高中新创新一轮复习文数版讲义：第十二章 推理与证明、算法、复数 含解析

第十二章推理与证明、算法、复数

第一节合情推理与演绎推理

本节主要包括2个知识点：1.合情推理；2.演绎推理.

突破点(一)合情推理

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［基本知识］

类型定义特点

根据某类事物的部分对象具有某种特

归纳由部分到整体、

征，推出这类事物的全部对象都具有这

推理由个别到一般

种特征的推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一

类比

类对象的某些已知特征，推出另一类对由特殊到特殊

推理

象也具有这些特征的推理

［基本能力］

1.判断题

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()

答案：(1)X(2)V(3)X

2.填空题

(1)已知数列｛%｝中，ai=l>时，a„=a„-i+2n—1,依次计算畋,a3,如后，猜想斯的表达式是

解析：=。2=4,。3=9,々4=16,猜想斯=，厂.

答案："2

(2)由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正

方体的体积最大”是合情推理中的推理.

答案：类比

(3)观察下列不等式：

脸1；嗑嗑的端+东+虚3

则第5个不等式为______________________________________________________

答案：全+a+君+壶+才方下

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［全析考法］

归纳推理

运用归纳推理时的一般步骤

(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；

(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；

(3)对所得出的一般性命题进行检验.

类型(一)与数字有关的推理

［例1］(1)给出以下数对序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

记第i行的第j个数对为dijf如。43=(3,2),则“〃1”=()

A.(m,〃—zn+1)B.(m—lfn-m)

C.(帆―1，z+l)D.(m,m)

(2)(2018•兰州模拟)观察下列式子：1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+L…，由以上可推

测出一个一般性结论：对于〃£N*,则1+2+…+〃+…+2+1=.

［解析］(1)由前4行的特点，归纳可得：若anin=(a9b),则a=m,h=n—m+l9.\an,n=(mfn—m

+1).

(2)由l=l2l+2+l=4=2h+2+3+2+l=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=4?,…，归纳猜想可

得1+2H------I-HH------F2+l=n2.

［答案］(1)A(2)„2

解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如

等差数列、等比数列等.［易错提醒］

类型(二)与式子有关的推理

［例2］(1)(2016•山东高考)观察下列等式：

4

-2-

3

4

2222-

(sinf)-+(SinyJ-+(siny)-+(Sin^)-3

4

-2-222-

^sin^+^sin^+^sinyJ_+-3

照此规律，

6加舟「+,^^)-2+,嵩’2+...+(sin^y2=------------.

(2)已知x£(0,+°°),观察下列各式：x+>2,x+p=^+^+p^3,%+?=升;+；+登2%…,

类比得x+$2〃+l(〃£N*),则。=.

［解析］(1)观察前4个等式，由归纳推理可知(sin三Mi)-2+(sin婿］］-2+6加肃彳)r+…+(sin尧哥

4

2--4»(«+1)

3nX(n+l)=T.

(2)第一个式子是”=1的情况，此时a=P=l;第二个式子是"=2的情况，此时“=22=4;第三个式

子是n=3的情况，此时a=33=27,归纳可知

［答案］(1)\Q)"

［方法技巧］

与式子有关的推理类型及解法

(1)与等式有关的推理.观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解.

(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.

类型(三)与图形有关的推理

［例3］某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的

分枝数为（）

第1年第2年第3年第4年第5年

A.21B.34

C.52D.55

［解析［因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝

数为21+34=55.

［答案］D

［方法技巧］

与图形有关的推理的解法

与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中

的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性.

类比推理

1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下:

类比

在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解

定义

类比从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时

性质要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键

类比有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求

方法解中，注意知识的迁移

2.平面中常见的元素与空间中元素的类比:

平面点线圆三角形角面积周长•••

空间线面球三棱锥二面角体积表面积・・・

［例4］如图，在△A8C中，。为其内切圆圆心，过。的直线将三角形面积分为

相等的两部分，且该直线与AC,BC分别相交于点F,E,则四边形ABEF与的周

长相等.试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确

性.

［解］如图，截面AEF1经过四面体A3CZ)的内切球(与四个面都相切的球)的球心0,且与8C,DC分

别交于点E,F,若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥与三棱锥A-E尸C的表面积相

等.

