新教材 人教B版高中数学必修第二册 第六章 平面向量初步 知识点考点及解题方法提炼

第六章平面向量初步

6.1平面向量及其线性运算...................................................1

6.1.1向量的概念........................................................1

6.1.2向量的加法........................................................5

6.1.3向量的减法.......................................................10

6.1.4数乘向量.........................................................13

6.1.5向量的线性运算...................................................16

6.2向量基本定理与向量的坐标...............................................19

6.2.1向量基本定理.....................................................19

6.2.2直线上向量的坐标及其运算........................................22

6.2.3平面向量的坐标及其运算..........................................24

6.3平面向量线性运算的应用................................................30

6.1平面向量及其线性运算

6.1.1向量的概念

知识点

向量的定义与表示

(1)定义：既有，大小一又有方向一的量.

(2)表示方法：

①几何表示法：用以A为始点，以3为终点作.有向线段.检.

②字母表示法：在印刷时，通常用加粗.的斜体小写字母如a,b,c、…

表示向量，在书写时，可写成.带箭头一的小写字母如a,b,和….

(3)向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a,协的模分别记作⑷，

\AB\-

思考：(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只

描述其中一个方面可以吗？

(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？

提示:⑴向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征，方向是几何特征.看

一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可.

(2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向

量的大小确定向量的终点.

知识点

特殊向量

(1)零向量：_始点一和.终点一相同的向量称为零向量,记作0.

(2)单位向量：长度(或模)为」—的向量称为单位向量.

(3)相等向量：大小相等且方向相同的向量称为相等向量.向量a与

b相等，记作a=B.

(4)平行向量或共线向量：方向―桓回—或_相反—的非零向量称为平行向量,

也称为共线向量.向量。平行于上记作a〃氏规定—雯—向量平行于任何向

量.

思考：(1)0与0相同吗？0是不是没有方向？

(2)若则两向量在大小与方向上有何关系？

(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？

提示：(1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.0有方向，其

方向是任意的.

(2)若”=仇意味着|a|=|回，且a与万的方向相同.

(3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向

量共线.

题型

向量的有关概念

典例剖析

典例1给出下列命题：

(1)平行向量的方向一定相同；

(2)向量的模一定是正数；

(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

(4)若向量协与也是共线向量，则A、B、C、。四点必在同一直线上.

其中正确的序号是(3).

［分析］从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，

注意各自的特例对命题的影响.

［解析］(1)错误.两向量方向相同或相反都视为平行向量.(2)错误.|0|=0.(3)

正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.(4)错误.共

线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量屈，也必

须在同一直线上.故填(3).

规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞

清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键.

题型

相等向量与共线向量

典例剖析

典例2如图，四边形A3CD是平行四边形，四边形A3DE是矩形.

(1)找出与向量检相等的向量；

(2)找出与向量检共线的向量.

［分析］(1)找与向量显相等的向量，就是找与协长度相等且方向相同的向量.

(2)找与油共线的向量，就是找与屈方向相同或相反的向量.

［解析］(1)由四边形A3CD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，血，成)

与油的长度相等且方向相同，所以与向量显相等的向量为比，ED.

(2)由题图可知虎，ED,反:与检方向相同，BA,CD,DE,前与检方向相

反，所以与向量屈共线的向量有比，ED,EC,BA,CD,DE,CE.

规律方法：1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相

等的向量，再确定哪些是同向且共线的.

2.寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线

段，再构造同向或反向的向量.

3.共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不

一定是相等向量.若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，

则两向量方向相同或相反.

题型

向量的表示与应用

典例剖析

典例3(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格

纸中有定点A,点C为小正方形的顶点，且|才a=小，画出所有的向量公；

(2)如图所示，在四边形ABCD中，AB=DC,N,M分别是AD,3c上的点,

且国=疝.求证：DN=MB.

［分析］(1)根据方向与大小确定终点即可.

(2)利用向量相等证明四边形ABCD,CNAM为平行四边形，进而得到加=而.

［解析］(1)画出所有的向量公，如图：

(2)因为筋=比，

所以|曲|=|灰7|,且AB〃CD,

所以四边形ABCD是平行四边形.

所以|应|=|丽|,且D4〃C3.

又因为血与画的方向相同，

所以宓=房.

同理可证四边形CMUf是平行四边形，所以而/=隔.

因为|/|=|应|,|6=|殖|,

所以|而|=|两，DN//MB,

即加与血的模相等且方向相同，所以加=麻.

