2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质专题突破专练一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1新20版练B1数学人教A版第三章专题突破专练专题1函数的概念及其表示问题1.(2024·成都诊断)已知函数f(x)=x|x|,若f(x0)=4,则x0的值为()。A.-2 B.2C.-2或2 D.2答案：B解析：当x≥0时,f(x)=x2,f(x0)=4,即x02=4,解得x0=2;当x<0时,f(x)=-x2,f(x0)=4,即-x02=4,无解,所以2.(2024·武邑中学月考)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域为()。A.[-3,7] B.[-1,4]C.[-5,5] D.0答案：D解析：由x∈[-2,3]得x+1∈[-1,4],由2x-1∈[-1,4],解得x∈0,523.(2024·枣庄三中月考)函数f(x)=x+1-x2的值域为(A.[-2,2] B.[-2,1]C.[-1,2] D.[1,2]答案：C解析：函数f(x)的定义域为[-1,1],令y=x+1-∴(y-x)2=1-x2,即2x2-2xy+y2-1=0,∵-1≤x≤1,∴1-x2≥0,y≥∴Δ=4y2-8(y2-1)≥0,-2≤y≤2,故y∈[-1,2]。4.(2024·河南中原名校第一次联考)已知函数f(x)=x2+x+1x2+1,若f(a)=23,A.23 B.-23 C.43 答案：C解析：∵f(x)=x2+x∴f(-x)=1-xx2+1,∴f(x)+f(-∵f(a)=23,∴f(-a)=2-f(a)=2-23=43,5.(2024·江西名校第三次联考)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=-6x+x3,则f[f(-1)]=。

答案：95解析：∵函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=-6x+x3,∴f(-1)=-f(1)=-(-6+1)=5,∴f[f(-1)]=f(5)=-30+125=95。6.(2024·榆林二模)已知f(x)=12x+1,x≤0,-(x-1)答案：[-4,2] 解析：由题意知x≤0,12x+1≥-1或x>0,-(x-1)7.(2024·西藏民族学院附中期末)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2,f(0)=0,则f(2024)=。

答案：2024解析：方法一:∵f(2024)≤f(2013)+3≤f(2010)+6≤…≤f(0)+2024=2024,f(2024)≥f(2024)+2≥f(2012)+4≥…≥f(0)+2024=2024,∴f(2024)=2024。方法二:因为f(x+3)≤f(x)+3,所以f(x+6)≤f(x+3)+3≤f(x)+6。因为f(x+2)≥f(x)+2,所以f(x+6)≥f(x+4)+2≥f(x+2)+4≥f(x)+6。综上得f(x+6)=f(x)+6,所以f(2024)=f(2010)+6=…=f(0)+2024=2024。专题2函数的最值问题8.(2024·南昌调考)已知函数y=1-x+x+3的最大值为M,最小值为m,则mM的值为A.14 B.12 C.22答案：C解析：明显函数的定义域是[-3,1]且y>0,故y2=4+2(1-x)(x+3)=4+2-x2-2x+3=4+2-(x+1)2+4,可得4≤y2≤8,故29.(2024·贵阳调考)函数f(x)=xx+1的最大值为(A.25 B.12 C.2答案：B解析：当x>0时,1f(x)=x+1x=当且仅当x=1x,即x=1时取“=”,故1f所以0<f(x)≤12;当x=0时,f(x)=0。故0≤f(x)≤110.(2024·济南调考)已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(1+x)=f(1-x),且f(x)在区间[3,5]上单调递增,则函数f(x)在区间[1,3]上的()。A.最大值是f(1),最小值是f(3)B.最大值是f(3),最小值是f(1)C.最大值是f(1),最小值是f(2)D.最大值是f(2),最小值是f(3)答案：A解析：依题意,得f(x)的图像关于直线x=1对称,f(x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x)。由f(x)在[3,5]上是增函数与f(x)的图像关于直线x=1对称,得f(x)在[-3,-1]上是减函数。又由于f(x)=f(x+4),因此f(x)在[1,3]上是减函数,f(x)在[1,3]上的最大值是f(1),最小值是f(3)。11.(2024·大连模拟)函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+∞)上肯定A.有最小值 B.有最大值C.是减函数 D.是增函数答案：D解析：由题设,知二次函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴x=a在区间(-∞,1)上,即a<1。对g(x)=f(x)x=x+ax-2a,x>1,若a=0,则g(x)=x在区间(1,+∞)上肯定是增函数;若0<a<1,因为分式函数y=x+ax在区间(a,+∞)上是增函数,这里a<1,故函数g(x)=f(x)x=x+ax-2a在区间(1,+∞)上肯定是增函数。若a<0,由于y=ax在区间(1,+∞)上是增函数,故函数g(x)=f(x)x=x+ax-2a在区间(1,+∞)上肯定是增函数。综上,当a<1时,12.(2024·河北衡水武邑中学高一月考)函数f(x)在区间[-2,5]上的图像如图3-1所示,则此函数在区间[-2,5]上的最小值、最大值分别是()。图3-1A.-2,f(2) B.2,f(2)C.-2,f(5) D.2,f(5)答案：C解析：由函数最值的几何意义知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5)。13.