对于四边形ABAB的内切圆过焦点

D,1221FVF2

即四边形711^2^2^1的内切圆的半径为c,ab=c>Ja24-b2

：.c4-3a2c2+a4=0,e4-3e2+1=0,解得e2=U(舍去)或e?=上且，

22

D符合条件.

故BD.

13-T+T=1

解：由题意2a==4,a=2,所以

b=V22-I2=V3

所以椭圆方程为9+9=1・

故仆.

解：解：如图,

设椭圆的长轴长为2a,因为\AB\=\AC\=1,则|BC|=四，

\AF\=2a-l,\BF\=2a-V2,贝U2a-l+2a-V2=l，所以2a=竽.

故2

15.(-1-V13—V3—V39）或（-1+V13-V3+V39

解：设4(%1)1),8(%2)2)，•••A,B是椭圆C上两点,

d+y12=i

则｛4?，两式相减得g+x2y).+d+丫2)d一丫2)=0，

『丫22=1

是AB中点，则牛+会乃一%)=。，即霭=一小

故直线AB斜率为一理，则直线AB方程为y_^=-^(x_l),即y=一近％+理，

6z46V27z63

2

将直线方程代入椭圆得%—x-2=0,解得Xi=-lfx2=2,

则可得4(一1,£),B(2,0)

设P(m,n),则PA中点为(掾,竽)，PB中点为(等力)，

・・・PA,PB的中点均在椭圆C上,

3+份_

(mF?।-1m-V1=3------1m+V=13-----

-16~~1

则(16,，解得2或｛厂2

“((m+2)2n2

-V3-nV3=9-----i--V34-V39

16.+不=14

的坐标为(¥—V3—V39)或(产一百十屈、

-4)-4)•

-1-VI3-V3-V39-1+V13-V3+V39

故()或()•

2424

16.[1.1)

又|PFi|=2|P4|，所以|P%l=?，|PF2l=g，

解：由椭圆的定义可得\PF1\^\PF2\=2a,

在椭圆中，\PFi\-\PF2\<2c,所以y<2c,即e=

又2a>2c，所以e=-a<1,

所以该椭圆离心率的取值范围是［1,1).

故巳1)

四、解答题

17.(1)解：由已知：a=2,-=—

a2

故C=遮，b=1,

则椭圆的方程为：^+y2=l,

所以椭圆的短轴长为2,焦距为2次

x-2y-2=0X=0

x=2

⑵解：联立｛q+y2=i，解得｛4二1f2

%=0

所以4(0,-1),8(2,0),

故\AB\=V5

18.解：(I)解：由题意知2c=2V3,-=—，

a2

又因为a2=b2+c2解得Q=2,b=1,c=y/3

故E的标准方程为立+y2=i

4)

x22--1

(H)由｛1十y=，得(1+4/c2)%2+8/cx=0,

y=kx+1

得x=0或x=-热

不妨设4（0,1），B（XB，）/B），则冷=一言3,yB=

由（I）知M（-2,。）,故两=（2,1）,丽=（啥评，芸）,

由MA1MB,知拓？.丽=0

次丽二滔/+1一4〃

1+4/

12k2一弘+5_(2"-)1(64-5)_。

-1+4/­-1+4/­

又因为fc>1,故k=：.

L0

19.(1)解：△尸1加?2面积的最Smax=glF/zl,b=芸2c•b=be=1

又£=立，所以b=c,解得｛b=；.

即a=y/2,b=l,故椭圆C的标准方程为1+y2=1

（2）解：由题可得直线MF1的方程为y=x+l,

联立，得做号，*），则籍号

2J

因为Sj"iMP’zlF[NQ3:2,贝lj91.（2尸对114尸4=2姐.「「对114尸1”）,

得QF、=2PFi,

当直线I的斜率为。时，不符合题意，

故设直线I的方程为%=my-l,P（%i，yi）,Q（%2，y2），由点P在点Q的上方，则y2=-2月

2m

x=my-1则六十及=甲

联立｛反+/=],得(力2+2)y2—2my-1=0,

2,旷/2=诉

得仁二罡

，则一2（患）2=忌，得m2=-2,m=±,—V14

77

又yi+y2=急=-yi<o，则m=—,不符合题意，所以巾=一任

77

故直线I的方程为7x+VT5y+7=0

20.（1）解：因为e合小得”3则系+会1，

又椭圆经过点P（我］），则奈+今=1，即炉=1,

故椭圆E的标准方程为^+y2=l

)，

（2）解：设直线L的斜率为七，则/1：y=^（%+V3），设力（曲,力），8(X2”

联立（y；^2^得，（1+4监）/+8原货+12峪-4=0,

8国店12好

%1%2

打+久2=-E'1+44

AB的中点G（一六管,音，同理可得CD的中点，（一言也，］，

，I'1N］LI1N］，I1/v2XI11iv2

1+4q1+4畋3

k也~»所以,ken=

4V3fc|4V3fc2一461+故)

1+4.l+4kj

,4再解、43k2：

则GHL忌而(%+国)+西-

令y=0得x=—竽，所以GH在x轴上的交点为/（一竽,0），

所以S46小=合争湍_6k2।_15比i-灿

―1+4玲।―T4(4+6)+5，

15|£|__151

令t=k]—A?，^AGHF2~T而=万4罔4'

S<^.即AGHF面积的最大值手

因为\t\>V2，AGHF22

21.（1）解：因为2］（1,当岛（—1,一当关于原点对称，由题意得

和p4在椭圆上,

得：产1

=1