高中数学 章末质量评估(一)苏教版选修2-1

章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是____________解析“且”的否定为“或”，因此逆否命题为若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0.答案若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠02．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是____________．解析ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ＝4a2＋12a≤0))，解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.答案[－3，0]3．给出下列命题：(1)命题：“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”(2)命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；(3)命题“若a>b>0，则eq\r(3,a)>eq\r(3,b)>0”的逆否命题；(4)“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的个数为____________．解析易知(1)(2)(3)正确；(4)mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0,Δ<0))⇒m∈∅，故(4)错误．答案34．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的有____________(填序号)．①命题“p且q”是真命题②命题“p且q”是假命题③命题“p或q”是真命题④命题“p或q”是假命题解析∵“非p或非q”是假命题，∴非p和非q都是假命题，∴p和q都是真命题，故“p且q”和“p或q”都是真命题．答案①③5．在△ABC中，“sin2A＝sin2B”是“A＝B”解析由sin2A＝sin2B，得：A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，∴sin2A＝sin2B⇒/A＝B，而A＝B，可得sin2A＝sin2答案必要不充分6．设有四个命题：①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件；④a，b是平面α外的两条直线，且a∥α，则a∥b是b∥α的必要而不充分条件；其中真命题的个数是______．解析两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的必要而不充分条件，①错；一条直线垂直于一个平面内无数条直线不能得出这条直线垂直于这个平面，②错；空间两个角相等或互补，它们的边可以什么关系也没有，③错；a，b是平面α外的两条直线，且a∥α，则a∥b是b∥α的充分而不必要条件，④错．答案07．条件甲：eq\r(1＋sinθ)＝eq\f(1,2)，条件乙：sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,2)，则甲是乙的____________条件．解析因为eq\r(1＋sinθ)＝eq\r(sin2\f(θ,2)＋cos2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝|sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)|，所以甲是乙的必要不充分条件．答案必要不充分8．下列四种说法中，错误的个数是______．①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0②“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；③“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；④若实数x，y∈[0，1]，则满足：x2＋y2>1的概率为eq\f(π,4).解析③与④错，③中m＝0时不成立，④的概率应为1－eq\f(π,4).答案29．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是____________．解析命题p等价于Δ＝a2－16≥0，∴a≤－4或a≥4；命题q等价于－eq\f(a,4)≤3，∴a≥－12.p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．∴实数a的取值范围为(－4，4)∪(－∞，－12)．答案(－4，4)∪(－∞，－12)10．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－eq\f(b,a)}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a<x<b}，则“p且q”、“p或q”及“非p”形式的复合命题中的真命题是______．解析命题p为假命题，命题q为假命题，故只有“非p”是真命题．答案非p11．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多两个实根．其中正确的命题有______(填序号)．解析当c＝0时，f(x)是奇函数，①正确；b＝0，c>0时，g(x)＝x|x|为单调函数，所以方程f(x)＝0只有一个实根，②正确；f(x)＋f(－x)＝2c，所以f(x)的图象关于(0，c)对称，正确；方程f(x)＝0可能有一个、两个、三个、四个实根，④错误．答案①②③12．已知命题p：函数f(x)＝(eq\f(1,2))x－logeq\s\do9(\f(1,3))x在区间(0，eq\f(1,3))内存在零点，命题q：存在负数x使得(eq\f(1,2))x>(eq\f(1,3))x，给出下列四个命题①p或q，②p且q，③p的否定，④q的否定，真命题的个数是______．解析y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x在x∈(0，eq\f(1,3))为减函数，且logeq\s\do9(\f(1,3))x>1，y＝(eq\f(1,2))x在x∈(0，eq\f(1,3))为减函数，且(eq\f(1,2))x<1，所以f(x)＝(eq\f(1,2))x－logeq\s\do9(\f(1,3))x在x∈(0，eq\f(1,3))恒有f(x)<0，即f(x)在x∈(0，eq\f(1,3))不存在零点，命题p错误．当x<0时，(eq\f(1,2))x<(eq\f(1,3))x，即命题q错误．所以只有“p的否定”是对的，“q的否定”是对的．答案213．设p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－12>0,3－x≥0,x＋3y≤12))，(x，y∈R)，q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若非q是非p的充分不必要条件，那么p是q______条件，r的取值范围是______．解析由非q是非p的充分不必要条件可知，p是q的充分不必要条件；由题意得p对应的平面区域应包含于q对应的平面区域，即p表示的区域内的所有的点在圆x2＋y2＝r2(x，y∈R，r>0)外，结合图形可知r的取值范围是(0，eq\f(12,5)]．