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文档简介
浙江省金衢十一校2024届中考考前最后一卷数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为()A. B. C. D.2.下列四个式子中,正确的是()A.=±9 B.﹣=6 C.()2=5 D.=43.下列计算结果为a6的是()A.a2•a3B.a12÷a2C.(a2)3D.(﹣a2)34.化简的结果为()A.﹣1 B.1 C. D.5.若(x﹣1)0=1成立,则x的取值范围是()A.x=﹣1 B.x=1 C.x≠0 D.x≠16.下表是某校合唱团成员的年龄分布.年龄/岁13141516频数515x对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()A.众数、中位数 B.平均数、中位数 C.平均数、方差 D.中位数、方差7.如图,直线a∥b,直线分别交a,b于点A,C,∠BAC的平分线交直线b于点D,若∠1=50°,则∠2的度数是A.50° B.70° C.80° D.110°8.如图,AB∥CD,点E在线段BC上,若∠1=40°,∠2=30°,则∠3的度数是()A.70° B.60° C.55° D.50°9.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=2,cosA=,那么AB的长是()A.3 B. C. D.10.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1:0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)()A.21.7米 B.22.4米 C.27.4米 D.28.8米11.在实数,有理数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮他调整过来吗?证明步骤正确的顺序是已知:如图,在中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且,,求证:∽.证明:又,,,,∽.A. B. C. D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O,那么等于()A.; B.; C.; D..14.若a、b为实数,且b=+4,则a+b=_____.15.“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米,提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟.已知从北京到上海全程约1320千米,求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x千米/时,依题意,可列方程为__.16.阅读理解:引入新数,新数满足分配律,结合律,交换律.已知,那么________.17.如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为_______米(结果保留根号).18.如图,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,将Rt△ABC以点A为中心,逆时针旋转60°得到△ADE,则线段BE的长度为_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)(2016山东省烟台市)某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为4米,落在斜坡上的影长CD为3米,AB⊥BC,同一时刻,光线与水平面的夹角为72°,1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米,求旗杆的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)20.(6分)如图,AB为⊙O的直径,点D、E位于AB两侧的半圆上,射线DC切⊙O于点D,已知点E是半圆弧AB上的动点,点F是射线DC上的动点,连接DE、AE,DE与AB交于点P,再连接FP、FB,且∠AED=45°.(1)求证:CD∥AB;(2)填空:①当∠DAE=时,四边形ADFP是菱形;②当∠DAE=时,四边形BFDP是正方形.21.(6分)在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ.求证:△ABP≌△CAQ;请判断△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.22.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∠ABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD=2DE,连接AE.(1)求线段CD的长;(2)求△ADE的面积.23.(8分)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=4,另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处,CP=CQ=2,将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部),连接AP、BP、BQ.如图1求证:AP=BQ;如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时,求AP的长;设射线AP与射线BQ相交于点E,连接EC,写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系.24.(10分)如图,已知的直径,是的弦,过点作的切线交的延长线于点,过点作,垂足为,与交于点,设,的度数分别是,,且.(1)用含的代数式表示;(2)连结交于点,若,求的长.25.(10分)在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示.试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查销售规律,求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试求此时这种许愿瓶的销售单价,并求出最大利润.26.(12分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托”其大意为:现有一根竿和一根绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.求绳索长和竿长.27.(12分)兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元.第一批该款式T恤衫每件进价是多少元?老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫,当第二批T恤衫售出时,出现了滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩余的T恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价﹣进价)
