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文档简介
PAGEPAGE14等差数列的概念(第1课时)素养目标学科素养1.理解等差数列及等差中项的概念.2.驾驭等差数列的通项公式.(重点)3.驾驭等差数列的判定方法.1.数学运算;2.逻辑推理情境导学姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:第一天:6000;其次天:6500;第三天:7000;第四天:7500;第五天:8000;第六天:8500;第七天:9000.得到数列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,90001.等差数列、等差中项的概念等差数列一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简洁的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b推断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)假如一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数,那么这个数列是等差数列.(×)(2)数列0,0,0,0,…不是等差数列.(×)(3)在等差数列中,除第1项和最终一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等差中项.(√)2.等差数列的通项公式(1)首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.(2)第n项与第m项的关系为an=am+(n-m)d,从而可得变形公式:d=eq\f(an-am,n-m).(1)等差数列{an}的递推公式如何表示?提示:已知公差d,an-an-1=d(n≥2)是递推公式.(2)数列{an}的通项公式an=kn+b(k,b∈R),能否判定{an}是等差数列?提示:∵an=kn+b,∴an-an-1=kn+b-[k(n-1)+b]=k,k为常数.∴{an}是等差数列.1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列A解析:∵an-an-1=2n+5-(2n+3)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.2.在等差数列{an}中,首项a1=5,公差d=3,则当an=2021时,n等于()A.671 B.672C.673 D.674C解析:∵a1=5,d=3,∴an=5+(n-1)×3=3n+2.令3n+2=2021,得n=673.3.若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为()A.-1 B.-eq\f(3,2)C.1 D.eq\f(3,2)C解析:∵a,b是方程x2-2x-3=0的两根,∴a+b=2.∴a,b的等差中项为eq\f(a+b,2)=1.4.在等差数列{an}中,若a5=11,a8=5,则其通项公式为an=______________.-2n+21解析:∵d=eq\f(a8-a5,3)=-2,∴an=a5+(n-5)d=11+(n-5)×(-2)=-2n+21.5.已知公差d=-eq\f(1,3),a7=8,则a1=________.10解析:∵a7=a1+6d=8,∴a1=8-6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)))=10.【例1】下列说法正确的是()A.若a-b=b-c,则a,b,c成等差数列B.若an-an-1=n(n∈N*且n>1),则{an}是等差数列C.等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列D.等差数列的公差是该数列中随意两项的差A解析:对于A,由a-b=b-c,可得b-a=c-b,因此a,b,c成等差数列,所以A正确;对于B,n不是固定常数,该数列不是等差数列,所以B错误;对于C,公差d可以等于0,所以C错误;对于D,应为相邻两项.【例2】已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别是________.5,-1,-4解析:依据等差中项的定义,且8,a,2是等差数列,得2a=8+2,解得a=5.①由a,2,b是等差数列,得2×2=a+b,②同理,由2,b,c是等差数列,得2b=2+c.③①②③联立,解得b=-1,c=-4.(1)等差数列的定义中特殊强调“从第2项起”,假如一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.(2)等差数列的定义中特殊强调作差的依次,即从第2项起,每一项与它的前一项作差,而不是与后一项作差,切不行将减数与被减数弄颠倒.(3)一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的差尽管是常数,这个数列也不肯定是等差数列,当常数不同时,就不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”.(4)常数列都是等差数列,公差为0.1.若数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=________.0解析:∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数,∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数,∴2a=0,∴a=0.2.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m与n的等差中项是________.3解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得m+n=6.所以m与n的等差中项为eq\f(m+n,2)=eq\f(6,2)=3.