(2024·河北衡水中学高一期中)已知函数f(x)=|x2+bx|在区间[1,2]上的最大值为M,当实数b改变时,M的最小值为()。A.34 B.23 C.1答案：B解析：函数f(x)=|x2+bx|图像的对称轴为直线x=-b2当b≥-1时,函数f(x)在[1,2]上单调递增,M=f(2)=|4+2b|=4+2b,此时M的最小值为4-2=2。当-2<b<-1时,函数f(x)在[1,-b)上单调递减,在[-b,2]上单调递增,M=max{f(1),f(2)},f(1)=|1+b|=-b-1,f(2)=|4+2b|=4+2b,若f(1)>f(2),即-b-1>4+2b,解得-2<b<-53此时M无最小值;若f(1)≤f(2),即-b-1≤4+2b,解得-53≤b此时M的最小值为4-103=2当b=-2时,函数f(x)在[1,2]上单调递减,M=f(1)=1,此时M的最小值为1。当-4<b<-2时,函数f(x)在1,-b2上单调递增,在-b2,2上单调递减,M=f-b2=当b≤-4时,函数f(x)在[1,2]上单调递增,M=f(2)=-2b-4,此时M的最小值为-2×(-4)-4=4。综上所述,当实数b改变时,M的最小值为2314.(2024·银川调考)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是。

答案：6解析：在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图像后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图像,如图所示,不难看出函数f(x)在x=2时取得最大值6。15.(2024·天津模拟)已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2,则t=。

答案：1解析：y=|x2-2x-t|=|(x-1)2-1-t|。①当-1-t>0,即t<-1时,y=(x-1)2-1-t。当x=3时,ymax=3-t=2,得t=1(和t<-1冲突),不符合题意。②当-1-t≤0,即t≥-1时,结合函数y=|x2-2x-t|的图像可知:当x=1时,ymax=|-1-t|=2,又t≥-1,可得t=1;当x=3时,ymax=|3-t|=2,又t≥-1,可得t=1或t=5,易验证t=5时不符合题意。综上所述,t=1。专题3函数性质的综合问题16.(2024·石家庄调考)设函数D(x)=1,x为有理数,0,A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数答案：C解析：若x为无理数,则x+1也是无理数,故有D(x+1)=0=D(x);若x为有理数,则x+1也是有理数,故有D(x+1)=1=D(x)。综上可知,1是D(x)的周期,故C错误。17.设f(x)是定义在实数集上的偶函数,且f(x+2)=f(x)(x∈R)。已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为()。A.x+4 B.2-xC.3-|x+1| D.2+|x+1|答案：C解析：当x∈[-2,-1)时,x+4∈[2,3),所以f(x)=f(x+4)=x+4;当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x。综上可得,f(x)=x+4,x∈[-2,-118.(2024·重庆调考)定义在R上的偶函数f(x)满意:对随意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有()。A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)答案：C解析：对随意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,所以x2>x1时,f(x2)>f(x1);x2<x1时,f(x2)<f(x1)。故f(x)在(-∞,0]上为增函数。又f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上为减函数。因为n∈N*,则n+1>n>n-1≥0,所以f(n+1)<f(n)<f(n-1)⇒f(n+1)<f(-n)<f(n-1)。19.(2024·昆明调考)定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,a)上是增函数,且函数y=f(x+a)是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,有()。A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)≥f(x2)C.f(x1)<f(x2) D.f(x1)≤f(x2)答案：A解析：因为函数y=f(x+a)是偶函数,其图像关于y轴对称,把这个函数图像平移|a|个单位(a<0左移,a>0右移)可得函数y=f(x)的图像,因此函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,此时函数y=f(x)在(a,+∞)上是减函数。由于x1<a,x2>a且|x1-a|<|x2-a|,说明x1与对称轴的距离比x2与对称轴的距离小,故f(x1)>f(x2)。20.(2024·四川新津中学高一月考)定义在R上的奇函数f(x),满意f(1)=0,且在(0,+∞)上单调递增,则xf(x)>0的解集为。

答案：{x|x<-1或x>1}解析：∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,∴不等式xf(x)>0等价于x或x∴x>1或x<-1,∴不等式xf(x)>0的解集为{x|x>1或x<-1}。21.(2024·长沙调考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=。

