考点巩固卷12 等差、等比数列（七大考点）-新课标2025年高考《数学》一轮复习考点通关卷（解析版）

第第页考点巩固卷12等差等比数列（七大考点）考点01：单一变量的秒解当数列的选择填空题中只有一个条件时，可将数列看成常数列，即每一项均设为，（注意：如果题目中出现公差不为0或公比不为1，则慎用此法）1．已知等差数列的前n项和为，则（

）A．18 B．36 C．54 D．60【答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由可得，故，故选：D2．已知等差数列满足，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B.3．若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范围.【详解】由，得，得，因为是正项无穷的等差数列，所以，所以，得，即的公差的取值范围是.故选：D4．等差数列前项和为，则（

）A．44 B．48 C．52 D．56【答案】C【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可【详解】.故选：C.5．已知等差数列满足，记的前项和为，则（

）A．18 B．24 C．27 D．45【答案】D【分析】根据等差中项可得，即可由等差数列求和公式求解.【详解】由可得，所以，故选：D6．在等差数列中，若，则其前7项和为（

）A．7 B．9 C．14 D．18【答案】C【分析】由条件利用等差数列性质可求，结合等差数列前项和公式求解结论.【详解】因为数列为等差数列，所以，所以数列的前项和，故选：C.7．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D8．在等比数列中，是方程的两个根，则（

）A．7 B．8 C．或8 D．【答案】D【分析】由韦达定理得到，再根据等比数列性质可以求出.【详解】等比数列中，是方程的两个根，则，再根据等比数列性质可以求出.故选：D.9．已知等差数列的前项和为，若，则=（

）A．4 B．60 C．68 D．136【答案】B【分析】根据等差数列的性质可得，即可由求和公式求解.【详解】，所以,故选：B10．设等差数列的前项和为，已知，则（

）A．272 B．270 C．157 D．153【答案】D【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.【详解】因为，所以，故．故选：D考点02：秒解等差数列的前n项和等差数列中，有奇偶有适用.推导过程：将换为，即可得到11．在等差数列中，公差，为其前项和，若，则（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根据求出，利用等差数列求和公式和性质得到答案.【详解】，.故选：B.12．已知是等差数列的前项和，且，则的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可.【详解】因为,所以,所以.故选：C.13．已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（

）A．7 B．3 C．1 D．【答案】D【分析】根据通项公式和求和公式得到方程组，求出公差.【详解】由得，，即，解得故选：D14．等差数列中，是其前项和，，则公差的值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】代入等差数列的前项和公式，即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，，则，则.故选：C15．记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.【详解】由，则，则等差数列的公差，故.故选：B.16．已知等差数列的前15项之和为60，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和公式求得，再结合等差数列的性质求解.【详解】，，所以.故选：C.17．已知等差数列的前项和为，，，若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项及公差，再结合前项和及通项公式求解即得.【详解】由，，得，解得，则等差数列的公差，于是，由，得，所以.故选：B18．是等差数列的前n项和，若，，则（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】C【分析】根据题意，结合等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，即可求解．【详解】由，，可得且，即且，所以.故选：C.19．已知是等差数列的前项和，若，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和求和公式求出首项和公差，即可求解.【详解】由等差数列前项和公式,得，即.因为，所以,由，可得,所以，,所以.故选：D.20．已知为等差数列的前项和，已知，则（

）A．215 B．185 C．155 D．135【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，再根据等差数列的性质，即可求解【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以．故选：B．考点03：数列片段和问题这样的形式称之为“片段和”①当是等差数列时：也为等差数列，且公差为.②当是等比数列时：也为等比数列，且公比为.21．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解.【详解】由，得①，因为，，所以，即②，①②两式相加，得，即，所以，所以，解得.故选：B.22．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．54 B．63 C．72 D．135【答案】B【分析】首先根据题意得到，，为等差数列，再根据等差中项的性质即可得到答案.【详解】因为是等差数列，所以，，为等差数列，即成等差数列，所以，解得.故选：B23．已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．35 B．30 C．20 D．15【答案】B【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可.【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列，所以，即，解得.故选：B.24．记为等差数列的前项和，若.则（

）A．28 B．26 C．24 D．22【答案】D【分析】根据题意，得到构成等差数列，列出方程，即可求解.【详解】由为等差数列的前项和，可得构成等差数列，即构成等差数列，可得，解得.故选：D.25．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．30 B．58 C．60 D．90【答案】D【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得.【详解】由数列为等差数列，故、、、、亦为等差数列，由，，则，故，，，即有，，.故选：D.26．在等差数列中，若，则=（

