北师版八上数学1.3 勾股定理的应用（课件）

第一章勾股定理3勾股定理的应用数学八年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学八年级上册BS版01课前预习

1.

平面内，两点之间

最短.2.

解有关立体图形表面上的路线问题时，常常把立体图形转化

为平面图形，再转化为平面上的路线问题求解.3.

勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形中缺少直角条

件，则可以通过作垂线段的方法构造直角三角形，为勾股定理

的应用创造条件.线段

数学八年级上册BS版02典例讲练

如图，有一个水池，水面

BE

的宽为16

dm，在水池的正中央有

一根芦苇，它高出水面2

dm.若将这根芦苇垂直拉向岸边，它的

顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的高度是

dm.17

【思路导航】设水池的深度为

x

dm，用含

x

的代数式表示出这根

芦苇的长度，根据勾股定理列方程求解即可.

【点拨】运用勾股定理解决实际问题时，关键是找出几何图形

与实际问题的对应关系，即各边、各角的大小，再根据勾股定

理直接计算或列方程解答.

一个滑梯的示意图如图所示，若将滑道

AC

水平放置，刚好与

AB

一样长.已知滑梯的高度

CE

＝3.6

m，

CD

＝1.2

m，则滑道

AC

的长度是

m.6

【解析】设滑道

AC

的长度为

x

m，则

AB

＝

x

m，

AE

＝（

x

－1.2）m.在Rt△

ACE

中，∠

AEC

＝90°，由勾股定理，得

AE2＋

CE2＝

AC2，即（

x

－1.2）2＋3.62＝

x2，解得

x

＝6.即滑道

AC

的长度为6

m.故答案为6.

（1）一个圆柱形油罐的示意图如图所示，底面周长为24

m，高

为10

m.从

A

处环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好在点

A

的正上

方点

B

处，则所建的梯子最短需要多长？【思路导航】将圆柱形油罐的侧面沿

AB

展开，可以得到长方

形，根据“两点之间，线段最短”，把建梯子的路线转化为平

面上两点之间的线段，再利用勾股定理即可求解.解：如图，把圆柱形油罐的侧面沿线段

AB

展开成长方形，则沿

AB

建梯子最节省材料.由已知，得

AC

＝24

m，

BC

＝10

m.在Rt△

ACB

中，∠

C

＝90°，根据勾股定理，得

AB2＝

AC2＋

BC2＝242＋102＝262，所以

AB

＝26

m（负值舍去）.故所建的梯子最短需要26

m.（2）如图，长方体的高是9

cm，底面是边长为4

cm的正方形.

一只蚂蚁从点

A

出发，沿着长方体表面经过3个侧面爬到点

B

处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【思路导航】将长方体侧面展开，找到点

A

，

B

的位置，根据

“两点之间，线段最短”，结合勾股定理求解即可.解：如图，将长方体的三个侧面展开.在Rt△

ACB

中，

AC

＝4×3＝12（cm），

BC

＝9

cm，∠

ACB

＝90°.由勾股定理，得

AB2＝

AC2＋

BC2＝122＋92＝152，所以

AB

＝15

cm（负值舍去）.故这只蚂蚁爬行的最短路程是15

cm.【点拨】求立体图形表面最短路径的一般步骤：（1）把立体图

形展开成平面图形（只需展开包含相关点的面）；（2）确定关

键点的位置；（3）连接关键点，构造直角三角形；（4）利用

勾股定理求解.求最短路径的依据是“两点之间，线段最短”.

如图，一个长方体空木箱的长、宽、高分别为12

m，4

m，3

m，则能放进空木箱中的直木棒（粗细忽略不计）最长为

m.13

【解析】如图，因为侧面对角线

CB2＝32＋42＝25＝52，所以

CB

＝5

m.因为

AC

＝12

m，所以

AB2＝

AC2＋

CB2＝122＋52＝169＝132.因为

AB

＞0，所以

AB

＝13

m.所以能放进空木箱中的直木棒最长为13

m.故答案为13.

如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的一个顶点

A

处，一只苍蝇

在这个长方体的对角顶点

G

处.若

AB

＝3

cm，

BC

＝5

cm，

BF

＝6

cm，则蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？

这时蜘蛛爬过的路程是多少厘米？【思路导航】要求长方体表面上两点之间的最短路径长度，可

先将长方体展开，然后利用“两点之间，线段最短”和勾股定

理求解即可.注意：蜘蛛的爬行路线要先分三种不同的情况进行

讨论，分别求出长度，再比较大小，选取最短的路径.解：①若把长方体的正面和右面展开在同一平面内，如图1所示

（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边

AC

＝

AB

＋

BC

＝8（cm），另一条直角边

CG

＝

BF

＝6

cm.在Rt△

ACG

中，根据勾股定理，得

AG2＝

AC2＋

CG2＝82＋62＝100；图1②若把长方体的正面和上面展开在同一平面内，如图2所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边

AB

＝3

cm，另一条直角边

BG

＝

BF

＋

FG

＝

BF

＋

BC

＝11（cm）.在Rt△

ABG

中，根据勾股定理，得

AG2＝

AB2＋

BG2＝32＋112＝130；图2③若把长方体的左面和上面展开在同一平面内，如图3所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边

GF

＝

BC

＝5

cm，另一条直角边

AF

＝

AE

＋

EF

＝

BF

＋

AB

＝6＋3＝9（cm）.在Rt△

AFG

中，根据勾股定理，得

AG2＝

AF2＋

GF2＝92＋52＝106.因为130＞106＞100，且102＝100，所以蜘蛛沿如图1所示的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘

蛛爬过的路程是10

cm.图3【点拨】本例没有指明从长方体一顶点运动到相对的顶点的具

体路线，确定其最短路径问题时，需要进行分类讨论，比较后

才能确定.如图，由点

A

到点

B

的最短路径显然是不能沿长方体的任何一条棱运动的，也就必然由点

A

进入到相邻的两个面，所以到点

B

有六条不同的路径，但不同长度的路径只有三条.（1）如图1，右侧面向前展开，这种展开方式是以（

a

＋

b

）为

一条直角边长，

c

为另一条直角边长，此时

AB2＝（

a

＋

b

）2＋

c2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

ab

；（2）如图2，上底面向前展开，这种展开方式是以（

b

＋

c

）一条直角边长，

a

为另一条直角边长，此时

AB

2＝（

b

＋

c

）2＋

a2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

bc

；图1图2（3）如图3，上底面向左展开，这种展开方式是以（

a

＋

c

）为一条直角边长，

b

为另一条直角边长，此时

AB2＝（

a

＋

c

）2＋

b2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

ac

.通过对三种展开方式的观察和分析，于是有：当

c

最大时，如图1所示的展开方式中的

AB

最短；当

a

最大时，如图2所示的展开方式中的

AB

最短；当

b

最大时，

如图3所示的展