易错警示

典例剖析

典例4在DABCD中，。是两对角线AC,3。的交点，设点集S={A,B,

C,D,0},向量集合7={丽〃，NGS1,且M,N不重合，则集合T中元素

的个数为12.

［错解］S={A,B,C,D,O},S中任意两点连成的有向线段有：AB,AC,

AD,AOiBA,BC,BD,BO；CA,CB,CD,CO；DA,DB,DC,DO］OA,

OB,OC,OD,共有20个元素.

［辨析］求解时，若忽略对相等向量的考虑.

［正解］在上面20个向量中，由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向

量相等，即检=病，BA=CD,AD=BC,nA=CB,Ab=OC,OA=CO,D0=

OB,OD=BO,

又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个.

6.1.2向量的加法

知识点

向量加法的定义及其运算法则

(1)向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算.

(2)向量求和的法则

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作协=a,BC=b

作出向量公,则向量一左称为a与〃的和，记作a+b,

三角形法则即a+Z>=AB+BC=AC.

C

AaB

已知两个一不共线一向量a,从作协=a,AD=b,以_

通套为邻边作238,

平行四边形法则兰

则对角线上的向量证=a+方.

(3)向量a,〃的模与a+Z>的模之间的关系：lla|一|加|_W_la+bl_W_lal+

叫

思考：(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接

的？和向量的起点与终点是怎样的？

(2)利用向量求和的三角形法则时，若向量a,8中有零向量怎么办？若两向

量共线时，能否利用三角形法则求和？

(3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？

(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量

是怎样产生的？

提示：(1)求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指

向最后一个向量的终点的向量.

(2)对于零向量与任一向量a,规定O+a=a+O=A.当两向量共线时，仍可

以使用三角形法则求和.

(3)不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，

也不会产生和向量.

(4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平

行四边形的对角线向量.

知识点

多个向量相加

为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向

量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的

和，如图所示.

a+b+c+d+e

知识点

向量加法的运算律

交换律结合律

a~\~b=b~\~a(a+5)+c=a+3+c)

思考：(a+b)+(c+d)=(a+J)+S+c)成立吗？

提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的

加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.

题型

向量的加法法则

典例剖析

典例1(1)如图，在△ABC中，D,E分别是A3,AC上的点，点/为线

段DE延长线上一点，DE//BC,AB//CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个

向量)：

@AB+DF=A€；②病+危=曲.

A

(2)下列说法正确的是3^.

①若⑷=3,回=2,则匠+加21,

②若向量a,b共线,则|a+b|=|a|+M

③若|a+b|=|a|+|b|,则向量a,b共线.

(3)如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a+b+C.

［解析］(1)如题图，由已知得四边形DFCS为平行四边形，由向量加法的

运算法则可知：

①协+痂=笳+求=公；

②病+危=病+屈=瓶

(2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1;②中描述的只是向量同

向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确.

(3)a、b、c不共线中隐含着a,仇c均为非零向量，因为零向量与任一向量

都是共线的.利用三角形法则或平行四边形法则作图.

解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作油=a,BC=b,则公=。十方，再

作诙=c,则病=公+①=(a+》)+c,即Ab=a+b+C.

解法二：(平行四边形法则)：:a、b、c不共线，如图(2)所示.

在平面内任取一点。，作为=a,OB=b,

以为、访为邻边作。。405,

则对角线勘=a+b,再作沆=c,

以灰、历为邻边作OOCED.

则无=a+HC.

规律方法：1.向量求和的注意点：

⑴三角形法则对于两个向量共线时也适用.

(2)两个向量的和向量仍是一个向量.

(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.

2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连“，其和向量为“起

点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量

为共起点的“对角线”向量.

题型

向量加法的运算律

典例剖析

典例2化简或计算：⑴诙+病+蕊=病.

⑵协+痂+丽+比+丽=0.

(3)2BCD中(如图)，对角线AC,BD交于点0.

则①屐>+屈=施：

®CD+AC+Db=A6)；

(3)AB+Ab+CD=A£>；

®AC+BA+DA=0.

［解析］⑴①+病+屈=港+南+诙=病+的=病.

(2)AB+DF+a)+BC+M=(AB+BC)+(CD+DF)+M=AC-bCF+M=

AF+FA=O.

