高考数学二轮复习 考前二 函数与导数 第2讲 函数的应用讲学案 理-人教版高三全册数学学案

第2讲函数的应用

_考情考向分析-------------------------------1

1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填

空题的形式出现.

2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.

H热点分类突破----------------

热点一函数的零点

1.零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间［a,6］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)•那么，

函数y=f(x)在区间(a,6)内有零点，即存在cG(a,吩使得f(c)=O,这个c也就是方程

f(x)=0的根.

2.函数的零点与方程根的关系

函数F8=F(x)—g(x)的零点就是方程/<x)=g(x)的根，即函数y=F(x)的图象与函数y

=g(x)的图象交点的横坐标.

9

例1(1)方程ln(x+D-—=05〉0)的根存在的大致区间是()

x

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(3,4)

答案B

2

解析设f(x)=In(x+1)—,

x

则f(l)=ln(l+l)-2=ln2-2<0,

而f(2)=ln3-1>0,

所以函数『(x)的零点所在区间为(1,2).

所以B选项正确.

(2)(2017届河北沧州一中月考)已知定义在R上的偶函数/1(x)满足/'(x+2)=f(x),且当x

e［0,1］时，以卦=x,则方程f(x)=log31|的解的个数是()

A.0B.2

C.4D.6

答案c

解析运用函数的奇偶性、周期性在同一平面直角坐标系中画出函数p=F(x),y=log3|^|

的图象，结合图象可以看出：两个函数y=f{x),y=log31x|有四个不同的交点，即方程f{x)

=log31x|有四个解，故选C.

y=log3lxl

思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有

⑴函数零点大致存在区间的确定.

⑵零点个数的确定.

(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、

利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结

合法求解.

跟踪演练1(1)函数/"(x)=2'+2x的零点所在的区间是()

A.[—2,—1]B.[—1,0]

C.[0,1]D.[1,2]

答案B

解析/'(-2)=2-2+2X(-2)<0,/,(-1)=2-1+2X(-1)<0,A0)=2°+0>0,由零点存在

性定理知，函数f(x)的零点在[—1,0]内，故选B.

(2)(2017届甘肃高台县一中检测)己知函数f(x)满足：①定义域为R；②VxGR,都有F(x

+2)=f(x)；③当xC[—1,1]时，/1(x)=—|x|+1,则方程f(x)=1log2|x|在区间[―3,5]

内解的个数是()

A.5B.6C.7D.8

答案A

解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.

y=/iog2M

热点二函数的零点与参数的范围

解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结

合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.

1

例2(1)(2017届山东荷泽一中宏志部月考)已知偶函数f(x)满足/1)=而‘且当x

G［—1,0］时,f(x)=1,若在区间［—1,3］内，函数g(x)=F(x)—logKx+2)有3个零点,

则实数a的取值范围是—

答案(3,5)

解析••・偶函数f(x)满足f(x—1)=看,

且当xG［—l,0］时，fkx}=x,

f(x-2)=f(x—1—1)=——=f(x),

务一1)

函数f(x)的周期为2,在区间［―1,3］内函数g(x)=f(x)—loga(x+2)有3个零点等价于

函数f(x)的图象与y=loga(x+2)的图象在区间［—1,3］内有3个交点.

floga3<L

当0〈a〈l时，函数图象无交点，数形结合可得a>l且，解得3〈a〈5.

［10ga5>1,

(ex,x20,

(2)己知实数/"(x)=,,小若关于x的方程f2(x)+f(x)+力=0有三个不同

〔lg(一x),水0,

的实根，则力的取值范围为.

答案(-8,-2］

解析方法一原问题等价于f2(x)+f(x)=-t有三个不同的实根，即y=T与y=

f2(x)+f(x)的图象有三个不同的交点.当x20时，y=f2(王)+/>5)=产+/为增函数,

在x=0处取得最小值2,与尸一力只有一个交点.当K0时，y=f2(x)+f(x)=lg"一x)

+lg(—x)，根据复合函数的单调性，其在(一8,0)上先减后增.所以，要有三个不同交点，

则需一解得力W—2.

方法二设7=/(x),作出函数f(x)的图象，如图所示，则当0N1时，〃=/(x)有两个根,

当成1时，0=f(x)有一个根，若关于x的方程f2(x)+f(x)+力=0有三个不同的实根，

则等价为方+/+力=0有两个不同的实数根，且小三1或成1,当勿=1时，t——2,此时由

2=0,解得加=1或加=—2,满足f(x)=1有两个根，/(x)=-2有一个根，满足条

件；当0¥1时，设亚血=序+/+3则尔1)〈0即可，即1+1+《0,解得《一2,综上，

实数方的取值范围为tW—2.

思维升华(1)方程f(x)=g(x)根的个数即为函数y=f(x)和y=g⑷图象交点的个数.

