讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 习题课 弦长问题

习题课弦长问题

【学习目标】1.会求直线被椭圆所截的弦长.2.掌握有关椭圆的最值问题.

【导语】

我们知道，当直线被圆所截时，求弦长有两种方法：一是代数法求弦长，二是几何法求弦长，

当直线被椭圆所截时，弦长如何求呢？

一、弦长问题

问题1当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？

提示当直线斜率存在时，设直线方程为y=h+机（�）,椭圆方程为，+1=1（。»＞0）或《

+京直线与椭圆的两个交点为A（xi，9），8（X2，）明

则\AB\=^/（Xi—X2）2+（yi—J2）2，

所以=yj（^i—X2）2+（kx\-te）2

=yji+lcyl（x\—X2）2

=71+k\（汨+12）2—4X1X2,

或|A8|=q&1W+8一”）2

=\J1+W（yif）2

=yj1+汽。1+竺）2—4yly2.

其中，》+必Q2或》+如的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y（或x）后得

到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.

当直线斜率不存在时，可代入直接求得.

【知识梳理】

9,2

弦长公式：当直线尸船+双丘0）与椭圆也+*=13乂＞0）的两交点为A（M，yi）,仇及，＞2）时，

IABI=qa】_及）2+8—y2y

=71+W（M+初）2-4为及或|48|

=、/[+为8+）'2）2一外1%.

注意点：

（1）利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.

（2）不确定直线斜率的情况下，要分类讨论.

例1(教材Pl14练习2改编)已知斜率为2的直线/经过椭圆t+£=l的右焦点人，与椭圆

相交于4,B两点，求弦A8的长.

解因为直线/过椭圆［+1=1的右焦点Fi(l,O),

又直线斜率为2,所以直线/的方程为丫=2。-1),即2x-y-2=0.

得交点4（0,-2）,B（J,1

所以\AB\=«（XA一切）2+&A-冲）2

r_22

由方程组彳一,

、2x—y—2=0,

消去y得3*—5*=0,因为/=（-5>=25>0,

则Xl+X2='X\X2=0.

所以|A8|=7（X|—X2）2+—y2>

=、（笛-X2）2（l+北8）

=7（1+设B）[（X|+X2）2-4X1X2]

=^J（l+22（（1）2-4X0_

_5^5

—3,

住+j

方法三由方程组54，

、2x一厂2=0,

消去x得3y2+2〉一8=0,

因为J=22-4X3X（-8）=100>0,

28

则/+?=_],yij2=—3>

所以|4B|=7（xi-刈）2+（y।—"A

喘+1)

=、/(1+看)[8+")2-4yly2]

5度

3-

反思感悟求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接

利用弦长公式求解.

跟踪训练1已知椭圆C：，+5=1(9>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为竽直线产k(x

—1)与椭圆C交于不同的两点M,N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△4MN的面积为邛时，求后的值.

4=2,

解(1)由题意得｛2=乎，得b=巾,

222

.a=b+c9

所以椭圆C的方程为1+^=1.

'y=k(x—l),

(2)由得(1+2标)/一4后》+2M—4=0.

设点M,N的坐标分别为(X|,力)，(如)2),

4必2^—4

则X[+X2=]+2炉，X|X2=]+2]，

所以\MN]=yl(X2—X|)2—(>'2—yI)2

=、(1+F)[(X1+X2)2-4X1X2]

2y(1+F)(4+6F)

——1+2/r

因

又点A(2,0)到直线y=k(x-l)的距离d=

w+官

所以△AMN的面积

由噌警=邛，得-±1,满足/>().

所以当△AMN的面积为=0时，k=±l.

二、与弦长有关的最值问题

例2在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：S+£=l(a*°)的离心率e=孚，且点P(2,l)在

椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为一1的直线与椭圆C相交于4,8两点，求△AOB面积的最大值.

,C也

e=a=29

a=#,

解⑴由题意得<4+/=1

、b=小,

<a2=b2+c2,

・.,椭圆C的方程为轩9=1.

(2)设直线AB的方程为y=-x+m,

得3/—43+2〃——6=0,

〃/>0,

4加

<龙1十X2一§，

2/n2—6

—阳=-J-，

\AB\=^/l+(—l)2|xi—X2\,

原点到直线的距离d=招.

•'-5AO4B=2^布哪

V2r-------_V29-m2+w2

=太飞(9一〃「)nrW3-

3啦

—2-

当且仅当旭=普时，等号成立，

/\AOB面积的最大值为号3

反思感悟求与椭圆有关的最值、范围问题的方法

(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.

(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.

(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解,

注意椭圆的范围.

7,2

跟踪训练2已知椭圆也+$=13»>0)的左、右焦点分别为尸1，尸2，点在椭圆上,

且有|PQI+|P&I=2^.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过后的直线/与椭圆交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.