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、A【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,∴BC==,则cosB==,故选A2、D【解析】
A、表示81的算术平方根;B、先算-6的平方,然后再求−的值;C、利用完全平方公式计算即可;D、=.【详解】A、=9,故A错误;B、-=−=-6,故B错误;C、()2=2+2+3=5+2,故C错误;D、==4,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查的是实数的运算,掌握算术平方根、平方根和二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键.3、C【解析】
分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得.【详解】A、a2•a3=a5,此选项不符合题意;
B、a12÷a2=a10,此选项不符合题意;
C、(a2)3=a6,此选项符合题意;
D、(-a2)3=-a6,此选项不符合题意;
故选C.【点睛】本题主要考查幂的运算,解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则.4、B【解析】
先把分式进行通分,把异分母分式化为同分母分式,再把分子相加,即可求出答案.【详解】解:.故选B.5、D【解析】试题解析:由题意可知:x-1≠0,
x≠1
故选D.6、A【解析】
由频数分布表可知后两组的频数和为10,即可得知总人数,结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数,可得答案.【详解】由题中表格可知,年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为,则总人数为,故该组数据的众数为14岁,中位数为(岁),所以对于不同的x,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数,故选A.【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择,由表中数据得出数据的总数是根本,熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键.7、C【解析】
根据平行线的性质可得∠BAD=∠1,再根据AD是∠BAC的平分线,进而可得∠BAC的度数,再根据补角定义可得答案.【详解】因为a∥b,所以∠1=∠BAD=50°,因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAC=2∠BAD=100°,所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质,解题关键是掌握两直线平行,内错角相等.8、A【解析】试题分析:∵AB∥CD,∠1=40°,∠1=30°,∴∠C=40°.∵∠3是△CDE的外角,∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°.故选A.考点:平行线的性质.9、A【解析】根据锐角三角函数的性质,可知cosA==,然后根据AC=2,解方程可求得AB=3.故选A.点睛:此题主要考查了解直角三角形,解题关键是明确直角三角形中,余弦值cosA=,然后带入数值即可求解.10、A【解析】
作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN,求出CN,DN,再根据tan24°=,构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.在Rt△CDN中,∵,设CN=4k,DN=3k,∴CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan24°=,∴0.45=,∴AB=21.7(米),故选A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.11、D【解析】试题分析:根据有理数是有限小数或无限循环小数,可得答案:是有理数,故选D.考点:有理数.12、B【解析】
根据平行线的性质可得到两组对应角相等,易得解题步骤;【详解】证明:,,又,,∽.故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质;关键是证明三角形相似.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、D【解析】
利用△DAO与△DEA相似,对应边成比例即可求解.【详解】∠DOA=90°,∠DAE=90°,∠ADE是公共角,∠DAO=∠DEA∴△DAO∽△DEA∴即∵AE=AD∴故选D.14、5或1【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出a的值,b的值,根据有理数的加法,可得答案.【详解】由被开方数是非负数,得,解得a=1,或a=﹣1,b=4,当a=1时,a+b=1+4=5,当a=﹣1时,a+b=﹣1+4=1,故答案为5或1.【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件,当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.15、【解析】
设“复兴号”的速度为x千米/时,则原来列车的速度为(x-50)千米/时,根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可.【详解】设“复兴号”的速度为x千米/时,则原来列车的速度为(x-50)千米/时,根据题意得.故答案为.【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系.16、2【解析】
根据定义即可求出答案.【详解】由题意可知:原式=1-i2=1-(-1)=2故答案为2【点睛】本题考查新定义型运算,解题的关键是正确理解新定义.17、一4【解析】
分析:利用特殊三角函数值,解直角三角形,AM=MD,再用正切函数,利用MB求CM,作差可求DC.【详解】因为∠MAD=45°,AM=4,所以MD=4,因为AB=8,所以MB=12,因为∠MBC=30°,所以CM=MBtan30°=4.所以CD=4-4.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.18、【解析】
连接CE,作EF⊥BC于F,根据旋转变换的性质得到∠CAE=60°,AC=AE,根据等边三角形的性质得到CE=AC=4,∠ACE=60°,根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可.【详解】解:连接CE,作EF⊥BC于F,
由旋转变换的性质可知,∠CAE=60°,AC=AE,
∴△ACE是等边三角形,
∴CE=AC=4,∠ACE=60°,
∴∠ECF=30°,
∴EF=CE=2,
由勾股定理得,CF==,
∴BF=BC-CF=,
由勾股定理得,BE==,