下面证明该结论的正确性，

设内切球半径为R,

=

则VA-BEFD^(S^ABD+SAABE+SAADF+SBEFD)XK=吸-EFC=§(SAAEC+SAACF+SAECF)XR,

即SAABD+SAABE+SAA&F+Sb边9BEFD=SAAEC+SAACF+SAECF，两边同加SAAEF可得结论.

［方法技巧］

类比推理的步骤和方法

(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步兼为：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体

几何中，得到类似的结论.

［全练题点］

1.［考点二］由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①umn=nmn类比得至lj“a力=加。”；

②a(m+n)t=mt+ntn类比得到“(a+Z0・c=a・c+b,c”；

③a(in*n)t=m(n9t)n类比得到协)・c=a,(8・c)”；

④“£#0,mt=xt^m=xn类比得到“pWO,ap=xp^>a=x"；

⑤a\m-n\=\m\-\n\v类比得到“|a切=|亦步I"；

®脸=记类比得到喷号”.

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B①②正确，③④⑤⑥错误.

2.［考点二］在平面几何中有如下结论：正三角形4BC的内切圆面积为S”外接圆面积为S2,则自=/

推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-A8C的内切球体积为匕，外接球体积为V2,则干=()

A.|B.g

c—T)—

L・64U,27

解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为1：3,故卷=吉.

3,考点一•类型(一)］将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第九行有k个奇数)，其中第i行第j个数表示

为旬，例如。42=15,若旬=2017,贝！1i—j=()

1

35

7911

13151719

A.26B.27

C.28D.29

解析：选A前々行共有奇数为1+2+3+…+4="*邙个,所以第4行的最后一个数为2♦驾④一

l=k2+k-l,第Jt+1行的第一个数为A(A+1)+1,当4+1=45时，«优+1)+1=44X45+1=1981,即第

45行的第一个数为1981,因为-----2--------=18,

所以2017是第45行的第19个数，

即i=45,j=19,所以i-/=45-19=26.故选A.

4.［考点一•类型(二)］观察下列各等式:号+言=2,备+昌=2,六+±=2,恐+二三

=2,依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()

A，lI8~，Z-7

"—4十(8-")_4一

R"+11_("+l)+5_

•(〃+l)—4(n+1)—4

、〃九+4_

C>L4(n+4)—42

-+1〃+5

DX„+l)-4+(n+5)-4=2

cQc78278—*7］

解析：选A各等式可化为m+E广2,右+正行=2；口+诙〒7=2,向+

8—10—,,一4n.8—〃.

=2,+=2,

(8-10)-4可归纳得一般等式：w-4(8-n)-4故选

5」考点一•类型(三)1蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边

形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢,

按此规律，以八〃)表示第〃个图的蜂巢总数.

。©

则式4)=,式〃)=.

解析：因为｛1)=1,八2)=7=1+6,43)=19=1+6+12,所以｛4)=1+6+12+18=37,所以4")=1

+6+12+18+***+6(w—l)=3/i2—3/r+1.

答案：373“2-3"+1

突破点(二)演绎推理

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［基本知识］

(1)定义：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.

(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理;

②小前提——所研究的特殊情况;

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.

［基本能力］

1.判断题

(1)”所有3的倍数都是9的倍数，某数，"是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但

其结论是错误的.()

(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()

答案：(1)V(2)X

2.填空题

(1)下列说法：

①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是

“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推

理时，大前提和小前提都不可以省略.

其中正确的有个.

解析：易知①③④正确.

答案：3

(2)推理”①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是

(填序号).

答案：②

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［全析考法］

<lfl演绎推理

［典例］数列｛斯｝的前"项和记为S",已知"1=1,an+1=-^-S„(nGN,).证明：

(1)数列｛+｝是等比数列；

(2)S„+i=4a„.

［证明］⑴即+1=S“+1—S“，a„+1，

/.(n+2)S„=n(S„+i—S„),

即"S“+i=2("+l)S".

故祟=2号，(小前提)

故｛誉｝是以2为公比，1为首项的等比数列•(结论)

(大前提是等比数列的定义)

(2)由⑴可知数列拗是等比数列，(大前提)

所以雷=4.岩(〃卬

„,S„-i”-1+2

即5"+1=4(〃+1＞白=*-^丁6“-1

=4%("，2).

又。2=351=3,$2=。1+。2=1+3=4=4为，(小前提)

所以对于任意正整数“，都有S“+i=4%.(结论)

［方法技巧］

一藉痴的蹄菰「

(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什

么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由

于它是显然的，因此省略不写.