【例3】在等差数列{an}中,已知a5=11,a8=5,则a10=________.1解析:(方法一)设an=a1+(n-1)d,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5=a1+5-1d,,a8=a1+8-1d,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11=a1+4d,,5=a1+7d,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=19,,d=-2.))∴an=-2n+21(n∈N*).∴a10=-2×10+21=1.(方法二)设公差为d,∵a8=a5+(8-5)×d,∴d=eq\f(a8-a5,3)=-2,∴a10=a8+(10-8)×d=1.(方法三)设an=An+B,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5=5A+B,,a8=8A+B,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11=5A+B,,5=8A+B,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A=-2,,B=21,))∴an=-2n+21,∴a10=1.求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1,d的值,再利用an=a1+(n-1)d写出通项公式,这是求解这类问题的基本方法.(2)已知等差数列中的两项,可用d=eq\f(an-am,n-m)干脆求得公差,再利用an=am+(n-m)d写出通项公式.(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点,通过an是关于n的一次函数形式,列出方程组求解.1.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解:设等差数列{an}的公差为d.∵a5=10,a12=31,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+4d=10,,a1+11d=31,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=-2,,d=3.))∴这个等差数列的首项a1=-2,公差d=3.2.已知数列{an}为等差数列,a3=eq\f(5,4),a7=-eq\f(7,4),求a15的值.解:设等差数列{an}的公差为d,首项为a1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3=\f(5,4),,a7=-\f(7,4),))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+2d=\f(5,4),,a1+6d=-\f(7,4),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(11,4),,d=-\f(3,4).))∴a15=a1+(15-1)d=eq\f(11,4)+14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,4)))=-eq\f(31,4).探究题1推断下列数列是否为等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.探究题2已知数列{an}中,a1=eq\f(3,5),an=2-eq\f(1,an-1)(n≥2,n∈N*),数列{bn}满意bn=eq\f(1,an-1)(n∈N*).求证:数列{bn}是等差数列.证明:因为an=2-eq\f(1,an-1)(n≥2,n∈N*),bn=eq\f(1,an-1)(n∈N*),所以bn+1-bn=eq\f(1,an+1-1)-eq\f(1,an-1)=eq\f(1,2-\f(1,an)-1)-eq\f(1,an-1)=eq\f(an,an-1)-eq\f(1,an-1)=1.又b1=eq\f(1,a1-1)=-eq\f(5,2),所以数列{bn}是以-eq\f(5,2)为首项,1为公差的等差数列.探究题3已知eq\f(1,a),eq\f(1,b),eq\f(1,c)成等差数列,求证:eq\f(b+c,a),eq\f(a+c,b),eq\f(a+b,c)也成等差数列.证明:因为eq\f(1,a),eq\f(1,b),eq\f(1,c)成等差数列,所以eq\f(2,b)=eq\f(1,a)+eq\f(1,c),即2ac=b(a+c).而eq\f(b+c,a)+eq\f(a+b,c)=eq\f(cb+c+aa+b,ac)=eq\f(c2+a2+ba+c,ac)=eq\f(c2+a2+2ac,ac)=eq\f(c2+a2+2ac,\f(ba+c,2))=eq\f(2a+c,b),所以eq\f(b+c,a),eq\f(a+c,b),eq\f(a+b,c)也成等差数列.探究题4已知数列{an}满意a1=2,an+1=eq\f(2an,an+2).(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列?说明理由.(2)求an.解:(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列.理由如下:因为a1=2,an+1=eq\f(2an,an+2),所以eq\f(1,an+1)=eq\f(an+2,2an)=eq\f(1,2)+eq\f(1,an),即eq\f(1,an+1)-eq\f(1,an)=eq\f(1,2).所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项eq\f(1,a1)=eq\f(1,2),公差d=eq\f(1,2)的等差数列.(2)由(1)可知eq\f(1,an)=eq\f(1,a1)+(n-1)d=eq\f(n,2),所以an=eq\f(2,n).等差数列的三种判定方法(1)定义法:证明对随意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对随意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,依据定义得出数列{an}为等差数列.(3)通项公式法:已知an=pn+q,得an+1-an=p对随意正整数n恒成立,依据定义判定数列{an}为等差数列.