(2)关于x的方程f(x)一〃=0有解，m的范围就是函数y=f(x)的值域.

—

跟踪演练2⑴已知函数f(x)='x''若关于x的方程f(x)—k=Q

、一(x—3)2+2,x22,

有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是.

答案［0,1)U(2,+-)

'2

一,x12,

解析画出函数/'(x)=jx''的图象如图所示，结合图象可以看出当0

、一(x—3y+2,x22

W"〈l或4>2时符合题设.

⑵(2017•全国III)已知函数/1(x)=x2—2x+a(e-+e-，+i)有唯一零点，则a等于()

111

BCD

A.-2-3-2-

答案c

解析方法一f(x)=x?—2x+a(e-i+e—*)=(X—l)2+a[ei+e-2D]—1,

令t=x~\,则g(t)=/1(t+1)=t2+a(ef+e-0—1.

(—t)=(-t)2+a(e-，+eO-l=g(力，

函数g(力为偶函数.

•••f(x)有唯一零点，.•.4*)也有唯一零点.

又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)=0,

.,.2a—1=0,解得a=1'.故选C.

方法二f{x)=0<=^a(e>1+e'+1)=~x+2x

e—+e-4》2#i•e)+i=2,

当且仅当x=l时取“=

—f+2x=—(x—1T+1W1,当且仅当x=l时取“=

若a>0,则a(eJ'1+e-x+1)N2a,

要使f(x)有唯一零点，则必有2a=1,即a=g.

若aWO,则/<x)的零点不唯一.故选C.

热点三函数的实际应用问题

解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定

义域.其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出

相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式.(3)

解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题的结

果转化成实际问题作出解答.

例3(2017届湖北孝感市统考)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)

与速度x(千米/小时)(50WW120)的关系可近似表示为：

±(/—130矛+4900),xG[50,80),

X..

12--,[80,120].

{bO

(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？

(2)已知48两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从/地驶向8地，则汽车速度为多少

时总耗油量最少？

解⑴当xG[50,80)时，

y=~(/—130^+4900)=~[(jr—65)2+675]

7575

当x=65时，y有最小值<X675=9.

当xe[80,120]时，函数单调递减，故当x=120时，y有最小值10.

因为9〈10,故当x=65时每小时耗油量最低.

19(1

(2)设总耗油量为1,由题意可知l=y--.

x

①当xd[50,80)时,

4900

当且仅当了=——，即x=70时，/取得最小值16.

x

|2。1440

②当XG[80,120]时，•旦=-^—2为减函数.

XX

当x=120时，/取得最小值10.

因为10〈16,所以当速度为120千米/小时时，总耗油量最少.

思维升华(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之

间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.

(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.

跟踪演练3(2017届运城期中)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支

持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单

位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的

函数关系可近似的表示为y=j/-200^+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工

产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补

贴多少元才能使该单位不亏损？

解(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

当且仅当里詈,即x=40°时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为2。。元.

(2)设该单位每月获利为S,

则S—100jr—y=1OO^r——200x+80000J

=-1/+300^-80000=--（X—300）2-35000,

因为MOW忘600,

所以当x=400时，S有最大值一40000.

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.

U真题押题精练-----------------

真题体验

1

-

1.(2016•天津改编)已知函数f{x)=sinF^+]sincox2O>0,x£R).若F(x)在区

间（五，2n）内没有零点，则。的取值范围是

--

115

答案-U

8-8-

--4J

fL/、—COS3X,11

角牛析F（x）=-------2-------+]sinGX-]

1,・、应」JI

=]（sinGX-cos公刈=^~sin|ax~~

因为函数广（x）在区间（兀，2兀）内没有零点，

TJi

所以；7>2n—n,所以一>Jt,所以0〈。〈1.

乙3

兀，兀兀、

当x£（Ji,2兀）时，3X―1兀――,2口兀一■—\,若函数F（x）在区间（兀，2兀）内有

jiJik\1

零点，贝1Jg兀-7<«兀<2口兀一不（A£Z）,即5+s<qZ）.

44Zo4

11

Y55

0<-

当k=0时,O4当左=1时，-<^<~

所以函数F（x）在区间（兀，2兀）内没有零点时，

1、15

0<公号或：WgWj

o4o

2.（2017•山东改编）已知当xe[0,1]时，函数y=（“一1尸的图象与y=，I，+0的图象有

且只有一个交点，则正实数小的取值范围是.

答案（0,1]U[3,+8）

解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)=Ex—l)2=〃1x—与g(x)=、/；+m的

大致图象.

分两种情形:

⑴当。〈辰1时，>1,如图①，当在［0,1］时,

/<x)与g(x)的图象有一个交点，符合题

.意.