⑶①Ab+检=公，

@Cb+AC+DO=Cb+AC=Ad,

(3)AB+AD+cb=AC+cb=Ab,

(4)AC+BA+DA=DC+BA=0.

规律方法：(1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，

注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.

(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个

向量的起点指向最后一个向量的终点.

题型

利用向量加法证明几何问题

典例剖析

典例3在DABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F,E,

使3E=D网如图).用向量的方法证明：四边形AECR也是平行四边形.

AB

［解析］'：AE=AB+BE,FC=FD+DC.

又：筋=病，BE=FD,：.AE=FC,

即AE,RC平行且相等，

二四边形AECR是平行四边形.

规律方法：用向量证明几何问题的一般步骤：

(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.

⑵通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.

易错警示

典例剖析

典例4如图所示的方格纸中有定点。，P,Q,E,F,G,H.^\OP+OQ=

(C)

H

A.OHB.OG

C.FOD.EO

［错解］A

［辨析］选错的原因是没有认真根据向量的二角形法则(或平行四边形法则)

作出图形.

［正解］以0P,。。为邻边作平行四边形，如图所示，则舁+的=血，由

而和用的模相等，方向相同，得而=用，即9+的=历.

6.1.3向量的减法

知识点

相反向量

定义：如果两个向量大小.相等一，方向—相反—,那么称这两个向量是相

反向量.

性质：

(1)对于相反向量有：a+(—d)=0.

(2)若a,万互为相反向量，则a=—b,a-\-b=O.

⑶零向量的相反向量仍是零向量.

思考：有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，

对吗？

提示：不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向

相反，还必须大小相等.

知识点

向量的减法

(1)定义：平面上任意两个向量a,b,如果向量x满足=a,则称x

为向量a,的差，记作x=a-5.

(2)作法：在平面内任取一点。，作以=a,OB=b,则向量a—/>=应，

如图所示.

a—万可以表示为从向量_力_的终点指向向量的终点的向量.

(3)向量减法的三角形法则：当向量a,方不共线时，向量a,b,a—8正好能

构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则.

(4)a—Z>=a+(-6).

思考：(1)由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的

方向如何？

(2)由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？

提示：(1)求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被

减向量.

(2)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，—丽=启,

就可以把减法转化为加法.

题型

向量的减法

典例剖析

典例1(1)在△ABC中，D,E,R分别为A3,BC,CA的中点，则辟'一访

等于(D)

A.FDB.FC

C.FED.RE

(2)如图，已知向量a,b,c,求作a—C.

［解析］⑴由题意可知后一励=统一用=就.

(2)如图，以A为起点分别作向量协和危，使脑=a,AXJ=B.连接CS,得

向量宓，再以点C为起点作向量诙，使诙=C.连接得向量所.则向量方方

即为所求作的向量a—C.

规律方法：1.作两向量的差的步骤

2.求两个向量的减法的注意点

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b,可以先作一儿然后用加法a+(-

3即可.

(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用.

题型

向量的加减法运算

典例剖析

典例2化简庆一防+前一油得(D)

A.ABB.AD

C.BCD.0

［解析］(1)解法一：AC-BD+CD-AB=AC-Bb+Cb+BA

=(AC+CD)+(BA-Bh)=Ab+DA=O.

解法二：MJ-BD+CD-AB=M：+DB+Cb+BA

=(AXJ+CD)+(DB+BA)=Ab+DA=O.

规律方法：向量减法运算的常用方法

常用方法

|可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算

〈|运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点

」引入点。，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一

题型

向量加减运算几何意义的应用

典例剖析

典例3⑴已知非零向量a"满足⑷=币+1,|例=巾一1,且|a—回=4,

则la+方的值为4.

B

DE

(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，3是该平行四边形外一点，且检

=a,AC=b,AE=c,试用向量a,b,c表示向量诙，BC,BD.

［解析］如图,令次=a,OB=b,^\\BA\=\a-b\.

以。4与为邻边作平行四边形OACB,则|庆|=|a+瓦由于(市+1>+(市

-l)2=42.ik\OA\2+\OB\2=\BA\2,所以△。45是NA03为90。的直角三角形，从

而OALOB,所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相等有|沆|=|就

|=4,即|a+办|=4・

(2)因为四边形ACDE是平行四边形，

所以诙=Z^=c,BC=AC-AB=b-a,

故应)=庆:+诙=8—a+C.

规律方法：1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相

等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量

与被表示向量的转化渠道.

2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤：

(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量.

⑵利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算.