已知数列{an}满意a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列,并求{an}的通项公式.(1)解:由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)证明:由已知nan+1-(n+1)an=2n2+2n,得eq\f(nan+1-n+1an,nn+1)=2,即eq\f(an+1,n+1)-eq\f(an,n)=2,所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为eq\f(a1,1)=1,公差d=2的等差数列.所以eq\f(an,n)=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为()A.eq\f(1,2) B.1C.-1 D.-eq\f(1,2)C解析:等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则a9=a3+6d,即3=9+6d,解得d=-1.故选C.2.在等差数列{an}中,a2+a6=3,a3+a7=7,则公差d=()A.1 B.2C.3 D.4B解析:a2+a6+2d=a3+a7=7,即3+2d=7,所以d=eq\f(7-3,2)=2.3.在等差数列{an}中,已知a1=1,d=3,若an=295,则项数n等于()A.96 B.99C.100 D.101B解析:等差数列{an}中,∵a1=1,d=3,∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,.由an=295,则3n-2=295,解得n=99,故选B.4.已知数列{an}中,a1=3,an=an-1+2(n>1),则a5的值()A.9 B.10C.11 D.12C解析:∵an=an-1+2,∴an-an-1=2,{an}为等差数列,d=2,a5=a1+4d=3+8=11.故选C.5.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,且a11=-26,a51=54,试推断该数列从第几项起先为正数.解:由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+10d=-26,,a1+50d=54,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=-46,,d=2,))所以an=-46+(n-1)×2=2n-48.令an>0,得2n-48>0⇒n>24,又n∈N*,所以从第25项起先,各项为正数.6.(1)证明:1,eq\r(3),eq\r(5)不行能成等差数列;(2)证明:1,eq\r(3),eq\r(5)不行能为同一等差数列中的三项.证明:(1)假设1,eq\r(3),eq\r(5)成等差数列,则2eq\r(3)=1+eq\r(5),两边平方得12=6+2eq\r(5),即6=2eq\r(5).因为6≠2eq\r(5),冲突,所以1,eq\r(3),eq\r(5)不行能成等差数列.(2)假设1,eq\r(3),eq\r(5)为同一等差数列中的三项,则存在正整数m,n(m≠n),满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)=1+md①,,\r(5)=1+nd②,))①×n-②×m得eq\r(3)n-eq\r(5)m=n-m,两边平方得3n2+5m2-2eq\r(15)mn=(n-m)2③,由于③式左边为无理数,右边为有理数,且有理数≠无理数,故假设不正确,即1,eq\r(3),eq\r(5)不行能为同一等差数列中的三项.1.利用等差数列的定义推断一个数列是否为等差数列,关键是看a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是否等于同一个常数,或者看an+1-an=d(d为常数)是否对随意正整数n都成立.2.(1)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中的四个量a1,an,n,d,只要知道随意三个量,就可以求出第四个量.(2)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的随意指定项,也可以推断某特定数是否是该数列中的项.3.等差数列的推断方法:(1)定义法:an+1-an=d(常数),n∈N*⇔{an}为等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2,n∈N*⇔{an}为等差数列.(3)通项法:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}为等差数列.课时分层作业(三)等差数列的概念(第1课时)(60分钟100分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)学问点1等差数列及等差中项的概念1.(5分)已知在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则B等于()A.30° B.60°C.90° D.120°B解析:∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.又A+B+C=180°,∴B=60°.2.(5分)已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)C解析:∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x=a+b,,2b=3x,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=\f(3,2)x,,a=\f(1,2)x.))∴eq\f(a,b)=eq\f(1,3).学问点2等差数列的通项公式3.(5分)已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15 B.30C.31 D.64A解析:数列{an}的首项为a1,设公差为d,则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+6d+a1+8d=16,,a1+3d=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=-\f(17,4),,d=\f(7,4),))故a12=a1+11d=15.4.