故答案为:.【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质,掌握旋转变换对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、13.1.【解析】试题分析:如图,作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N,根据=,可求得CM的长,在RT△AMN中利用三角函数求得AN的长,再由MN∥BC,AB∥CM,判定四边形MNBC是平行四边形,即可得BN的长,最后根据AB=AN+BN即可求得AB的长.试题解析:如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N.由题意=,即=,CM=,在RT△AMN中,∵∠ANM=90°,MN=BC=4,∠AMN=72°,∴tan72°=,∴AN≈12.3,∵MN∥BC,AB∥CM,∴四边形MNBC是平行四边形,∴BN=CM=,∴AB=AN+BN=13.1米.考点:解直角三角形的应用.20、(1)详见解析;(2)①67.5°;②90°.【解析】
(1)要证明CD∥AB,只要证明∠ODF=∠AOD即可,根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD,从而可以解答本题;(2)①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质,可以求得∠DAE的度数;②根据四边形BFDP是正方形,可以求得∠DAE的度数.【详解】(1)证明:连接OD,如图所示,∵射线DC切⊙O于点D,∴OD⊥CD,即∠ODF=90°,∵∠AED=45°,∴∠AOD=2∠AED=90°,∴∠ODF=∠AOD,∴CD∥AB;(2)①连接AF与DP交于点G,如图所示,∵四边形ADFP是菱形,∠AED=45°,OA=OD,∴AF⊥DP,∠AOD=90°,∠DAG=∠PAG,∴∠AGE=90°,∠DAO=45°,∴∠EAG=45°,∠DAG=∠PEG=22.5°,∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°,故答案为:67.5°;②∵四边形BFDP是正方形,∴BF=FD=DP=PB,∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°,∴此时点P与点O重合,∴此时DE是直径,∴∠EAD=90°,故答案为:90°.【点睛】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用菱形的性质和正方形的性质解答.21、(1)证明见解析;(2)△APQ是等边三角形.【解析】
(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;(2)根据全等三角形的性质得到AP=AQ,再证∠PAQ=60°,从而得出△APQ是等边三角形.【详解】证明:(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,在△ABP和△ACQ中,∴△ABP≌△ACQ(SAS),(2)∵△ABP≌△ACQ,∴∠BAP=∠CAQ,AP=AQ,∵∠BAP+∠CAP=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°,∴△APQ是等边三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,考查了正三角形的判定,本题中求证,△ABP≌△ACQ是解题的关键.22、(1)43;(2)S【解析】分析:(1)过点D作DH⊥AB,根据角平分线的性质得到DH=DC根据正弦的定义列出方程,解方程即可;(2)根据三角形的面积公式计算.详解:(1)过点D作DH⊥AB,垂足为点H.∵BD平分∠ABC,∠C=90°,∴DH=DC=x,则AD=3﹣x.∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=1.∵sin∠BAC=HDAD=(2)S△ABD∵BD=2DE,∴S△ABD点睛:本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.23、(1)证明见解析(2)(3)EP+EQ=EC【解析】
(1)由题意可得:∠ACP=∠BCQ,即可证△ACP≌△BCQ,可得AP=CQ;作CH⊥PQ于H,由题意可求PQ=2,可得CH=,根据勾股定理可求AH=,即可求AP的长;作CM⊥BQ于M,CN⊥EP于N,设BC交AE于O,由题意可证△CNP≌△CMQ,可得CN=CM,QM=PN,即可证Rt△CEM≌Rt△CEN,EN=EM,∠CEM=∠CEN=45°,则可求得EP、EQ、EC之间的数量关系.【详解】解:(1)如图1中,∵∠ACB=∠PCQ=90°,∴∠ACP=∠BCQ且AC=BC,CP=CQ∴△ACP≌△BCQ(SAS)∴PA=BQ如图2中,作CH⊥PQ于H∵A、P、Q共线,PC=2,∴PQ=2,∵PC=CQ,CH⊥PQ∴CH=PH=在Rt△ACH中,AH==∴PA=AH﹣PH=-解:结论:EP+EQ=EC理由:如图3中,作CM⊥BQ于M,CN⊥EP于N,设BC交AE于O.∵△ACP≌△BCQ,∴∠CAO=∠OBE,∵∠AOC=∠BOE,∴∠OEB=∠ACO=90°,∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°,∴∠MCN=∠PCQ=90°,∴∠PCN=∠QCM,∵PC=CQ,∠CNP=∠M=90°,∴△CNP≌△CMQ(AAS),∴CN=CM,QM=PN,∴CE=CE,∴Rt△CEM≌Rt△CEN(HL),∴EN=EM,∠CEM=∠CEN=45°∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN,EC=EN,∴EP+EQ=EC【点睛】本题考查几何变换综合题,解答关键是等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,添加恰当辅助线构造全等三角形.24、(1);(2)【解析】
(1)连接OC,根据切线的性质得到OC⊥DE,可以证明AD∥OC,根据平行线的性质可得,则根据等腰三角形的性质可得,利用,化简计算即可得到答案;
(2)连接CF,根据,可得,利用中垂线和等腰三角形的性质可证四边形是平行四边形,得到△AOF为等边三角形,由并可得四边形是菱形,可证是等边三角形,有∠FAO=60°,再根据弧长公式计算即可.【详解】解:(1)如图示,连结,∵是的切线,∴.又,∴,∴,∴.∵,∴.∴.∵,∴.∴,即.(2)如图示,连结,∵,,∴,∴,∴,∴,∵,∴四边形是平行四边形,∵,∴四边形是菱形,∴,∴是等边三角形,∴,∴,∵,∴的长.【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的判定和性质、弧长的计算,掌握切线的性质定理、弧长公式是解题的关键.25、(1)y是x的一次函数,y=-30x+1(2)w=-30x2+780x-31(3)以3元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润4元【解析】
(1)观察可得该函数图象是一次函数,设出一次函数解析式
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