⑶构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题.

易错警示

典例剖析

典例4写出下列各式成立时，向量服〃应满足的条件.

(l)\a-\-b\=\a-b\；(2)|«+Z»|=|a|+|Z,|；

(3)\a+b\=\a\~\b\-,(4)\a-b\=\a\+\b\.

［错解］⑴。、1垂直.

(2)a、b方向相同.

(3)a、b方向相反,且间＞向.

(4)a、b方向相反.

［辨析］忽略”叭〃中至少一个为零向量”的条件，使答案不完整.

［正解］(1)。、〃垂直或a、力中至少一个为零向量.

(2)a、方方向相同或a、8中至少一个为零向量.

(3)a、b方向相反且⑷＞步|,或8=0.

(4)a、〃方向相反，或a、8中至少一个为零向量.

6.1.4数乘向量

知识点

向量的数乘运算

定义：实数7与向量a的积是一个向量，这种运算简称数乘向量，记作

AA.

规定：(1)当7W0且aWO时，|2a|=|2||fl|,且

①当丸＞0时，■的方向与a的方向相同一；

②当丸＜0时，■的方向与a的方向一相反、.

(2)当4=0或a=0时，Xa=0.

思考：(1)定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？

(2)若把|加=|叫|写成|加二加|可以吗?为什么？

提示：(1)数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向.

(2)不可以，当丸＜0时不成立.

知识点

向量数乘的运算律

设九〃为实数，则痴)=(%)a：

特别地，我们有(―7)a=—0/)=〃—a).

思考：这里的条件“九〃为实数”能省略吗？为什么？

提示：不能，数乘向量中的九〃都是实数，只有九〃都是实数时，运算律

才成立.

知识点

向量共线的条件

如果存在实数九使得则

思考：“若向量则存在实数九使得8=14.”成立吗？

提示：不成立，若a=0,b^Q,则2不存在.

题型

数乘向量的定义

典例剖析

典例1设a是非零向量，丸是非零实数，则以下结论正确的有②③.

①闫a|；

②a与A2a方向相同；

③|—2训=2|心间.

［分析］根据数乘向量的概念解决.

［解析］当0〈丸VI时，瓶|<|a|,①错误；②③正确.

规律方法：数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿

着它的方向或者反方向放大或缩小.

题型

数乘向量的运算

典例剖析

典例2下列各式化简正确的是②③.

①一3X2a=-5a；

(2)^aX3X(—2)=—3a；

③一2X筋=2就；

④0X8=0.

［分析］根据向量数乘的运算律解决.

［解析］因为一3X2a=-6a，3”X3X(—2)=—3a,-2XAB=~2AB=2BA,

0X8=0.所以，①④错误，②③正确.

规律方法：施中的实数丸称为向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量

的系数相乘，作为新向量的系数.

题型

数乘向量的应用

典例剖析

角度1判断向量共线

典例3已知a=2e,b=—4e,判断a,b是否平行，求⑷：|用的值；若a

//b,说出它们是同向还是反向.

［分析］利用数乘向量的定义解决.

［解析］因为Z>=—4e=-2(2e)=-2a,所以a〃瓦且21al=步|,即⑷：步|

=1：2.向量a,8反向.

母题探究：把本例条件改为“a=2e,8=3e,”其他条件不变，试判断a与

方是否平行，求|a|：|臼的值；若a〃儿说明它们是同向还是反向.

33

［解析］因为8=3e=］(2e)=］a,所以a〃方，

3

且引a|=|臼,即⑷：|例=2：3.向量a,b同向.

角度2判断三点共线

典例4已知油=e,BC=~3e,判断A,B,C三点是否共线，如果共线，

说出点A是线段BC的几等分点.

［分析］利用数乘向量的定义解决.

［解析］因为病=-3e=—3屈，所以屈〃病，

且有公共点5,所以A,B,C三点共线，又因为30=343,且向量检，BC

反向，如图，所以点A是线段3C的三等分点.

CAB

规律方法：数乘向量的应用

(1)如果存在实数九使得〃=痴，则b〃4

(2)如果存在实数九使得屈=丸/，则协〃病，且A5与AC有公共点A,

所以A,B,C三点共线.

易错警示

典例剖析

2

-

典例5若点C在线段A3上，且骑=率则危=_|_协，BC=--

CnZJ_—-_5

AB.

