高中数学必修第一册1. 2 .3 充分条件、必要条件

1.2.3充分条件、必要条件

(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与

最新课必要条件的关系.(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，

程标1润理解判定定理与充分条件的关系.(3)通过对典型数学命题的梳理，理解

充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.

新知初探后主学习——突出基础性

知识点一充分条件与必要条件

一般地，“若p,则为真命题，是指由p通过推理可以得出办这时，我们就说，由p

可以推出q,记作p=q,并且说，p是q的充分条件(sufficientcondition),q是p的必要条件

(necessarycondition).

状元随笔如果“若p,则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q,记作pn/q.此

时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

知识点二充要条件

如果“若p,则和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，即既有pnq,又有q=p,

就记作此时,p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，

简称为充要条件(sufficientandnecessarycondition).显然，如果p是q的充要条件，那么q也

是p的充要条件.

状元随笔p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等.

基础自测

1.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.设p：x<3,q：—l<x<3,则p是q成立的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.设A、3是两个集合，贝I]“ACB=A"是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.用符号“今”与“今/”填空：

(1>2>1%>1；

(2)a,b都是偶数4十匕是偶数.

课堂探究•素养提升一强化创新性

题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断

[教材P31例1]

例1判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：

(1)/?：q：xGR；

(2)p：x是长方形；q：x是正方形.

pnq由充分条件的定义来判断.

pnq由必要条件的定义来判断.

激材反思

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1.定义法

(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论.

(2)找推式：判断“pnq”及“g=p”的真假.

(3)根据推式及条件得出结论.

2.等价转化法

(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.

(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况.

若rp=rq,则p是q的必要条件，4是〃的充分条件；

若r°=>rq,且则「是"的必要不充分条件；

若rpOrq,则p与q互为充要条件；

若rp石rq,且则p是q的既不充分也不必要条件.

3.集合法：写出集合4=｛她7。)｝及8=｛尤|q(x)｝,利用集合间的包含关系进行判断.

4.传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中

推式的传递性进行判断.

5.特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能

推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题.

跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条

件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).

(l)p：x—3=0,q：(x—2)(x—3)=0；

(2)0两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(3)p：a>b,q：a+c>Z?+c.

判断pnq,qnp是否成立|结合定义得出结论

题型2求条件(充分条件、必要条件和充要条件)

［经典例题］

例2使不等式2x2—5x—3成立的一个充分不必要条件是()

A.x20

B.x<0或x>2

C.x£［-1,3,5)

D.xW—5或x>3

先求济满足题意

的充要条件

结合集合关奉

从选项中国消充

分木蛇要条件

方收归他

本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{小23或xW—3}{x|x>2或xVO},误

选B.事实上，“不等式212—5x—320成立”为结论q,我们只需找到条件p使p=q且夕了，

p即可.使2x2—5x—3<0成立的x为一T〈XV3,再求必要不充分条件.

跟踪训练22x2-5x-3<0的必要不充分条件是（）

1

A.~-<x<3

2

B.0<x<2

C.-l<x<2

i

D.~-<x<4

2

题型3充分条件、必要条件、充要条件的应用

［经典例题］

例3已知0：2x2—3x—2^0,q：x2—2（a—l）x+a（a—2）^0,若p是q的充分不必要条

件.求实数a的取值范围.

状元随笔

构造集合'/（工）1；求解厂二二77------------构造a的

------->w乙次0/MgN不等久A

*卜1夕（工）}加、N1-----------------------------

恂军关孑〃的木箸为细-->结果

方法归於）

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条

件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关

于参数的不等式（组）进行求解.

跟踪训练3已知闻={尤|（%—。）2<1},N={X|N—5X—24<0},若M是N的充分条件，

求a的取值范围.

先求M、N,再利用充分条件得MnN,即MUN来求a的取值范围.

1.2.3充分条件、必要条件

新知初探咱主学习

[基础自测]

1.解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”

的必要条件.

答案：B

2.解析：因为(一1,3)(—8,3),所以p是q成立的必要不充分条件.

答案：C

3.解析：A、2是两个集合，则由“ACB=A”可得“AUB”，由可得“ACB=

A”,所以A、B是两个集合，则“ACB=A”是“AUB”的充要条件.故选C.

答案：C

4.解析：⑴命题“若1>1,则x>]”是假命题,x2>lx>l.

(2)命题“若a,b都是偶数，则是偶数”是真命题，故a,6都是偶数今a+b是偶

数.

答案：(1)幺(2)今

课堂探究•素养提升

例1【解析】(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即pnq,因此P是q的

充分条件，4是0的必要条件.

(2)因为长方形不一定是正方形，即pq,因此p不是q的充分条件，g不是p的必要条件.

跟踪训练1解析：(l)x-3=0=>(.r-2)(x-3)=0,但(%—2)(%—3)=0/工一3=0,故p

是q的充分不必要条件.

(2)两个三角形相似了，两个三角形全等，但两个三角形全等今两个三角形相似，故P是

q的必要不充分条件.

(3)a>bna+c>b+c,JLa-\-c>b~\-c=>a>b,故p是q的充要条件.

例2【解析】由2x2—5x—320,得了23或尤W—巳，所以选项中只有xG{—1,3,

5}是使不等式2R—5x—320成立的一个充分不必要条件.

【答案】C

跟踪训练2解析：2x2—5x—3<0=>—|<x<3,

•13)(-|1,4)

—^<x<4是212—5x—3