解⑴由|PB|+|PBI=2g，得2a=2吸,

：.a=巾.

v2#

将代入亍+乒=1,

得从=1.

...椭圆C的方程为5+)2=1.

(2)由已知，直线/的斜率为零时，不符合题意;

设直线方程为无一1=阳,4(为，”)，8(X2,>2),

x=my+I,

联立

y+2/=2,

得(/nZ+Z9+Zmy—1=0,

,2m

%+”=_亦，

由根与系数的关系，得

1

)例=一百,

5/^08=义|。-2卜|)」一丁2|

=力/任+”)2—4)，1”

2m\

亦卜4X

刀/+1

=^X

z724+4m2+4

m2+1

=小义

(m2+1>+2(〃f+1)+1

=^2X

（加+D+寻r+2

X

（加+1）悬i+2

当且仅当〃+1=武:即机=0时，等号成立.

：./XAOB面积的最大值为y

■课堂小结

1.知识清单：

（1）弦长问题.

（2）与弦长有关的最值、范围问题.

2.方法归纳：数形结合.

3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况.

N随堂演练

1.过椭圆/+£=13*0）的焦点尸（。,0）的弦中最短弦长是（）

答案A

解析最短弦是过焦点F（c,0）且与焦点所在坐标轴垂直的弦.

将x=c代入椭圆「+*=1，

1

故最短弦长是2詈b.

2.直线），=尤+1被椭圆/+49=8截得的弦长是（）

A喈B华C,V34D.手

答案A

解析将直线y=x+l代入*+4尸=8,

可得f+4（x+1）2=8,即5f+8x-4=0,

••X]=-2,%2=§,

7

••yi=T,丫2=彳

直线y=x+l被椭圆/+49=8截得的弦长为、/停+2）2+（卜1）2=粤2

3.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4,过右焦点尸2且垂直于x轴的直线交C于A,B

两点，且|AB|=3,则C的方程为（）

A.^+^=lB.y+y2=1

十21"，5十41

答案A

解析设椭圆的方程为，+乐=1（。>/>0）,

贝ij2a=4,a=2,

・・・48经过右焦点6且垂直于x轴，且|A8|=3,

x2V2b1

将x=c代入”+方=1得y=±z，

.•.〃=3,.•.椭圆C的方程为"+^=1.

2

4.倾斜角为亦兀的直线经过椭圆x，+V=1的右焦点况且与椭圆交于A,8两点，则弦长|AB|

等于（）

C.2吸D.4y/2

答案B

解析因为椭圆^+V=1的右焦点为尸（1,0），

又倾斜角为今的直线经过椭圆5+V=l的右焦点F，且与椭圆交于A,B两点,

所以直线AB的方程为y=tan；（x—l）=x—1.

设A(xi,yi),8(X2,”),

得f+2(x—l)2=2,

4

-

3

即3f—4x=0,所以＜

、X］尤2=0,

4P

所以弦长\AB\1+12^/（X|+X2）2—4XIX2=

3,

课时对点练

_基础巩固

1.过椭圆d+2y2=4的左焦点作倾斜角为;的弦A3,则弦AB的长为（）

>7-16

答案B

解析易求直线AB的方程为y=小（x+啦）.

卜=小（尤+也），

由S,

[x2+2y2=4,

消去y并整理，得7f+l2px+8=0.

设A（xi,》），B（X2,yi）,

mi12-8

则用十必=-7,X\X2=J.

由弦长公式，得依用=卜1+后|由一刈=41+（小）2X

2.已知椭圆c："+]=i的左、右焦点分别为a,&,过尸2且斜率为1的直线/交椭圆c

于A,B两点，则△尸A8的面积为（）

逃4^312A/28^3

/».»UJO.Rr

答案c

设直线A8的方程为）,=x—1,联立椭圆方程Y+（=l,

解析

整理可得7/-8x-8=0,

设A（X],VI）,8（X2,V2）,

8

-8

7X\X2——丁

故弦长\AB\=51+d、/（X]+M2—4汨.也=了.

又点尸1（一1,0）,直线A&y=x-],

则点Fi到直线4B的距离d=p,

故SN\AB=5X|AB|Xd=-.