32f3ff2f

［错解］55设AC=3左，则CB=2左，所以AB=5左，故危反

［辨析］解决有关数乘向量的问题，注意向量的方向的对应性.

［正解］因为C在线段A3上，且赤=万，所以病与协方向相同，求与协方

向相反，

且器=1，AB=I所以公=河，BC=~l^.

6.1.5向量的线性运算

知识点

向量的加法与数乘向量的混合运算

规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向

量，再算向量加法.

运算律：设对于实数A,〃以及向量a,b,有(l)/la+〃a=(7+〃)a.(2Wa

+/＞)=7a+/i■方.

思考：(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么？

(2)这里的条件“九〃为实数”能省略吗？为什么？

提示：(1)向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量.

(2)不能，数乘向量中的九〃都是实数，只有九〃都是实数时，运算律才成

立.

知识点

向量的线性运算

向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.

题型

向量的线性运算

典例剖析

典例1⑴化简6a-［4a-b-5(2a-3b)］+(a+lb)；

(2)把满足3x—2y=a,—4x+3y=Z＞的向量x、y用a、表示出来.

［分析］求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法.

［解析］(1)原式=6a—(4a—10a+15万)+a+7方=(6—4+10+l)a+(l—

15+7)6=130-75.

3x-2y=a,①

(2)由已知得＜

「4x+3y=》.②

①X3+②X2得x=3a+2Z>,

①X4+②X3,得y=4a+35.

：.x=3a+2b,y=4a+3B.

规律方法：熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结合律与分配律),

即当入〃为实数时,有：(D(AjU)a=A(jua)；②(7+〃)a=2a+〃a；©A(a+&)=Aa+

AB.

题型

用已知向量表示相关向量

典例剖析

典例2(1)设。，E分别是△ABC的边A3,3C上的点，AD=^AB,BE=

2_1

利C.若无=力协+弱病(尢，丸2为实数)，则尢+后的值为2一

(2)如图所示，已知£243。的边3C,CD上的中点分别为K,L,且AK=ei,

AL=e29试用ei9及表示就，CD-

DL

AB

2]

[解析]⑴由已知途=防一所5=揖一/

=|(AC—AB)+^AB=—^AB+|AC,

171

所以=一工,丸工，从而丸

41o2=321+%2=5.

(2)设比=x,则麻=；x,M3=AK+KB=ei—^x,DL=^ei—^x,又Ab=x,

由45+51=戏，得

,11

x十/ei—F=e2，

42一42

解方程得工=乎2—于1,即3。=]2—于1,

」ff1-42

由AB=e\—'^x,得CD=—,ei+1e2.

规律方法：用已知向量表示未知向量的技巧

(1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以

及向量线性运算的运算律.

(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解.

题型

向量平行、三点共线问题

典例剖析

典例3如图，在△ABC中，D,R分别是BC,AC的中点，AE=^AD,AB

—a,AC—B.

A

BD

(1)用a,力分别表示向量AE,BF；

(2)求证：B,E,尸三点共线.

［解析］⑴・・・助=3(超+公)=今。+小),

一2一1।

AE=^AD—+b),

*.,AF=^AC=^,

：.RF=AF~AB=-a+^B.

十

(2)由⑴知3F=一

：.BE=^BF.

二防与丽共线.

又BE,有公共点8,

：.B,E,R三点共线.

规律方法：L证向量平行，用〃=M.

2.证三点共线，除证明两向量平行外还需要两向量有公共点.

易错警示

典例剖析

典例4设a,6是两个不共线的向量，若向量ka+2b与Sa+kb的方向相

反，则k——4.

［错解］±4

［辨析］本题容易出现得到-±4的错误，出错的原因是忽视了条件方向相

反对上取值的限制.因此由两个向量共线求参数时要注意两向量的方向.

［正解］因为向量总+2万与8a+协的方向相反，所以hz+2b=，8a+H>)n

2=Ak,

，左=—4(因为方向相反，所以丸<00左<0).

*=82

6.2向量基本定理与向量的坐标

6.2.1向量基本定理

知识点

共线向量定理

如果0#0,且〃〃a,则存在.唯一.的实数上使得8=14.

如果A,B,C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数九使

得协=证.

思考：(1)定理中的条件“aWO”能否省略，为什么？

(2)这里的“唯一”的含义是什么？

提示：(1)不能.如果a=0,bWO,不存在实数九使得Z>=/L4.如果a=0,

b=0,则对任意实数人都有8=14.