(2)当加>1时，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在［0,1］上只有一个交点，只需

g(l)Wf(l),即1+zzzW(加一1)2,解得刃23或0W0(舍去).

综上所述，(0,1］U［3,+8).

3.(2017•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间［0,1)上，Hx)=

xRD,

,则方程F(X)—lg£=0的解的个数是

x,WD,

答案8

解析由于f(x)£［0,1),则只需考虑lWx<10的情况，在此范围内，xEQ,且与Z时，设

x=%p,q£N*,夕22且夕，°互质.若lgx£Q,则由lgx£(0,1),可设lgx=2,m,n

n

£N*,勿22且加，77互质.因此10根=Z

P

则10"=%),此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此1g昶Q,因此lgX不可能与每

个周期内对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期内对2部分的交点，画出函数草

图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内解，部分，且x=l

处(Igx)'=廿/=［=<1，则在x=l附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.

xln10In10

y

押题预测

1.F(x)=2sin兀x—x+l的零点个数为()

A.4B.5

C.6D.7

押题依据函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方

法.

答案B

解析令2sin兀x—x+l=O,则2sinnx=x~\,令力(x)=2sinnx,g^x)=x~l,则

F(x)=2sinJix—x+1的零点个数问题就转化为两个函数力(x)与g(x)图象的交点个数问

2兀一一

题.为(x)=2sinJtx的最小正周期为7=—=2,回出两个函数的图象，如图所不，因为

尔l)=g(l),g(4)=3>2,g(—1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,

所以f(x)=2sinKx—x+1的零点个数为5.

x+2,

2,,,若函数g(x)=『(x)—2x恰有三个不同的零点，

{x-+5x+2,Ma,

则实数a的取值范围是()

A.[-1,1)B.[0,2]

C.(-2,2]D.[-1,2)

押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体

现了数形结合思想.

答案D

—x-\~2x>a

13叶2,要使函数会恰有三个不同的零点，只需

g(x)=0恰有三个不同的实数根，

[x>a,

所以或2

[—x+2=0[x+3x+2=0,

所以g(x)=0的三个不同的实数根为x=2(x>a),x=-l(xWa),x=—2(xWa).

再借助数轴，可得一lWa〈2.

所以实数a的取值范围是[—1,2),故选D.

3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其

边长x为m.

押题依据函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点.

答案20

解析如图,

过力作6c交玄于点〃，交应于点凡

„,DExADAF

易知清而

则S=x(40—x)W当且仅当40—x=x,

即x=20时取等号，所以满足题意的边长x为20m.

ET专题强化练

A组专题通关

1.已知函数f(x)=0—sinx,则f(x)在[0,2n]上的零点个数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案c

解析由题意得『（X）在［0,2m］上的零点个数即为函数与函数y=sinx在［0,2n］

上的交点个数，如图所示，结合图象可得函数尸［，'与函数y=sinx在［0,2m］上交点的

个数为2,故选C.

2.（2017届遵义期中）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运

营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入

均为21万元，设该设备使用了〃（AGN*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成

本），则〃等于（）

A.6B.7

C.8D.7或8

答案B

"11341

解析盈利总额为21/7—9—2/?+-XTT（77—1）X3=--/72+—77—9,

由于对称轴为片干所以当片7时，取最大值，故选B.

3.（2017届陕西西安铁一中三模）如图是函数/U）=f+ax+力的部分图象，则函数g（x）=

In（x）的零点所在的区间是（）

C.(1,2)D.(2,3)

答案B

0〈式0)〈1,0<ZKl,

解析由函数图象可知即

彳1)=0,

函数g(x)=lnx+2x+a=lnx+2x~\—b,

6)=ln~+1—1—b=-In2—Z?<0,

g⑴=ln1+2—1—6=1—6>0,

所以零点所在的一个区间为g，1),故选B.

4.已知函数y=f(x)的周期为2,当xG［0,2］时，f(x)=(x—1)?,如果g(x)=f(x)—logs周

-11，则方程g(x)=0的所有根之和为()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析在平面直角坐标系中画出函数y=f(x)及y=log51x—1|的图象，结合函数的图象可

以看出函数共有8个零点，且关于x=l对称，故所有零点的和为2X4=8,故选D.

5.(2017届湖南长沙一中月考)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶剩余的

水量符合指数衰减曲线尸ae”.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过0min甲桶

中的水只有(升，则加的值为()

A.5B.6

C.8D.10

答案A

解析根据题知，因为5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数满足广(5)=施5〃

可得力=gln因此当kmin后甲桶中的水只有弓升，即广(A)=*即(in1•A=ln

2524452

1「…111

I，所以［n--A=21n

解得次=10,k—5=5,即7=5,故选A.