答案：-6 解析：由图像的对称性,知函数f(x)=|2x+a|关于直线x=-a2对称,因为函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),所以-a2=3,即a22.(2024·东北师大附中模块测试)已知函数f(x)=ax+1x2(x≠0,常数a∈(1)探讨函数f(x)的奇偶性,说明理由;答案：f(x)的定义域为{x|x≠0},其图像关于原点对称。当a=0时,f(x)=1x2,对随意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=1(-x)2=∴f(x)为偶函数。当a≠0时,f(x)=ax+1x2(a≠0,x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a∴函数f(x)是非奇非偶函数。综上所述,当a=0时,f(x)是偶函数;当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数。(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围。答案：任取x1>x2≥3,则f(x1)-f(x2)=ax1+1x12-ax2-1x22=a(x1-x2)+x22-x∵x1-x2>0,f(x)在[3,+∞)上为增函数,∴f(x1)-f(x2)>0,∴a>x1+x2x12x22∵x1>x2≥3,∴1x1<13,1x2≤13,∴1x1x23.(2024·河北衡水中学高一期中)已知函数y=f(x)的定义域为[-1,1],且f(-x)=-f(x),f(1)=1。当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时,f(a(1)推断f(x)在[-1,1]上的单调性;答案：∵当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时,f(a)+f(b∴a<b时f(a)<f(b),a>b时f(a)>f(b)。∴f(x)在[-1,1]上是单调增函数。(2)解不等式fx+12<答案：∵f(x)在[-1,1]上是单调增函数,且fx+12<f1x-1,∴-1≤x+12<1x-1≤(3)若f(x)<m2-2am+1对于全部x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范围。答案：∵f(x)在[-1,1]上是单调增函数,f(1)=1,∴f(x)max=1,若f(x)<m2-2am+1对于全部x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则1<m2-2am+1,a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am>0,a∈[-1,1]恒成立,令g(a)=m2-2am=-2ma+m2,要使g(a)>0在a∈[-1,1]恒成立,则必需有g解得m<-2或m>2,∴m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞)。专题4幂函数的图像与性质及其应用问题24.(2024·福建闽侯第八中学高一月考)已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,A.0,1,2 B.0,2C.1,2 D.1答案：D解析：当m=0或m=2时,f(x)=x-3为奇函数,当m=1时,f(x)=x-4为偶函数。25.(2024·河南南阳高一检测)如图3-2所示的是函数y=xmn(m,n∈N*,m,n互质)的图像,则(图3-2A.m,n是奇数,且mnB.m是偶数,n是奇数,且mnC.m是偶数,n是奇数,且mnD.m是奇数,n是偶数,且mn答案：C解析：由题中图像知,函数y=xmn为偶函数,所以m为偶数,n为奇数。又函数y=xmn的图像在第一象限内上凸,26.(2024·河北衡水中学高一期中)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则nA.-3 B.1 C.2 D.1或2答案：B解析：∵幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,∴27.(2024·河北石家庄二中高一期中)下列幂函数中,图像过点(0,0),(1,1)的偶函数是()。A.y=x12 B.yC.y=x-4 D.y=x答案：B解析：对于A,y=x12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以A不具有奇偶性;对于B,函数y=x25的图像过点(0,0),(1,1),且是偶函数;对于C,y=x-4的定义域为{x|x≠0},图像不过点(0,0);对于D,函数y=28.(2024·江苏丹阳高一期中)若幂函数f(x)=xa的图像经过点2,14,则f1答案：929.(2024·安徽六安一中高一月考)已知幂函数f(x)=x1m2+m(m(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;答案：∵m∈N*,∴m2+m=m(m+1)为偶函数,令m2+m=2k,k∈N*,则f(x)=x12k=2kx,∴定义域为[0,+∞),f(x)(2)若函数图像经过点(2,2),试确定m的值,并求满意f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围。答案：∵2=21m2+m,∴m2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去),∴f(x)=x12,∴2-a>a-1≥0,解得1≤a<专题5函数的应用30.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;函数y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”。例如[4.3]=4,[5]=5,{4.3}=5,{5}=5。某停车场的收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推,若李刚停车时间为x小时,则李刚应缴费(单位:元)()。A.2[x+1] B.2([x]+1)C.2{x} D.{2x}答案：C解析：如当x=1时,应缴费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,解除A,B;当x=0.5时,缴费为2元,此时{2x}=1,解除D,故选C。