答案充分不必要(0，eq\f(12,5)]14.若非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是______(填序号)．①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件③“x∈C”是“x∈A”的充要条件④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件解析由题意知，A、B、C的关系用图来表示．若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A，则必有x∈C，因此“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件．答案②二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知p：x2－4ax＋3a2<0(a<0)，q：x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.非p是非q的必要不充分条件，求实数a解由p：x2－4ax＋3a2<0(a<0)得：3a<x<a；即A＝(3a，a由q：x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0得x≥－2或x<－4，即B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)；因为非p是非q的必要不充分条件，所以等价于q是p的必要不充分条件，即集合A是集合B的真子集，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－4,a<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－2,a<0))，所以a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.16．(14分)设函数f(x)＝x2－1，已知对∀x∈[eq\f(3,2)，＋∞)，不等式f(eq\f(x,m))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围．解依据题意得eq\f(x2,m2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)对∀x∈[eq\f(3,2)，＋∞)恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1对∀x∈[eq\f(3,2)，＋∞)恒成立．因为当x＝eq\f(3,2)时函数y＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1取得最小值－eq\f(5,3)，所以eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(5,3)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2).17．(14分)已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0；若命题“p或q”是真命题，而命题“p且q”是假命题，且綈q是真命题，求a解对于命题p：由a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解，当a＝0时，不符合题意；当a≠0时，方程可化为：(ax＋2)(ax－1)＝0，解得：x＝－eq\f(2,a)或x＝eq\f(1,a)，因为x∈[－1，1]，∴－1≤－eq\f(2,a)≤1或－1≤eq\f(1,a)≤1，解得：a≥1或a≤－1，对于命题q：由只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤得抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x所以Δ＝4a2－8a＝0，∴又因命题“p或q”是真命题，而命题“p且q”是假命题，且綈p是真命题，则命题p是真命题，命题q是假命题，所以a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．18．(16分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0.))(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－又a>0，所以a<x<3a当a＝1时，1<x<3，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0,x2＋2x－8>0))，得2<x≤3，若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2<x<3}；(2)设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，aB＝{x|eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0,x2＋2x－8>0))}，则BA，又A＝{x|a≤x≤3a}，B＝{x|2<x≤则0<a≤2，且3a≥3，(a－1)＋(3a－3)2所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}．19．(16分)已知m∈R，命题p：对∀x∈[0，8]，不等式logeq\s\do9(\f(1,3))(x＋1)≥m2－3m恒成立；命题q：对∀x∈(0，eq\f(2,3)π)，不等式1＋sin2x－cos2x≤2mcos(x－eq\f(π,4))恒成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．解(1)令f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,3))(x＋1)，则f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，因为x∈[0，8]，所以当x＝8时，f(x)min＝f(8)＝－2.不等式logeq\s\do9(\f(1,3))(x＋1)≥m2－3m恒成立，等价于－2≥m2－3m，解得1≤m≤2.(2)不等式1＋sin2x－cos2x≤2mcos(x－eq\f(π,4))，即2sinx(sinx＋cosx)≤eq\r(2)m(sinx＋cosx)，所以m≥eq\r(2)sinx，因为x∈(0，eq\f(2,3)π)⇒0<sinx≤1，m≥eq\r(2)；即命题q：m≥eq\r(2).若p且q为假，p或q为真，则p与q有且只有一个为真．若p为真，q为假，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤m≤2，,m<\r(2)，))则1≤m<eq\r(2)；若p为假，q为真，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1或m>2，,m≥\r(2)，))则m>2.综上所述，1≤m<eq\r(2)或m>2，即m的取值范围是[1，eq\r(2))∪(2，＋∞)．20．(16分)已知关于x的绝对值方程|x2＋ax＋b|＝2，其中a，b∈R.(1)当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．解(1)原方程等价于x2＋ax＋b＝2，①或x2＋ax＋b＝