(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.

[全练题点]

1.已知a,b,m均为正实数，b<a,用三段论形式证明£〈空.

aa-rm

证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)

b<a,zn>0,(小前提)

所以结论)

因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)

mb<ma,(小前提)

所以m8+a6VMia+a/>,即伙a+，”)Va(Z(+，〃).(结论)

因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)

b(a+m)<a(h+m),a(a+wi)>0,(小前提)

〜b(a+m)a(h+m)hb+m,,,

所以即；;〈二j^.(结论)

a(a+m)a(a,+m)《aa+m

2.已知函数y=/(x)满足：对任意a,6GR,a¥b,都有q/(a)+4/S)>磔勿+力⑷，试证明：/(x)为R

上的单调递增函数.

证明：设任意Xi,MGR,取Xl<*2,

则由题意得xlfixi)+x2f(x2)>xlf(x2)+x2f(xi),

所以X1[AX1)—/lX2)]+x2[AX2)—/(X1)]>O,LAx2)—/lxi)](x2—x,)>0,

-

因为xi<x2,即x2Xi>0,

所以兀适)-1Axl)>0,即人X2)»U1).(小前提)

所以y=/U)为R上的单调递增函数.(结论)

[全国卷5年真题集中演练——明规律1

1.(2017•全国卷H)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中

有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:

我还是不知道我的成绩.根据以上信息，贝11()

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

解析：选D依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的

成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必

然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.

2.(2016•全国卷II)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看

了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的

数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是.

解析：由丙所言可能有两种情况.一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而

甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而

甲持有“1和2”，不符合甲所言情况.故甲持有“1和3”.

答案：1和3

3.(2014•全国卷I)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三个去过同一城市.

由此判断乙去过的城市为.

解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过

的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过A,C城市，乙去过的城市应

为A.

答案：A

［课时达标检测I

［小题对点练——点点落实］

对点练(一)合情推理

1.(1)已知”是三角形一边的长，是该边上的高，则三角形的面积是与〃，如果把扇形的弧长/，半径

r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为5r；(2)由1=1勺+3=22］+3+5=32,可得到1+3

+5+…+2〃-1=〃2,则⑴(2)两个推理过程分别属于()

A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理

C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理

解析：选A(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，

此种推理为归纳推理，故选A.

2.观察下列各式：a+Z>=l>a2+Z>2=3,a3+Z>3=4,a4+Z»4=7,as+Z»5=ll,♦♦♦,则)

A.121B.123

C.231D.211

解析：选B令%=优+)"，则"i=l,“2=3,a3=4,%=7,…，得斯+2=斯+即+1，从而琳=18,

。7=29,。8=47,%=76,。10=123.

3.下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第"个图形中小正方形的

个数是()

□BJ巾-h

图①图②图③图④

A.〃(〃+l)B・2

「心+1)

U・rD./!(«—1)

解析：选C由题图知第1个图形的小正方形个数为1,第2个图形的小正方形个数为1+2,第3个

图形的小正方形个数为1+2+3,第4个图形的小正方形个数为1+2+3+4,…，则第〃个图形的小正方

形个数为1+2+3+…+"=

4.观察下列各式：55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,…，贝11521H8的末四位

数字为（）

A.3125B.5625

C.0625D.8125

解析：选B5$=3125,5'=15625,5』78125,58=390625,59=1953125,…，可得5**与5,的后四位

数字相同，由此可归纳出5"'+"与5"'（JtGN*,m=5,6,7,8）的后四位数字相同，又2018=4X503+6,所以

52018与56的后四位数字相同，为5625,故选B.

5.（2018•山西孝义期末）我们知道：在平面内，点（xo,%）到直线Ax+By+C=O的距离公式d=

|Axo备以C1,通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2,4,1）到直线工+2/+22+3=0的距离为（）

7A+B

A.3B.5

D.34

解析：选B类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点（X。，jo,zo）到直线Ax+By+Cz+D=Q

|Ax+Bjo+Czo+D|则所求距离dJ+j*工M=5,故选B.

的距离公式为d=o

6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三

角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再

将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为

第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是

解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三

次操作后，三角形共有4+3+3=10个……由此可得第"次操作后，三角形共有4+3（〃-1）=3"+1个.当

3〃+1=100时，解得1=33.

答案：33

7.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.