(5分)在等差数列{an}中,已知a1=eq\f(1,3),a4+a5=eq\f(16,3),ak=33,则k=()A.50 B.49C.48 D.47A解析:∵a4+a5=2a1+7d=eq\f(2,3)+7d=eq\f(16,3),∴d=eq\f(2,3).∴ak=a1+(k-1)·d=eq\f(1,3)+(k-1)×eq\f(2,3)=eq\f(2,3)k-eq\f(1,3)=33.∴k=50.5.(5分)在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为()A.eq\f(3,4) B.-eq\f(3,4)C.-eq\f(6,7) D.-1B解析:新等差数列中,首项为8,第9项为2.∴新公差d′=eq\f(2-8,9-1)=eq\f(-6,8)=-eq\f(3,4).6.(5分)已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则a4等于()A.15 B.23C.7 D.29B解析:∵a3+a8=2a1+9d=22,a6=a1+5d=7,∴a1=47,d=-8,∴a4=a1+3d=23.学问点3等差数列的判定与证明7.(5分)已知数列{an},a3=2,a7=1,若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an+1)))为等差数列,则a11=()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.1 D.2A解析:设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an+1)))的公差为d.∵eq\f(1,a3+1)=eq\f(1,3),eq\f(1,a7+1)=eq\f(1,2),∴4d=eq\f(1,2)-eq\f(1,3)=eq\f(1,6),∴d=eq\f(1,24),∴eq\f(1,a11+1)=eq\f(1,3)+8×eq\f(1,24)=eq\f(2,3),∴a11=eq\f(1,2).8.(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知A,B,C,D,E五人分5钱,A,B两人所得与C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱.”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中,E所得为()A.eq\f(2,3)钱 B.eq\f(4,3)钱C.eq\f(5,6)钱 D.eq\f(3,2)钱A解析:由题意,设A所得为a-4d,B所得为a-3d,C所得为a-2d,D所得为a-d,E所得为a,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a-10d=5,,2a-7d=3a-3d,))解得a=eq\f(2,3),故E所得为eq\f(2,3)钱.9.(5分)在数列{an}中,a1=3,an+1=eq\f(3an,an+3),则a4=()A.eq\f(3,4) B.1C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)A解析:依题意得eq\f(1,an+1)=eq\f(an+3,3an)=eq\f(1,an)+eq\f(1,3),eq\f(1,an+1)-eq\f(1,an)=eq\f(1,3),故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)=eq\f(1,3)为首项,eq\f(1,3)为公差的等差数列,则eq\f(1,an)=eq\f(1,3)+eq\f(n-1,3)=eq\f(n,3),an=eq\f(3,n),所以a4=eq\f(3,4).10.(5分)已知数列{an}满意an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=()A.9 B.15C.18 D.30C解析:由an+1-an=2可得数列{an}是等差数列,公差d=2.又a1=-5,所以an=2n-7,所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=5+3+1+1+3+5=18.eq\f(实力提升练,实力考点拓展提升)11.(5分)若等差数列{an}的首项为70,公差为-9,则这个数列中肯定值最小的一项为()A.a8 B.a9C.a10 D.a11B解析:an=a1+(n-1)d=70+(n-1)×(-9)=79-9n,∴a8=7,a9=-2,a10=-11,故肯定值最小的一项为a9.12.(5分)已知在等差数列{an}中,a1=-1,公差d=2,an-1=15,则n的值为()A.7 B.8C.9 D.10D解析:an-1=a1+(n-2)d=-1+2(n-2)=2n-5=15,∴n=10.13.(5分)等差数列{an}中,已知a2=2,a5=8,则a9=()A.8 B.12C.16 D.24C解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由a2=2,a5=8,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+d=2,,a1+4d=8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=0,,d=2,))所以a9=a1+8d=16.故选C.14.(5分)已知数列{an}的各项均为正数,且满意a1=1,eq\f(1,a\o\al(2,n))-eq\f(1,a\o\al(2,n-1))=1(n≥2,n∈N*),则a1024=()A.eq\f(\r(2),16) B.eq\f(1,16)C.eq\f(\r(2),32) D.eq\f(1,32)D解析:∵数列{an}的各项均为正数,且满意a1=1,eq\f(1,a\o\al(2,n))-eq\f(1
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