2024-2025学年新教材高考数学第4章数列2.1等差数列的概念第1课时含解析选修2

PAGEPAGE14等差数列的概念(第1课时)素养目标学科素养1.理解等差数列及等差中项的概念．2．驾驭等差数列的通项公式．(重点)3．驾驭等差数列的判定方法.1.数学运算；2．逻辑推理情境导学姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000；其次天：6500；第三天：7000；第四天：7500；第五天：8000；第六天：8500；第七天：9000.得到数列：6000,6500,7000,7500,8000,8500,90001．等差数列、等差中项的概念等差数列一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简洁的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b推断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)假如一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(×)(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(×)(3)在等差数列中，除第1项和最终一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(√)2．等差数列的通项公式(1)首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)第n项与第m项的关系为an＝am＋(n－m)d，从而可得变形公式：d＝eq\f(an－am,n－m).(1)等差数列{an}的递推公式如何表示？提示：已知公差d，an－an－1＝d(n≥2)是递推公式．(2)数列{an}的通项公式an＝kn＋b(k，b∈R)，能否判定{an}是等差数列？提示：∵an＝kn＋b，∴an－an－1＝kn＋b－[k(n－1)＋b]＝k，k为常数．∴{an}是等差数列．1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列A解析：∵an－an－1＝2n＋5－(2n＋3)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．2．在等差数列{an}中，首项a1＝5，公差d＝3，则当an＝2021时，n等于()A．671 B．672C．673 D．674C解析：∵a1＝5，d＝3，∴an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2.令3n＋2＝2021，得n＝673.3．若a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，则a，b的等差中项为()A．－1 B．－eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(3,2)C解析：∵a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，∴a＋b＝2.∴a，b的等差中项为eq\f(a＋b,2)＝1.4．在等差数列{an}中，若a5＝11，a8＝5，则其通项公式为an＝______________.－2n＋21解析：∵d＝eq\f(a8－a5,3)＝－2，∴an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×(－2)＝－2n＋21.5．已知公差d＝－eq\f(1,3)，a7＝8，则a1＝________.10解析：∵a7＝a1＋6d＝8，∴a1＝8－6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝10.【例1】下列说法正确的是()A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列B．若an－an－1＝n(n∈N*且n>1)，则{an}是等差数列C．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列D．等差数列的公差是该数列中随意两项的差A解析：对于A，由a－b＝b－c，可得b－a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，所以A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，所以B错误；对于C，公差d可以等于0，所以C错误；对于D，应为相邻两项．【例2】已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别是________．5，－1，－4解析：依据等差中项的定义，且8，a,2是等差数列，得2a＝8＋2，解得a＝5.①由a,2，b是等差数列，得2×2＝a＋b，②同理，由2，b，c是等差数列，得2b＝2＋c.③①②③联立，解得b＝－1，c＝－4.(1)等差数列的定义中特殊强调“从第2项起”，假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)等差数列的定义中特殊强调作差的依次，即从第2项起，每一项与它的前一项作差，而不是与后一项作差，切不行将减数与被减数弄颠倒．(3)一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差尽管是常数，这个数列也不肯定是等差数列，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”．(4)常数列都是等差数列，公差为0.1．若数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________.0解析：∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数，∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数，∴2a＝0，∴a＝0.2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．3解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m与n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝eq\f(6,2)＝3.【例3】在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝________.1解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)设公差为d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝eq\f(a8－a5,3)＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)设an＝An＋B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝5A＋B，,a8＝8A＋B，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝5A＋B，,5＝8A＋B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－2，,B＝21，))∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝eq\f(an－am,n－m)干脆求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.解：设等差数列{an}的公差为d.∵a5＝10，a12＝31，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.2．已知数列{an}为等差数列，a3＝eq\f(5,4)，a7＝－eq\f(7,4)，求a15的值．解：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(11,4)，,d＝－\f(3,4).))∴a15＝a1＋(15－1)d＝eq\f(11,4)＋14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).探究题1推断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，故该数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，故该数列不是等差数列．探究题2已知数列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满意bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：因为an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2－\f(1,an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝1.又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2)，所以数列{bn}是以－eq\f(5,2)为首项，1为公差的等差数列．探究题3已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差数列．证明：因为eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．而eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq\f(c2＋a2＋2ac,ac)＝eq\f(c2＋a2＋2ac,\f(ba＋c,2))＝eq\f(2a＋c,b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差数列．探究题4已知数列{an}满意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．(2)求an.解：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列．理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2).所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差d＝eq\f(1,2)的等差数列．(2)由(1)可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，所以an＝eq\f(2,n).等差数列的三种判定方法(1)定义法：证明对随意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对随意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，依据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：已知an＝pn＋q，得an＋1－an＝p对随意正整数n恒成立，依据定义判定数列{an}为等差数列．已知数列{an}满意a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求{an}的通项公式．(1)解：由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4.又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得eq\f(nan＋1－n＋1an,nn＋1)＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为eq\f(a1,1)＝1，公差d＝2的等差数列．