31.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆)。若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为()。A.45.606万元 B.45.6万元C.45.56万元 D.45.51万元答案：B解析：设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆,总利润L=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30,其图像的对称轴为直线x=10.2,当x=10时,L取得最大值,Lmax=-15+30.6+30=45.6(万元)。32.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1h到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h的速度匀速行驶1h到达丙地。下列描述客车从甲地动身,经过乙地,最终到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系的图像正确的是()。图3-3答案：C解析：解法一:依据已知条件,结合图像知在第1个小时内四个图像都正确;然后的半小时,图像B不正确,因为图像B中此段时间内路程为0,与事实不符;最终1个小时,图像A错在时间和路程上,图像D错在时间上。因此图像C正确。解法二:由题意可知客车在整个过程中的路程函数s(t)=60t,0≤t≤133.(2024·濮阳期末)A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地。(1)试把汽车离开A地的距离y(km)表示为时间x(h)的函数;答案：y=60(2)依据(1)中的函数表达式,求出汽车距离A地100km时x的值。答案：当y=100时,60x=100或150-50x-解得x=53或x=9即当x=53或x=92时汽车距离A地34.(2024·湛江一中期末)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满意函数:R(x)=400x-12x2(1)将利润表示为月产量的函数f(x);答案：f(x)=-(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(利润=总收益-总成本)答案：当0≤x≤400时,f(x)=-12x2+300x-20000=-12(x-300)∴当x=300时,f(x)有最大值,为25000;当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)<60000-100×400=20000<25000,∴当x=300时,f(x)(x∈[0,+∞))有最大值,为25000。答:每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25000元。专题6函数的概念与性质中的易错问题易错点1忽视定义中函数值y的唯一性而致错35.(2024·合肥二中周练)下列四个图像中,是函数图像的是()。图3-4A.(1) B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(3) D.(3)(4)答案：B解析：函数需满意对于每一个自变量x都有唯一的y值与之对应,因此(1)(3)(4)是函数图像。36.(2024·江西临川一中单元测评)以下四个图像中,可以作函数y=f(x)的图像的是()。图3-5答案：D解析：依据函数的定义知,对于定义域内的任一变量,都有唯一的函数值和其对应,明显选项A,B,C中均有一个变量对应多个值,故选D。【易错警示】推断函数重要的一点就是函数的定义。易错点2忽视题目中定义域条件而致错37.(2024·深圳中学单元测试)函数y=x2+2x(-2≤x≤3)的值域是()。A.[0,15] B.[-1,15]C.[-2,15] D.[3,15]答案：B解析：二次函数y=x2+2x的图像开口向上,对称轴为x=-1,当x=-1时,函数取得最小值-1,当x=3时,函数取得最大值15。因此函数的值域为[-1,15]。易错点3混淆自变量的判定而致错38.(2024·云南昆明官渡一中高一期中)已知函数f(x)的定义域为[-2,2],函数g(x)=f(2x-1)2x-1,A.12,3C.12,3答案：A解析：由题可得-2≤2x-1≤2,2x-1>0,解得12<x≤339.(2024·山西高校附属中学高一期中)若函数y=f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数y=f(x2-1)的定义域是()。A.[0,6] B.[-1,2]C.[-6,6] D.[-3,3]答案：C解析：因为函数y=f(3-2x)的定义域为[-1,2],所以-1≤x≤2,所以-4≤-2x≤2,则-1≤3-2x≤5,则-1≤x2-1≤5,解得-6≤x≤6,所以函数y=f(x2)的定义域是[-6,6]。故选C。【易错警示】复合函数定义域的求法中,要留意定义域表示的是x的取值集合以及换元思想的应用。易错点4忽视分段函数的自变量范围而致错40.(2024·安徽合肥第一次质检)已知函数f(x)=x+1x-2,x>A.-12 C.4 D.11答案：C解析：由函数的解析式可得,f(1)=12+2=3,则f(f(1))=f(3)=3+13-41.(2024·杭州二中单元测评)已知函数f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0,若fA.-3 B.-1C.1 D.3答案：A解析：f(a)+f(1)=0,∴f(a)=-f(1)=-2,当a>0时,2a=-2,∴a=-1,舍去,当a≤0时,a+1=-2,∴a=-3。【易错警示】求分段函数的自变量的值,肯定要在自变量的范围内去求值。易错点5忽视函数的定义域而致错42.(2024·武汉外校周练)下列四组函数中,表示同一函数的是()。A.y=x2与y=3x3 B.y=1与yC.y=2x+1与y=2t+1 D.y=x与y=