有阻力的抛体运动的函数方程

精品精品精品精品精品精品有阻力的抛体运动的函数方程摘要:本文运用导数、微积分的有关知识建立并解决有阻力的斜抛运动的微分方程，得出各变量间的函数关系，其中还运用了一些简单的物理知识，并通过求极限顺便得出有阻力的竖直上抛，竖直下抛运动和无阻力抛体运动的一些基本函数方程，然后讨论斜上抛运动水平最远射程与抛射角的关系问题，最后取一组简单的数据进行定量计算。关键词:有阻力;函数方程;在研究抛体运动前，先简单说明微分方程的概念和基本解法。⑴一般地，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。在这里，只讨论一类较特殊的微分方程：①①式可分离变量得：②②式表示状态量，对两边各状态量累加求和得：由定积分与微分的和的极限的关系，可将上式改写为③，其中由③式可解出y与x满足的方程，③式也可写成不定积分的形式④，其中C为常数，依赖于初值条件。下面研究问题时就不再像上述一样清晰了，且不常用③式而常用④式.再给出曲线的曲率半径的求法。⑴对于曲线y=Y(x)，为曲线的切线斜率的反正切值，即⑤⑥yhO00fvmgvyhO00fvmgv0x过物体初始位置，垂直地面向上建立y轴，过y轴与地面交点建x轴，使物体运动轨迹在xoy平面的第一象限内，即右图。分析问题可知，四个变量：横坐标x，纵坐标y，速率v，时间t中任两个量都可建立函数方程。ⅰ研究物体运动轨迹(设x是自变量，v、y是x的函数)。分析物体受力，可知重力沿曲线的法线分力提供物体沿曲线运动的向心力，即⑦将⑤、⑥两式代入⑦式中，解得：⑧⑧式两边对x求导：⑨又由能量守恒定律得：⑩由被积函数与原函数的关系可知：∴⑩式两边对x求导得：eq\o\ac(○,11)将⑧、⑨两式代入eq\o\ac(○,11)式化简后得：分离变量后积分：解得：eq\o\ac(○,12)考虑初始条件：当x=0时，由⑧式得eq\o\ac(○,13)将eq\o\ac(○,13)式代入eq\o\ac(○,12)式中得：将C2的值代回eq\o\ac(○,12)式，化简后得：eq\o\ac(○,14)同理可再分离变量积分后代初值，得：eq\o\ac(○,15)同样可求得：（I）（2）研究水平方向（设t为自变量，v、x、y、cosθ都是t的函数）由运动的独立性原则，可知摩擦阻力f的水平分量提供水平分运动的加速度，速度v的水平分量为水平分运动的速度。则有：eq\o\ac(○,16)令eq\o\ac(○,17)则eq\o\ac(○,16)式改写为分离变量求积分：解得eq\o\ac(○,18)将eq\o\ac(○,17)式代入eq\o\ac(○,18)式中得：∵当t=0时，将C3的值代入得：eq\o\ac(○,19)将⑤、⑧两式代入经化简后得：再将eq\o\ac(○,14)式代入得解得：（II）由（II）式可知x随自变量t的增大而增大，若不限高度h，则t→+时，，并且x恒小于。且时间很长时，物体运动趋于匀速。将（II）代入（I）式中化简后得：（III）1514将、式代入⑧化简得：1514(IV)再将（II）式代入（IV）式中得：（V）至此已得出了（I）、（II）、（III）、（IV）、（V）五个有阻力抛体运动的基本函数方程，下面再求出物体能达到的最高处当时，由eq\o\ac(○,15)式解得：eq\o\ac(○,20)将eq\o\ac(○,20)式代入（I）得：(VI)(3)在上述讨论中，所得出的方程都是在一般条件下得到的，接下来顺便导出特殊运动的函数方程，因为上述各式中，因此不能直接导出，下面通过求极限的方法得出三类特殊运动的方程。(a)竖直上抛运动当时，由（III）知：由正弦函数的连续性可知：eq\o\ac(○,21)同理，由（V）得：若考虑速度v向上为正，向下为负，则可得：eq\o\ac(○,22)由（VI）得eq\o\ac(○,23)(b)竖直下抛运动同样，当时，由（III）求极限得：eq\o\ac(○,24)由（V）式求极限得eq\o\ac(○,25)由eq\o\ac(○,25)式知道，若，则v恒大于，阻力恒大于重力，且随时间增大而趋近。若，则v恒小于，阻力恒小于重力，随时间增大而趋于相等。(c)无阻力抛体运动当k→0时，由（I）式得：因为k→0时，，同时用洛必达法则求极限[1]，将被求根限式的分子、分母对k求导，得化简得：eq\o\ac(○,26)由（II）求极限由导数的定义得eq\o\ac(○,27)将eq\o\ac(○,27)式代入eq\o\ac(○,26)式中得eq\o\ac(○,28)当然，上面三类运动的方程可直接分析原运动，且那样更能简单得出方程，这里只是顺便导出。（4）接着讨论一个实用的问题：当初始抛角为何值时，水平射程最远。首先，我们知道，当取时，不可能取到最大水平射程，更不可能。在（I）中取y=0，则有eq\o\ac(○,29)设m、g、k、v0均为常数，为变量，改写为，则x是的函数，，将eq\o\ac(○,29)式两边对求导。化简后得：eq\o\ac(○,30)设，当A=0时，则eq\o\ac(○,31)同时，由eq\o\ac(○,30)式知B=0，此时eq\o\ac(○,32)或x=0由eq\o\ac(○,29)式知x≠0，联立eq\o\ac(○,31)、eq\o\ac(○,32)两式解得这三值都不合eq\o\ac(○,29)式，也不符所设条件由上述分析：从可知其逆否命题成立。由此可知A不可能为0，又x不可能为0，因此，（VII）即当θ取某个值θ1时，（VII）式成立，则，此时相应的x是极值，设（VII）式左边为C1（θ），θ为变量，则有在上式括号中，固定mg，设kv0为变量，括号式对kv0求导，可知其为增函数，又kv0=0时，，又由mg的任意性可知恒大于0。化简得当时，恒大于0，所以=0只有一个解，即θ1。且知这运动一定有最远水平射程，∴与θ1对应的为最远水平射程。（5）最后，通过代入一组简单数据进行计算。在开始的问题中，取m=5kg,g=10m/s2,h=1000m,θ0=0,v0=100m/s,k=0.1N·s/m，求水平射程。解：将相应的数据代入eq\o\ac(○,29)式中化简后得：eq\o\ac(○,33)在eq\o\ac(○,33)式中可用计算器一一取值，求得左边式子的值，最后得出较精确值。在这里给出另一种途径：设将它按泰勒级数展开[2]，得：取前四项得：则eq\o\ac(○,33)式左边的近似式为取x=1300，得200–169–29.293–5.7122≈–4<0取x=1290，得∴eq\o\ac(○,33)式的解x≈1290取x=1285，得=1.133424>0虽然1.133424>|-0.57098|，但因为eq\o\ac(○,33)式右端省略了高次项，这些项都为负值，第五项在略去项中贡献最大。在第五项中近似代入x=1300，则这一项等于-1.188，则|1.133424-1.188|<|-0.57098-1.188|，所以其实x=1285比x=1290更精确，且结果误差为|1.133424-1.188|<0.06，因此最后取水平射程x≈1285。若上述数据代入eq\o\ac(○,26)式中，令y=0，则有两结果相差约129上面只对（I）式进行了运用计算，其它各式也可作类似的计算，上述7个一般方程可应用于实