(2)如果还有b=/ua,则有2=〃.

知识点

平面向量基本定理

(1)定理：如果平面内的两个向量a,b不共线，则对该平面内的任意

一个一.向量C,一存在唯一一的实数对(x,y),使得c=xa+y5.

(2)基底：平面内不共线的两个向量a,8组成的集合｛a,方｝称为该平面

上向量的一组基底.

思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？

(2)平面内的每一个向量都能用a,〃唯一表示吗？

提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底.

(2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且

这样的表示是唯一的.

题型

共线向量定理的应用

典例剖析

典例1已知向量m,n不是共线向量，a=3m+2n,b=6m—4n,c=m

+xn.

⑴判断m8是否平行；

(2)若。〃c,求％的值.

［解析］(1)显然a为非零向量，若a〃办，则存在实数九使得办=脑，即6机

—4〃=丸(3机+2〃)，

6=32,［2=2,

•e.1...<*.］./.2不存在.「.a与力不平行.

、424,［/I2,

(2Y：a//c,...存在实数厂，使得c=^.

：.»/+龙〃=«3»/+2〃)

「_1

1=3r，r=y2

二1cX=T.

［x=2r,_23

厂子

规律方法：1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：(1)判定向量平行

(先假设平行,用基本定理列方程,根据丸iei+〃ie2=22ei+〃2e2,其中ei,e2不共

线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数.

2.判定向量平行还可用结论“当存在实数九使得上痴时，b//a^.

3.证三点共线：用三点共线的两个充要条件.

题型

平面向量基本定理的理解

典例剖析

典例2(1)设ei、e2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组

数是(C)

①ei和ei+e2②ei——2e2和e2——2ei

(Dei——2e2和4e2——2ei④ei+e2和ei——ei

A.1B.2

C.3D.4

(2)如果ei、e2是平面a内所有向量的一组基底，那么(A)

A.若实数施、丸2,使力61+丸262=0,则九=丸2=0

B.空间任一向量a可以表示为0=7161+4262,这里力、是实数

C.对实数力、丸2,久61+丸262不一定在平面Ct内

D.对平面a中的任一向量a,使a=4iei+%2e2的实数丸1、上有无数对

［分析］(1)根据基底的构成条件判断.

(2)由平面向量基本定理的内容理解判断.

［解析］(1)③中，,.，4e2—2ei=-2(ei—2e2),...两向量共线,其他不共线,

故选C.

(2)平面a内任一向量都可写成ei与e2的线性组合形式，而不是空间内任一

向量，故B不正确；对任意实数为、h,向量力ei+%262一定在平面a内；而对

平面a中的任一向量a,实数储、丸2是唯一的.

规律方法：对平面向量基本定理的理解

(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这

样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向

量的分解式是唯一的，即0=叩+皿，且x=y=O.

(2)对于固定的不共线向量a,8而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一

的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，

它有无数组.

题型

用基底表示向量

典例剖析

典例3如图所示，设N,P是△ABC三边上的点，且血f=凝，CN

=1G4,AP=^AB,若AB=a,A<J=b,

试用a,b^MN,俞，的表示出来.

ff—2f12

［解析］NP=AP—AN=^AB—^AC=^a—^b,

MN=CN—CM=1—^CB=——］(A3—AC)=~~^b—1(a—b)=1

PM=-MP=-(疚+柿)=|(a+b).

规律方法：平面向量基本定理的作用及注意点

(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示

向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.

(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表

示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.

易错警示

典例剖析

典例4如图，在四边形A3CD中，AC和3。相交于点。，设A5=a,

AB=b,若AH=2D忑，则A0=a和力表示).

AB

［错解］2a+0设检=/，则A少=7(AlT+。忑)=7(AIT+|A的=疝)

+；/1AB.

■:D、0、3三点共线，.'.A—^L=1,.*.2=2.

：.AO=2AD+A~B=2a+B.

［辨析］不能正确应用直线的向量参数方程致错.

［正解］|a+|a设检=/，则AZ7=〃AU+D^)=7(AU+1AH)=AAT)

+1XA_B.

因为。、0、3三点共线，所以7+受=1，

??1?1

所以7=1，所以

6.2.2直线上向量的坐标及其运算

知识点

直线上向量的坐标

给定一条直线I及这条直线上一个单位向量e,对于这条直线上的任意一个

向量a,一定存在—唯二—的实数x,使得a=xe,此时x称为向量a的.坐标..