）A．100 B．120 C．57 D．18【答案】B【分析】根据等差数列前项和性质求解．【详解】是等差数列，则仍成等差数列，又，，所以，，，所以，故选：B．27．等差数列的前项和为.若，则（

）A．8096 B．4048 C．4046 D．2024【答案】B【分析】根据等差数列性质可得，再结合等差数列的求和公式从而可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以，所以.故B正确.故选：B.28．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解．【详解】由题意，设等比数列的公比为，因为成等比数列，可得，又因为，即所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.29．设是等比数列的前n项和，若，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据构成以为公比的新等比数列，可求出的公比，再用等比数列求和公式求得，再相除可得解.【详解】设等比数列的公比为，则，所以，，，故．故选：B.30．在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】D【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值.【详解】由，得，因为数列为等比数列，所以成等比数列，所以，所以，整理得，,解得或，因为等比数列的各项为正数，所以，所以，故选：D考点04：秒杀和比与项比结论1：若两个等差数列与的前项和分别为，若，则结论2：若两个等差数列与的前项和分别为，若，则31．已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可.【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且，所以设，所以.故选：D32．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出．【详解】由等差数列前项和公式可设：，，，从而，，所以，故选：C33．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.【详解】因为数列均为等差数列，可得，且，又由，可得．因此.故选：A．34．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可．【详解】数列和都为等差数列，且，则，故选：B．35．已知等差数列和的前项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解结果．【详解】因为是等差数列和的前项和，，又所以故选：C.36．等差数列的前项和分别是，若，则．【答案】/0.4【分析】由等差数列的性质知，，即可求解．【详解】解：，故答案为：．37．设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则．【答案】【分析】根据等差数列的性质及等差数列前项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．【详解】由题意知，，，，∴.故答案为：．38．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么．【答案】/0.75【分析】给出的两个数列为等差数列，把转化为两数列的前7项和的比得答案．【详解】数列，均为等差数列，且其前项和分别为，，．故答案为：．39．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于【答案】【分析】据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.【详解】根两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故答案为：.40．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则．【答案】【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：考点05：等差数列奇偶规律结论1：若等差数列的项数为则推导过程：若有一等差数列共有,则它的奇数项分别为则它的偶数项分别为则奇数项之和则偶数项之和代入公式得，结论2：若等差数列的项数为 则推导过程：若等差数列的共有项，则它的奇数项为则它的偶数项分别为则奇数项之和则偶数项之和代入公式得说明：分别表示所有奇数项与所有偶数项的和41．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为偶数项之和为则(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可.【详解】项数为的中奇数项共有项,其和为项数为的中偶数项共有项,其和为所以解得故选:A.42．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知：数列的奇数项之和为，①偶数项之和为，②由②-①，得，所以，即该数列的公差为.故选：D.43．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，首项为，则，所以，因为，即，则，等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，所以.故选：B44．已知数列的前项和为，且，，，则（

）A． B．C． D．为奇数时，【答案】ABD【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前n项和公式判断各项正误.【详解】由，则，两式作差，得，，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即；，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即；所以，A对，，B对；，C错；为奇数时，，D对.故选：ABD45．已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则．【答案】10【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为，故，解得.故答案为：1046．已知数列满足，，则的前40项和为.【答案】【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.【详解】因为，，又，所以，即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列；同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列．所以前40项和为．故答案为：.47．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是.【答案】【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120，所以有，故答案为：48．数列满足：，数列的前项和记为，则．【答案】2191【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.【详解】数列是以公差的等差数列;.,数列是以公比的等比数列;..故答案为：2191.49．在等差数列中，已知公差，且，求的值．【答案】【分析】根据等差数列通项可构造方程求得，与已知等式作和可求得结果.【详解】，，.50．已知是等差数列，其中，.(1)求的通项公式；(2)求的值.【答案】(1)(2)-50【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得；（2）利用等差数列的求和公式即得．【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以，所以，，所以.（2）因为是等差数列，所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，.考点06：

等差数列前n项和最值规律方法一：函数法利用等差数列前n项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.模型演练 由二次函数的最大值、最小值可知，当取最接近的正整数时，取到最大值（或最小值）注意：最接近的正整数有时1个，有时2个51．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（