所以eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.1．已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为()A．eq\f(1,2) B．1C．－1 D．－eq\f(1,2)C解析：等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则a9＝a3＋6d，即3＝9＋6d，解得d＝－1.故选C．2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝3，a3＋a7＝7，则公差d＝()A．1 B．2C．3 D．4B解析：a2＋a6＋2d＝a3＋a7＝7，即3＋2d＝7，所以d＝eq\f(7－3,2)＝2.3．在等差数列{an}中，已知a1＝1，d＝3，若an＝295，则项数n等于()A．96 B．99C．100 D．101B解析：等差数列{an}中，∵a1＝1，d＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，.由an＝295，则3n－2＝295，解得n＝99，故选B．4．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋2(n>1)，则a5的值()A．9 B．10C．11 D．12C解析：∵an＝an－1＋2，∴an－an－1＝2，{an}为等差数列，d＝2，a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故选C．5．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，试推断该数列从第几项起先为正数．解：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋10d＝－26，,a1＋50d＝54，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－46，,d＝2，))所以an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48.令an>0，得2n－48>0⇒n>24，又n∈N*，所以从第25项起先，各项为正数．6.(1)证明：1，eq\r(3)，eq\r(5)不行能成等差数列；(2)证明：1，eq\r(3)，eq\r(5)不行能为同一等差数列中的三项．证明：(1)假设1，eq\r(3)，eq\r(5)成等差数列，则2eq\r(3)＝1＋eq\r(5)，两边平方得12＝6＋2eq\r(5)，即6＝2eq\r(5).因为6≠2eq\r(5)，冲突，所以1，eq\r(3)，eq\r(5)不行能成等差数列.(2)假设1，eq\r(3)，eq\r(5)为同一等差数列中的三项，则存在正整数m，n(m≠n),满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝1＋md①，,\r(5)＝1＋nd②，))①×n－②×m得eq\r(3)n－eq\r(5)m＝n－m，两边平方得3n2＋5m2－2eq\r(15)mn＝(n－m)2③，由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，故假设不正确，即1，eq\r(3)，eq\r(5)不行能为同一等差数列中的三项．1．利用等差数列的定义推断一个数列是否为等差数列，关键是看a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是否等于同一个常数，或者看an＋1－an＝d(d为常数)是否对随意正整数n都成立．2．(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中的四个量a1，an，n，d，只要知道随意三个量，就可以求出第四个量．(2)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的随意指定项，也可以推断某特定数是否是该数列中的项．3．等差数列的推断方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)，n∈N*⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2，n∈N*⇔{an}为等差数列．(3)通项法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}为等差数列．课时分层作业(三)等差数列的概念(第1课时)(60分钟100分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)学问点1等差数列及等差中项的概念1．(5分)已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B等于()A．30° B．60°C．90° D．120°B解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B．又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.2．(5分)已知等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则eq\f(a,b)等于()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)C解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝3x，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2)x，,a＝\f(1,2)x.))∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).学问点2等差数列的通项公式3．(5分)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15 B．30C．31 D．64A解析：数列{an}的首项为a1，设公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＋a1＋8d＝16，,a1＋3d＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(17,4)，,d＝\f(7,4)，))故a12＝a1＋11d＝15.4．(5分)在等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a4＋a5＝eq\f(16,3)，ak＝33，则k＝()A．50 B．49C．48 D．47A解析：∵a4＋a5＝2a1＋7d＝eq\f(2,3)＋7d＝eq\f(16,3)，∴d＝eq\f(2,3).∴ak＝a1＋(k－1)·d＝eq\f(1,3)＋(k－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)k－eq\f(1,3)＝33.∴k＝50.5．(5分)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为()A．eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(6,7) D．－1B解析：新等差数列中，首项为8，第9项为2.∴新公差d′＝eq\f(2－8,9－1)＝eq\f(－6,8)＝－eq\f(3,4).6．(5分)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a4等于()A．15 B．23C．7 D．29B解析：∵a3＋a8＝2a1＋9d＝22，a6＝a1＋5d＝7，∴a1＝47，d＝－8，∴a4＝a1＋3d＝23.学问点3等差数列的判定与证明7．(5分)已知数列{an}，a3＝2，a7＝1，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则a11＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．1 D．2A解析：设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的公差为d.∵eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a7＋1)＝eq\f(1,2)，∴4d＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴d＝eq\f(1,24)，∴eq\f(1,a11＋1)＝eq\f(1,3)＋8×eq\f(1,24)＝eq\f(2,3)，∴a11＝eq\f(1,2).8．(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E所得为()A．eq\f(2,3)钱 B．eq\f(4,3)钱C．eq\f(5,6)钱 D．eq\f(3,2)钱A解析：由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a－10d＝5，,2a－7d＝3a－3d，))解得a＝eq\f(2,3)，故E所得为eq\f(2,3)钱．9．(5分)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，则a4＝()A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,2)A解析：依题意得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)为首项，eq\f(1,3)为公差的等差数列，则eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n,3)，an＝eq\f(3,n)，所以a4＝eq\f(3,4).10．(5分)已知数列{an}满意an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．9 B．15C．18 D．30C解析：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2.又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.eq\f(实力提升练,实力考点拓展提升)11.(5分)若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中肯定值最小的一项为()A．a8 B．a9C．a10 D．a11B解析：an＝a1＋(n－1)d＝70＋(n－1)×(－9)＝79－9n，∴a8＝7，a9＝－2，a10＝－11，故肯定值最小的一项为a9.12．(5分)已知在等差数列{an}中，a1＝－1，公差d＝2，an－1＝15，则n的值为()A．7 B．8C．9 D．10D解析：an－1＝a1＋(n－2)d＝－1＋2(n－2)＝2n－5＝15，∴n＝10.13．(5分)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8 B．12C．16 D．24C解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))所以a9＝a1＋8d＝16.故选C．14．(5分)已知数列{an}的各项均为正数，且满意a1＝1，eq\f(1,a\o\al(2,n))－eq\f(1,a\o\al(2,n－1))＝1(n≥2，n∈N*)，则a1024＝()A．eq\f(\r(2),16) B．eq\f(1,16)C．eq\f(\r(2),32) D．eq\f(1,32)D解析：∵数列{an}的各项均为正数，且满意a1＝1，eq\f(1,a\o\al(2,n))－eq\f(1