3.已知直线y=2x与椭圆C：a+5=1(9〉0)交于42两点，点F是椭圆C的左焦点,

若闻|+|丽|=2巾，质+丽|=2,则|AB|等于()

A.2B芈C.咿D.4

答案C

解析由对称性可得的+|两=24=2也，

所以a=6,

又说+沌|=2c=2,

所以c=l,所以〃=1,

即椭圆C的方程为5+)2=1,

将y=2x-与，+)2=1联立，消去y得％21，

所以|AB|=yj\+22X2X|x|=2小义

4.直线y=x+2交椭圆9+^=1于A,8两点，若|AB|=3啦，则机的值为()

A.16B.12C.2小D.3

答案B

解析方法一由椭圆3+9=1，得上顶点为(0,2),

而直线y=x+2也过(0,2),

所以40,2)为直线与椭圆的一个交点，

设B(XB,犯)，

则|AB|=N(XB—XA)2+(yB—yA)2=71+斤|加一心|=也闷=3p,

解得初=±3,所以8(—3,-1)或仇3,5)(舍去)，

把8(—3,—1)代入椭圆方程得9/户11,故m=12.

'y—x+2,

方法二

得（4+巾］+4〃a=0,所以&=0,

22

又|4B|=yl（xB—xA）+（yB—yA）=yJ1=61戈国,

4加

所以也=3啦,

4+/w

因为20,所以不二3,故*12.

5.若点。〃，"）在椭圆9f+丁=9上，则/£的最小值为（）

真空直3

21•3JU•3•2JL/•j

求后的最小值即求过点5,"）和点（3,0）的直线斜率的最小值,

设过点（相，"）和点（3,0）的直线方程为y=k（x—3）,

产3—3),

联立j，=>(9+F)f—6匹v+9(解-1)=0,

9

知当/=0时直线斜率取最小值，/=（一6后）2—4（9+R）［9（F-l）］=0=>F=d，

O

故当上=一平时，斜率取最小值，即告的最小值为一芈.

4m—34

6.（多选）设椭圆的方程为会+?=1,斜率为上的直线/不经过原点。，且与椭圆相交于A,B

两点，M为线段A8的中点，则下列结论正确的是（）

A.kAB，koM=-1

B.若点M的坐标为（1』），则直线/的方程为2x+y—3=0

C.若直线/的方程为y=x+l,则点M的坐标为（；，»

D.若直线/的方程为y=x+2,则恒8|=半

答案BD

解析设4（即，yi）,B（M,>2）,M（xo,yo）,

两式相减，得三+咛^

=0,

即g空一2,

X]—X2X]-TX2

艮口kAB，k()M=——2.

对于A,&A/rhw=-2#—1,所以A不正确;

对于B,由心8•攵OM=-2,M(l,l)f得心8=-2,所以直线/的方程为y—1=-2(x—1),即

2x+y—3=0,所以B正确；

对于C,若直线/的方程为y=x+l,MQ,则)WOM=1X4=4-2,所以C不正确；

P=x+2,4.一4

对于D,由[2+注―]得3f+4x=0,解得x=0或x=-],所以|A8|=D1+12一§一。

=芈，所以D正确.

Y2V2

7.已知直线y=—x+1与椭圆”+3=1(以＞比＞0)相交于4,B两点,若椭圆的离心率为与,

焦距为2,则线段A3的长是.

答案华

解析由题意得椭圆方程为弓+产=1,

联立化简得3f—4x=0,

4

解得x=0或代入直线方程得

不妨设4(0,1),B(J.-g),

所以朋=A/(3_0}+(_3-1)2=^

8.已知椭圆两顶点A(—1,0),仇1,0),过焦点F(0,l)的直线/与椭圆交于C,。两点，当|C£)|

=平时，直线/的方程为.

答案皿一y+l=0或亚+丫-1=0

解析由题意得Z?=l,c=\.

/.a1=b2+c2=1+1=2.

.•.椭圆方程为$+f=l.

当直线/的斜率不存在时，|8|=26，不符合题意.

当直线/的斜率存在时，设/的方程为了=履+1,

y=kx+I,

联立,,,得（储+2）炉+2"一1=0.

,_y+2JT=2,

1=8(尸+1)>0恒成立.

设C（xi,“），D（X2,yi）.

•।一2k1

..Xi十X2一好+2'X'X2~1^+2'

：.\CD\^y[r+i?\Xi-x2\

=、1+双口1+X2）2-4X1X2

2地伙2+D

—M+2,

,25（斤+1）3也

R+2-2'

解得好=2,.♦.%=".

；・直线/的方程为正x—y+1=0或也x+y—1=0.

9.已知椭圆4f+y2=i及直线),=x+“，若直线被椭圆截得的弦长为平，求直线的方程.

解把直线方程、=》+加代入椭圆方程4*+产=1,

得4.~+。+W)2=1,即5x2+2m¥+/7?2—1=0.(*)

则A=(2m)2-4X5X(m2_])=_16ml+20>0,

解得一坐<〃?<坐.

设直线与椭圆的两个交点的横坐标为XI,X2.

m।2mm2—1

则为+*2=一亍，X[X2=--.

根据弦长公式，得/下城一豹-4X<^=率,

解得，"=0.因此，所求直线的方程为y=x.