12345-2013201420152016

3579-402740294031

81216…80568060

2028-16116

该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有

一个数，则这个数为

解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1,第二行的公差为2,

第三行的公差为4,第四行的公差为8,…，第2015行的公差为2?°口，故第一行的第一个数为2X2T,第

二行的第一个数为3X2°,第三行的第一个数为4X2、第四行的第一个数为5X2?,…，第"行的第一个

数为5+1>2”-2,故第2016行(最后一行)仅有一个数为(1+2016)X22°i4=2017X22°i4.

答案：2017X220"

8.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标

上数字标签：原点处标0,点(1,0)处标1,点(L—1)处标2,点(0,-1)处标3,点

(-1,-1)处标4,点(一1,0)处标5,点(一1,1)处标6,点(0,1)处标7,依此类推，则

标签为20172的格点的坐标为.

解析：因为点(1,0)处标1=『，点(2,1)处标9=32,点(3,2)处标25=5,，点(4,3)

处标49=7?,依此类推得点(io。%1008)处标2OWL

答案：(1009,1008)

对点练(二)演绎推理

1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()

A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：”是无理数；结论：k是无限不循环小数

B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无限不循环小数；结论：兀是无理数

C.大前提：TT是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：汗是无理数

D.大前提：7T是无限不循环小数；小前提：兀是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

解析：选B对于A,小前提与结论互换，错误；对于B,符合演绎推理过程且结论正确；对于C和

D,大前提均错误.故选B.

2.某人进行了如下的“三段论”：如果r(Xo)=O,则x=xo是函数人x)的极值点，因为函数人x)=d

在x=0处的导数值/'(0)=0,所以x=0是函数八x)=l的极值点.你认为以上推理的()

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.结论正确

解析：选A若/'(Xo)=O,则x=Xo不一定是函数/(x)的极值点，如八*)=*3,f(0)=0,但x=0不

是极值点，故大前提错误.

3.正弦函数是奇函数，八x）=sin（，+l）是正弦函数，因此八x）=sin（*2+l）是奇函数，以上推理（）

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D.全不正确

解析：选C因为/（x）=sin（*2+l）不是正弦函数，所以小前提不正确.

4.（2018•湖北八校联考）有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜

测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手

都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错

误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获

得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜

测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.

5.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量

之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同

学按阅读量从大到小排序依次为.

解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所

以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所

以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙.

答案：甲、丁、乙、丙

［大题综合练——迁移贯通］

1.给出下面的数表序列：

表1表2表3

113135

448

12

其中表"（"=1,2,3,…）有〃行，第1行的〃个数是1,3,5,…，2〃-1,从第2行起，每行中的每个数

都等于它肩上的两数之和.

写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表〃（"力3）（不

要求证明）.

解：表4为

1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一

结论推广到表"("23),即表〃(〃23)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等

比数列.

2.在RtZkABC中，ABLAC,AO_L5c于点。，求证:力出+力.在四面体45。中，类比上

述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由.

A

:

BDC

解：如图所示，由射影定理4£>2=51>OC,AB2=BDBC,AC2=BCDC,.•.心=.占一

A"£>L/*£/C

_BC2_BC2

=BDBCDCBC=AB2AC2'

.1AB2+A<^11

,,ADI=AB2AC2

猜想，在四面体A8CD中，AB.AC.A。两两垂直，AEJ■平面则为+力+力

证明：如图，连接BE并延长交C。于点尸，连接4F.A

'：ABA.AC,ABA.AD,ACClAD=A,//V\

.•.48_L平面ACZ).

TA户U平面AC。，；.ABA.AF.N/

在RtZkAB尸中，AE±BF,

''AE1AIT^AF2-

•.,A8J-平面AC。，：.AB±CD.

TAEJ•平面BCD,.,.4£_1。.又48门4£：=4,

...CQJL平面AB尸，：.CD±AF.

.,•在Rt^ACD中.尸1-A3

•,•+=心+亲+春

AEABACAD

3.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数:

①si/n。+COS2170-sin13°cos17°；

②sin，5。+COS215°—sin15°cos15°；

③sii?18。+COS2120-sin18°cos12°；

@sin2(-18°)+COS248°-sin(—18°)cos48°；

(§)sin2(—25°)+COS255°—sin(—25°)cos55°.

