循环前缀CP在OFDM系统中的应用

CP在OFDM系统中的应用用数学理论证明CP是如何消除ISI与ICI

OFDM原理及CP介绍

CP如何将线性卷积变为圆周卷积OFDM原理及CP介绍OFDM发展史OFDM基本原理OFDM中正交性如何克服ICIOFDM中CP介绍正交频分复用（OFDM）是一种利用多载波调制的特殊频率复用技术。传统的频分复用系统（FDM）：整个信号频段被分为N个相互不重叠的频率子信道，每个子信道传输独立调制符号，然后再将N个子信道进行频率复用，这种方法有利于消除信道间干扰，但是不能有效利用频谱资源。OFDM技术可以利用子载波之间的正交性而不需要这段保护频带。从而节省了带宽，因而OFDM比FDM频谱利用率更高如图（1）。OFDM发展史正交频分复用基本原理：就是把高速数据流通过串并变换，分配到传输速率相对较低的若干个子信道中进行传输。这样每一个子信道中的符号周期会变长，因此可以减轻多径时延对系统造成的影响。OFDM采用容易实现的基于载波频率正交的傅立叶变换调制，直接在基带处理。编码与交织数字调制插入导频串并转换IFFT并串转换加入CP….….数模转换多径信道+噪声模数转换去掉CP串并转换FFT并串转换信道校正数字解调去交织与解码….….OFDM基本原理介绍OFDM收发机结构一个OFDM符号之内包括多个经过调制的子载波的合成信号，其中每个子载波都可以受到PSK（相移键控）或QAM（正交幅度调制）调制。一个OFDM符号可以表示为：N表示子信道个数，T表示OFDM符号的宽度，di（i=0,1,….N-1）是分配给每个子信道的数据，fc是第一个子载波的载波频率，rect(t)=1,-T/2=<t<=T/2.所以其频谱可以看作是周期为T的矩形脉冲的频谱与一组位于各个子载波频率上的函数的卷积OFDM正交性克服ICI矩形脉冲的频谱函数为sinc(fT)函数。频谱图如下每个子载波频率最大值处，所有其它子信道的频谱值恰好为0；这样解调时就可以从多个互相重叠的子信道中提取每一个子信道符号而不受其它子信道干扰OFDM正交性克服ICIOFDM的循环前缀(CP)：将OFDM符号尾部的一部分复制放到前面。如图（4）CP的作用：消除符号干扰(ISI)和信道间干扰(ICI)

由于多径效应的影响系统中会出现OFDM符号的时延信号这样在FFT运算时间长度内第一个子载波与带有时延的第二个子载波之间的周期个数之差不再是整数。这样当接收机对第一个子载波解调时，第二载波会对其造成干扰。加入CP目的就是为了消除ISI和ICI。OFDM中CP介绍用数学推导CP是如何消除ISI与ICI理解OFDM中应用到的数学公式。用向量分析CP如何消除ISI与ICI理解OFDM中应用到的数学公式。时域中N点序列x[n]的DFT定义为离散傅里叶逆变换IDFT定义为卷积公式：序列长为N的序列x[n]与序列长为M的序列h[n]线性卷积得到序列长为N+M-1的序列。基本公式利用微积分说明圆周卷积：注：<m>N=mmodN=m+lN;其中l是使得m+lN的值在

0和N-1之间的整数基本公式利用微积分说明正交性序列：满足如下条件的序列DFT:X=DN

其中，X是N个DFT样本组成的向量，

X=[X[0],X[1]….X[N-1]]T

是N个输入样本向量,TDN是大小为N*N的DFT矩阵即基本公式利用矩阵说明IDFT：=DN-1X；其中DN-1=DN*，即DN的共轭。DN-1=基本公式利用矩阵说明序列长为N的序列x[n]与序列长为M+1的序列h[n]线性卷积得到序列长为N+M的序列。即从0到N+M-1基本公式利用矩阵说明线性卷积圆周卷积基本公式利用矩阵说明用向量分析CP如何消除ISI与ICI

从数学角度来看，OFDM的传输过程可以用一系列的矢量或者矩阵

运算来表示

OFDM系统的等效基带模型:X(k)DN-1IFFTTcp加CPX1(k)P/su(k)h(n)u(n)

ŋ(n)S/PRcpDNr(n)r(k)y(k)Y(k)序列长度NNN+NgN+NgN+NgN+NgNN多径信道去CPFFT用户的发送信息比特首先经过PSK或QAM调制形成调制符号，之后每N个调制符号一组，形成第k个数据帧，其中X(k)=[Xk0,Xk1,…Xk(N-1)];Xki表示第k个数据帧中的第i个调制符号,N为帧长u(k)=TcpDN-1X(k);r(n)=u(n)*h(n)+ŋ(n);y(k)=Rcpr(k);Y(k)=DNy(k)OFDM系统向量分析Tcp=[ANg×N;IN×N]包含一个Ng阶单位矩阵，和一个N阶单位矩阵Rcp=[0N×NgIN×N]包含一个N×Ng阶零矩阵与N阶单位矩阵OFDM系统向量分析CP是如何消除ISI可以用以下矩阵形式来表示接收到采样后的数组

r(k)=u(k)*h(n)+u[k-1]*h(n)+ŋ(n);