在直线上指定原点。，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原

点0,那么a的终点对应的数就是向量a的坐标.

思考：向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？

提示：能.

⑴⑷=|xe|=|x||e|=|x|.

(2)当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x=0时，a是零向量；当x<0

时，a的方向与e的方向相反.

知识点

直线上向量的运算与坐标的关系

如果直线上两个向量a,力的坐标分别为xi,xi.

(l)a=Z»的充要条件是xi=x2.

(2)a+Z＞的坐标为xi+%2,a—b的坐标为xi—%2"a的坐标为In.

(3)设A(xi),3(x2)是数轴上的两点，Mx)是线段A3的中点，则-3=位一

X1+X2

xil,x=__2：__•

题型

求直线上的向量坐标

典例剖析

典例1已知e是直线I上的一个单位向量，向量a与8都是直线I上的向

量，分别在下列条件下写出a与万的坐标：

(l)a=2e,b=-3e；

(2)a=—ge,b=4e.

［解析］(l)：e的坐标为1,又a=2e,b=-3e,

的坐标为2,b的坐标为一3.

(2)：e的坐标为1,又a=—ge,b=4e,

的坐标为一；，♦的坐标为4.

规律方法：为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一

种：

(1)将向量用单位向量表示出来.

(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.

题型

直线上向量坐标的线性运算

典例剖析

典例2已知直线上向量a的坐标为一3,〃的坐标为4,求下列向量的坐

标：

(l)a-Z＞；(2)|&；(3)—2a+35.

［解析］(l)a-b的坐标为一3—4=一7.

(2),的坐标为1X4=］.

(3)—2a+3办的坐标为(一2)X(—3)+3X4=18.

规律方法：若a,力的坐标分别为xi,X2,则a+〃的坐标为xi+X2,a—8的

坐标为X\~X29Xa的坐标为in,ua+vb的坐标为ux\+vxi9ua~vb的坐标为ux\

~VX2.

题型

数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式

典例剖析

典例3已知A,B,C为数轴上三点，且XA=—2,XB=6,试求符合下列

条件的点C的坐标.

(1)AC=1O；(2)|AC|=3|5C|.

［解析］(1)：AC=1O,.•/*—XA|=10,

.*.XC=XA±10,

.*.xc=-12或8.

(2)V\AC\=3\BC\,：.\XC-XA\=3\XC-XB\,

即kc+2|=3|xc~6|,

，xc+2=3(xc—6)或无c+2=—3(xc—6),.,.xc=10或4.

规律方法：注意题目中AC与证的含义不一样，AC=\AXJ\=\XC-XA\,解题时

要注意区分，避免出错.

易错警示

典例剖析

典例4若e是直线/上的一个单位向量，向量8=—5是这条直

线上的向量，则M+2回=_|_.

［错解］易2

［辨析］本题混淆了向量的模与向量的概念致误.

1112

［正解］|a+2b|=磨+2*(一呼)|=|v一e|=§.

6.2.3平面向量的坐标及其运算

知识点

平面向量的坐标

(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a,b,如果它们所在的直线互相垂

直，则称向量a,8垂直，记作—•规定零向量与任意向量都—垂直

(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底｛ei,62｝中，gile2,则称这组

基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.

(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的_单位一向量ei,ei,对于平面

内的向量如果。=加1+>62,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).

思考：(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系？

(2)平面中，若以ei的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，

则ei,e2的坐标分别是什么？

(3)向量的坐标就是其终点的坐标吗？

提示：(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).

(2>1=(1,0),62=(0,1).

(3)不一定，以坐标原点。为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标，如果

向量不是以坐标原点为始点，则向量坐标就跟终点坐标不同，而对同一向量或相

等向量(向量坐标相同)，若选择不同的始点坐标，则终点坐标也不同.

知识点

平面上向量的运算与坐标的关系

若a=(xi,yi),b=(x2,/),AER,则：

(l)a+Z>=(xi+12,yi+y2),

(T)a-b=(xi-X2,yi—y2),

(3)2a=Clxi,/Ivi).

(4)向量相等的充要条件：a=bo尤i=X2且yi=y2.

(5)模长公式：|a|='保+y?.

思考：(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a=(xi,yi),b=(X2,yi),

则a+b=(y\+yi,xi+%2)”可以吗？

(2)如果〃，0是两个实数，那么〃a+仍，4a—防的坐标如何表示？

提示：(1)不可以，两向量的