⑴试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

⑵根据⑴的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

解：(1)选择②式，计算如下：

sin215°+cos215°—sin15°cos15°=1—^sin30°

.13

=1-4=4-

(2)三角恒等式为

3

sin2a+cos2(30°—G)—sinQ・COS(30°一1)=不

证明如下：

sin2a+cos2(30°—a)—sinaecos(30°—a)

=sin2a+(cos30°cosa+sin30°sina)2-sina*(cos30°cosa+sin30°sina)

_.2_I_32IA/3・.1.273・1.2

=sma+^cosa+2sina十不ina-2sinacos5sma

=^sin2a+^cos2a=^.

第二节直接证明与间接证明、数学归纳法

本节主要包括2个知识点：L直接证明；2.间接证明；

突破点（一）直接证明

抓牢双基•自学区

［基本知识］

内容综合法分析法

从要证明的结论出发,逐步寻求使它

利用已知条件和某些数学定义、公成立的充分条件,直至最后，把要证

定义理、定理等，经过一系列的推理论证,明的结论归结为判定一个明显成立

最后推导出所要证明的结论成立.的条件（已知条件、定理、定义、公理

等）为止

思维

由因导果执果索因

过程

|「(已知)今°||一

框图。(结论)”|卜|尸/尸2

।0今。21一…f

表示―►•••—►得到一个明显成立的条件

。“今。(结论)

书写“因为…，所以…”“要证…，只需证…，

格式或“由…，得…”即证…”

[基本能力]

1.判断题

(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()

(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()

(4)证明不等式g+市〈小+,最合适的方法是分析法.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)V

2.填空题

(1人百一2g与小一市的大小关系是.

解析：假设加一2啦>小一巾，由分析法可得，要证出一2g>小一巾，只需证木+币x/^+2r,

即证13+2屈>13+4师，即版>2师.因为42>40,所以#一2吸砧一市成立.

答案：\[6—2y[2>\[5—yjl

(2)已知“，b是不相等的正数，祥，y="帝，则》、y的大小关系是.

222

解析：x=^(a+b+2\[ab),y=a+b=^(a+b+a+b)>^(a+b+2y[ab)=x9XVx>0,j>0,

答案：y>x

⑶设m=y[a—y[b9n=y[a—bf则〃的大小关系是.

解析：Va>b>09:;>\[L,yja—b>0,

^•n2-in2=a-b-(a+b-2y[ab)

=2y[ab—2b>2y[b2,-28=0,:.,

又■:zn>0,zz>0,n>m.

答案：心m

研透高考•讲练区

[全析考法]

综合法

综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：

(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；

(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.

［例1］(2018•武汉模拟)已知函数犬x)=(&+l)lnx-x+l.

(1)若2=0,求/U)的最大值；

⑵若曲线y=/(x)在点(1,人1))处的切线与直线x+y+l=()垂直，证明：鲁>0.

［解］(1加>)的定义域为(0,+~).

当；.=0时，fix)=\nx~x+l.

则，(x)=；—1,令，(x)=0,解得x=l.

当0<x<l时，f(x)>0,

故./U)在(0,1)上是增函数；

当x>l时，f(x)<0,

故人X)在(1,+8)上是减函数.

故/U)在x=i处取得最大值yu)=o.

Jlx-1-1

(2)证明：由题可得，f(x)=xlnx+—^-1.

由题设条件，得,(1)=1,即幺=1.

，/00=(%+1)加X—x+L

由(1)知，Inx—x+l<0(x>0,且x#l).

当0<xvl时，x—IvO,/(x)=(x+l)lnx-x+l=xlnx+(lnx+l)<0,

当x>l时，x—1>0,/(x)=(x+l)lnx-x+l=lnx+(jdnx—x+l)=lnx—x(ln；-1+

.•.里>0.综上可知，叫>0.

X-1X-1

［方法技巧1综合法证题的思路

;分析题目的已知条件及已知与结论之间

分析条件一:的联系，选择相关的定理、公式等，确定

选择方向

:恰当的解题方法

其百而秦柞患花械廨版诟牖冢的番百；

转化条件一;主要是文字、符号、图形三种语言之间的

组织过程

;转化

:直而解题互涯二句开葡芬方废品行而整;

适当调整一;并对一些语言进行适当的修饰，反思总

回顾反思

:结解题方法的选取

Ifiz分析法

［例2］已知a>0,1—^>1,求证：-\/H-a>^=^.

［证明］由已知：一及«