其中，u[k-1]*h(n)表示第K-1个数据帧对第K个数据帧的影响即符号干扰ISI；假设多径信道有M径，用向量表示h[n]=[h0,h1…..hM-1];

信号在过信道时实质是两信号相卷积，即序列长度为N+Ng的u[k]信号与序列长为M的信号h[n]相卷积生成了长度为N+Ng+M-1的信号y[n].因此会有M-1个符号落在下一帧里，于是产生了符号间干扰。Cp与ISICP（Ng）N-NgNgM-1CP（Ng）N-NgNgM-1令y(k-1）=[yk-10,yk-11,yk-12,….yk-1N+Ng+M-3,yk-1N+Ng+M-2];于是它对第K帧的干扰可以写成向量

YL=[y(k-1)N+Ng,…y(k-1)N+Ng+M-2,0,…0]共N+Ng维。因为有M-1个符号落在了下一帧里所以循环前缀长度Ng>=M-1.所以收到的信号符号干扰为YL=[y(k-1)N+Ng,…y(k-1)N+Ng+M-2,0,…0];在去除CP时乘以Rcp=[0Ng×Ng]结果为0矩阵完全消除由于CP消除ISI是在去除CP时消除的，所以无论CP的内容是什么，只要CP长度Ng>=L-1就可以消除ISI。即只要保护间隔Tg大于最大时延扩展即可消除ISI。

Cp与ISICp与ISIY(k-1)N+Ng…Y(k-1)N+Ng+M-20…0前Ng×Ng为0矩阵前M-1项为干扰信号后面为0向量为了克服ISI是只要其保护间隔大于最大时延扩展就可以了，插入CP的真正作用是为了抵抗由于多径效应带来的ICI从图中可以看出只要Ng>=M-1乘出的结果就为0矩阵CP如何消除ICI加入空白信号非CP的情况CP与ICI由于多径影响，空闲保户间隔对子载波造成的干扰加入循环前缀CP后时延造成的影响CP与ICI实线波形分别为两信道的传输信号，虚线波形可理解为信道的多径而产生的延时信号CP与ICI从频域上证明加入CP后各子信道仍保持正交N表示子信道个数，T表示OFDM符号的宽度，di（i=0,1,….N-1）是分配给每个子信道的数据，fc是第一个子载波的载波频率，rect(t)=1,-T/2=<t<=T/2.所以其频谱可以看作是周期为T的矩形脉冲的频谱与一组位于各个子载波频率上的函数的卷积所以加入CP后前面符号的频谱函数仍为sinc(fT)函数，由于时延后只会发生相位偏移，幅度谱并没有变化。x(t)经过FT后为X(jW）x(t-td)经过FT后为exp(-jwtd)X(jw)故加入CP后子信道仍然保持正交，从而有效的抵抗了由于多径效应带来的子信道间干扰即ICI。CP的另一个作用：将线性卷积变为圆周卷积

加了CP的信号与信道的线性卷积与未加CP的信号与信道的圆周卷积一样加入CP后的信号为u(k)

u(k)=(x1(N-Ng)，x1(N-Ng+1),…x1(N-1),x10,x11,..x1(N-1));信道h[n]=[h0,h1,h2,…hM-1];n=(0,1,2,…M-1);

y[n]=u(k)*h[n];由线性卷积与矩阵的关系：CP将线性卷积变为圆周卷积前Ng项中间N项后M-1项由于前Ng相在去循环时会去掉，后M-1项会落在下一帧里，所以现在把中间N项拆出来与循环卷积相比较，Ng>=M-1,h[n]在0.M-1外取值为零，把中间N项拆出来线性卷积与矩阵的关系CP将线性卷积变为圆周卷积中间N项的矩阵的分析前M-1项即Ng项方便证明在这里令Ng=M-1前Ng即M-1项CP将线性卷积变为圆周卷积未加CP信号X1k=(x10,x11,..x1(N-1));

信道信号h[n]=(h0,h1,h2,…h(M-1),0,…0);y1K=(y10,y11,y12,…y1(N-1))为X1k与h[n]的圆周卷积，利用矩阵表示：后M-1即Ng项后Ng项未加CP的圆周卷积矩阵分析CP将线性卷积变为圆周卷积通过矩阵计算发现加了CP后与信道的线性卷积与未加CP时的信号与信道的圆周卷积一样。DFT{h[n]x[n]}=DFT{h[n]}×DFT{x[n]}如果没有引入CP，对于这些离散信号的运算很难将其从时域转化到频域。通过转为圆周卷积有利于频域均衡。×