10.己知椭圆M：提+*1(4»>0),其短轴的一个端点到右焦点的距离为2,且点A(g,

1)在椭圆M上.直线/的斜率为坐，且与椭圆M交于8,C两点.

⑴求椭圆M的方程：

(2)求△ABC面积的最大值.

仔+4=1，「

解(1)由题意知J"b解得b=地.

故所求椭圆M的方程为3+^=1.

y[2

(2)设直线/的方程为丫=争+/«,则加W0.

设8a],yi),Cte，竺)，

把直线/的方程代入椭圆方程并化简得f+小，nx+/一2=0,

由A=2/n2—4(/n2—2)=2(4—/n2)>0,

可得0<"/<4.①

.——、2(4—加)2

・2,

—y[2m+山(4一相)

及=2

故18cl1+(坐)2Wi—也|=^|Xy)2(4—nr)=yl3(4—m2),

又点A到边8c的距离为d=甯，

故SAABC=1|BC]-«/=J\/3(4—77/2)X瑞=右X3(4―用2>?.右+(：力)=也,

当且仅当苏=4—%2,即机=4时取等号，满足①式.

...△ABC面积的最大值为也.

L综合运用

11.斜率为1的直线/与椭圆点+丁=1相交于A,B两点，则|AB|的最大值为()

痍4^0

A.5B.§

由8^5

5D5

答案B

解析设A,8两点的坐标分别为3，yi),(孙算)，直线/的方程为y=x+m,

y=x+int

消去y得5『+8"a+4(m2—i)=o,

A=(8/H)2-4X5X4(/?z2-1)=80-16nr>0,即0W>v5.

制8加4(/??2-1)

则X\+X2—一歹，X]X2----.

当m=0时，|A8|取得最大值生臂.

12.已知F\,尸2分别为椭圆%+方=1(“泌>0)的左、右焦点，尸典=2,过椭圆左焦点且斜

率为坐的直线交椭圆于A,8两点，若&ABB=4,则弦长HB|等于()

A.8B.6C.5D.华

答案A

=

解析,*,S^ABr^4,c=1,

・・.；X2cX|yA—冲|=4,

•••仇4一)%|=4.

•.•直线过椭圆左焦点且斜率为坐,

：.\AB\=-\I+/必-加|=8.

13.椭圆C：点+尸1，过A(0,2)作直线/与椭圆C交于“，N两点，。为坐标原点，若△AOM

与△AON的面积之比为5:3,则直线/的斜率为()

A.1B.|C.±1D.±2

答案C

解析由题意，设M(xi,yi),MM,>2),

由题意知，直线,的斜率存在且不为0,设直线/：y=kx+29

[y=fcr+2,

消去y,整理得(l+4S)f+16"+12=0,

由/=256斤一48(1+4F)>0,解得国；

r16%

为十忿=一五花，

则

X1X2-]+4-，

根据椭圆的对称性可知，M,N在y轴的同一侧，即Xi,X2同号;

_X£_5

又△AOM与△AON的面积之比为5：3,即~X2~39

S^AONLAmiI

m5

则X1=]X2,

、,T6k—吃816k

代yb入Xi+及=-]+4.，可行）X2=-1+4后

即X2=一品，

所以L岛，

P12

乂乃及一]+4标，

犷a6k10A-12

所以1+49,1+4斤―77而'

3

-

4

14.已知椭圆C：y+/=l,直线/过椭圆C的左焦点尸且交椭圆于A,B两点，AB的中垂

线交x轴于M点，则噂的取值范围为（）

一11

_-

AB_^4

0,

一

答案B

解析椭圆C：彳+/2=1的左焦点为尸（一1,0）,

当直线/的斜率为0时，/:y=0,4（一6，0）,8（小,0）,例（0,0）,\FM\=\,|AB|=2w,

\FM\_1

所以iW=8'

x=my—1,

当直线/的斜率不为0时，设/：x=my-\,与椭圆联立＜2+2_[

可得（加+2））2—2加）-1=0,

2m

yi+>'2=/n2+2,

由根与系数的关系得<

1

叩=一亦,

所以AB的中点为

所以A8的中垂线方程为/OM：x=一\（y一消工）一获占,

令y=°，得4一六，0），

­/n2+1

所以尸M=/，

8（苏+1）2

又|AB『=（1+加2）[（）,|+”）2—4>'I72]=

（，"+2）2'

.|F^|nr+21

6rr1+-

综上所述，iweii）-

L拓广探究

15.如图，哈尔滨市有相父于点O的一条东西走向的公路/与一条南北走向的公路，力有一商

城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2,短

半轴长为1（单位：千米）.根据市民建议，欲新建一条公路PQ,点P,。分别在公路/,机上,