）．A．9 B．10 C．9或10 D．10或11【答案】C【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得.【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前项和公式，得：，，又，，即，又，，由此可知，数列是单调递减数列，点在开口向下的抛物线上，又，点与点关于直线对称，当或时，最大.故选：C52．已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解.【详解】等差数列中，，，则，因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，所以当取得最小值时，.故选：B53．设数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．是等比数列B．成等差数列，公差为C．当且仅当时，取得最大值D．时，的最大值为33【答案】D【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，然后利用可求出，再逐个分析判断即可.【详解】因为，所以数列是以为公差，32为首项的等差数列，所以，所以，所以当时，，所以，因为，所以，对于A，因为，所以是以为公差的等差数列，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，因为，所以成等差数列，公差为，所以B错误，对于C，，对称轴为，因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误，对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确，故选：D54．数列的前项和，则（

）A． B．C．数列有最小项 D．是等差数列【答案】AD【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D.【详解】对于A：因为，当时，故A正确；对于B：当时，所以，经检验时也成立，所以，所以，，则，故B错误；对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误；对于D：因为，则，又，所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确.故选：AD55．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A． B．使得成立的最大正整数C． D．中最小项为【答案】ACD【分析】A选项，根据题目条件得到，，从而得到，，A正确；B选项，，，B错误；C选项，先得到，从而得到；D选项，得到当时，，当时，，当时，，并得到.【详解】A选项，，即，故，故，故，故，A正确；B选项，，，故使得成立的最大正整数，B错误；C选项，由于，故，则，故，C正确；D选项，由于，故当时，，当时，，当时，，当时，，故当时，，当时，，当时，，由，得，，由不等式的同向可乘性可得，，故，故中最小项为，D正确.故选：ACD56．等差数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．当时，的最小值为16【答案】ABD【分析】对于A，由等差数列性质即可判断；对于B，由公差的定义即可判断；对于C，作差结合公差小于0即可判断；对于D，只需注意到，由此即可判断.【详解】对于A，由题意，故A正确；对于B，，其中为等差数列的公差，即，故B正确；对于C，，即，故C错误；对于D，由题意，从而当，，且，故D正确.故选：ABD.57．已知无穷数列满足：，．则数列的前n项和最小值时的值为．【答案】或【分析】易得数列是等差数列，求出其通项，再令，即可得解.【详解】因为，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，令，则，又，所以当或时，数列的前项和取得最小值.故答案为：或.58．设等差数列的公差为，其前项和为，且满足.(1)求的值；(2)当为何值时最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可；（2）求出，用二次函数知识来解题即可．【详解】（1），则，，故的值为.（2）由（1）知道，，，，由于开口向下，且对称轴为.而，则或者时，最大.．59．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设为的前项和，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量运算即可；（2）先根据基本量运算得出前n项和，再根据二次函数求出最值即可.【详解】（1）设的公差为，则，依题意，，即，整理得，，解得，或（舍），所以；（2），因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．60．记为等差数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值.【答案】(1)(2)；的最小值为【分析】（1）根据题意结合等差数列求和公式求得，即可得结果；（2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质分析求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得：，所以．（2）由（1）可得：，可知：时，取得最小值，所以的最小值为．考点07：等比数列奇偶规律结论1：若等比数列的项数为 则推导过程：若有一等比数列共有,则它的奇数项分别为则它的偶数项分别为结论2：若等比数列的项数为 则推导过程：若有一等比数列共有,则它的奇数项分别为则它的偶数项分别为说明：分别表示所有奇数项与所有偶数项的和61．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，得到奇数项为，偶数项为，整体代入得，所以前项的和为，解得.故选：B62．已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由等比数列中等价于公比或，结合前项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现无最大值不一定推得,继而选项可定.【详解】充分性：设等比数列的公比为，，，，可得或，又，当时，若为奇数，，，，当为奇数时单调增，则无最大值，当时，，,单调增,则无最大值；必要性：当时，，又，则无最大值.可得“”不是“无最大值”的必要条件；由此可知“”是“无最大值”的充分不必要条件.故选：A.63．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解.【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为,由题意易知，设奇数项之和为,偶数项之和为，易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，则，，所以,即.所以这个数列的公比为2.故选:D.64．已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求得，为奇数时，，根据单调性可得：，为偶数时，，根据单调性可得：，可得的最大值与最小值分别为2，，考虑到函数

在上单调递增，即可得出结论．【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得，所以，当为奇数时，，易得单调递减，且，所以；当为偶数时，，易得单调递增，且，所