6.(2017届陕西黄陵中学月考)函数f(x)的定义域为［—1,1］,图象如图1所示，函数g(x)

的定义域为［—2,2］,图象如图2所示，方程f(g(x))=0有/个实数根，方程屋f(x))=0

有〃个实数根，则〃+〃等于()

A.6B.8

C.10D.12

答案C

解析注意到f(—1)=F(0)=广(1)=0,g(x)=-1有2个根，g(x)=0有3个根,g(x)=1

有2个根，故R=7.注意到{一习=4(0)=£>0,—1WF(X)W1,_f(x)=0有3个根，故

刀=3,所以〃+77=10.

\x-a,xWO,

7.(2017届江苏无锡市普通高中期中)若函数尸一…在区间(一2,2)上有

［x—a+lnx,x〉0

两个零点，则实数a的取值范围为.

答案［0,2+ln2)

解析由题设可知函数y=3一己与函数y=x—a+lnx在给定的区间(一2,0］和区间(0,2)

一石W0,620,

内分别有一个根，结合图象可得,4一於0,即1水4,

2-a+ln2>0,、水2+In2,

所以0〈水2+ln2.

8.(2017届江苏泰州中学期中)定义在R上的函数F(x)满足F(x)+/1(x+5)=16,当(一

1,4］时，f(x)=V—2*,则函数f(x)在区间［0,2016］上的零点个数是.

答案605

解析因为/1(x)+f(x+5)=16,则/'(x+5)+f(x+10)=16,所以/1(x)=f(x+10),所以

该函数的周期是7=10.由于函数y=f(x)在(-1,4］上有三个零点，因此在区间(一1,9)上只

有三个零点，而2016+5=403+1,故在区间［0,2016］上共有(403X3+1)+2=(1209+

1)+2=605(个)交点.

9.(2017届河南省郑州市第一中学质量检测)对于函数F(x)与g(x),若存在Ae{xGR|f(x)

=0},〃e{xeR|g(x)=0},使得|1一则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”,

现已知函数f(x)=e"T+x—3与g(x)=9—ax—x+4互为“零点密切函数”，则实数a的取

值范围是.

答案⑶4］

解析由题意知，函数f(x)的零点为X=2,设g(x)满足|2—的零点为〃，因为|2

—解得1W〃W3.

因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的一个零点落在区间[1,3]±,

〃夙1)>0,

欧3)>0,

则需满足g(l)g(3)W0或</20,

a+1

1<——<3,

解得hWaWd或3W水?，取并集得3W〃W4.

O0

故实数a的取值范围为[3,4].

10.(2017届江西抚州市七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥

用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投

入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大

棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入只种黄瓜的年

收入0与投入a(单位：万元)满足片80+4，媪，0=]a+12O.设甲大棚的投入为x(单位：

万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)

(1)求f(50)的值;

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益/<x)最大？

解(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，

所以『(50)=80+4-\/2X50+|x150+120=277.5.

令.5675],

贝Iy=-^t2+4^2t+250=-1(t-8A/2)2+282,

当2=8镜，即x=128时，f(x)蚪=282,

所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.

B组能力提高

11.(2017届湖北孝感统考)定义在R上的奇函数f(x),当x'O时，f(x)=

log](x+l),0Wx〈l,

<2则关于x的方程f(x)—a=O(O<a〈l)所有根之和为1一则

、1一|X—3|,x与1,

实数己的值为()

\[21

A.B.~

\[21

34

答案B

解析因为函数Ax)为奇函数，

所以当(―1,0]时，_f(x)=—/1(—x)=—log1(―x+1)=log2(l—x)；

2

当x£(—8,—1]时，f(x)=-f{—x)=—(1—|—3|)=\x+3\—1,所以函数f(x)的

图象如图所示，函数Hx)的零点即为函数y=f(x)与尸》的交点，如图所示，共5个；当x

£(一8,—1]时，令|x+3|—1=5,解得荀=一4-&X2=a-2,当xR(―1,0)时，令log2(l

—x)=a,解得用=1-2、当x£[l,+8)时，令l—|x—3|=a,解得系=4一女，禹=a+2,

所以所有零点之和为矛1+济+为+为+不=-4—a~\~a—2+1—2a+4—a+a+2=1-2a=1—

f|10g5(l—A)|,XI,

12.(2017届杭州地区四校联考)已知函数Ax)=/、则方程

〔一(X—2p+2,

f(x+：—2)=a的实根个数不可能为()

A.8B.7C.6D.5

答案D

解析如图所示，画出函数_f(x)以及g(x)=x+：—2的图象，从而可知，当水。时，方程

/'(x)=a有一正根，.,.方程『［x+：-2)=a有两个根；当a=0时，方程f(x)=a有一个

正根，一个根0,(x+:-2)=a有三个根；当0〈a〈l时，方程f(x)=a有两个正根，

一个大于一4的负根，(x+1—2)=a有四个根；当