2022-2023学年上海财经大学附属北郊某中学高二年级上册期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海财经大学附属北郊高级中学高二上学期期中数学

试题

一、单选题

1.设加，〃为空间两条不同的直线，a,夕为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若机||/，则②若n||a,则叫|”；

③若njua,“ua且相||），〃||夕，则a〃/?；④若〃z_La,〃||夕且a〃£,则m_L〃.

其中所有正确命题的序号是

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【详解】①若mi/,过〃，做平面y,7n/=/,

则〃/力,.♦./_La,/u#,二aJ■尸,故①正确；

②若〃”/a,nila,则机，”可能平行，相交或异面，故②错误；

③若机ua,〃ua且〃尸，〃〃力，则a,4相交或平行，故③错误;

④若，“La,〃〃夕且a〃户，则小，尸，过”做平面/,/0£=/,

则〃所以〃?_!_〃，故④正确.

2,若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45。且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平

面图形的面积是（）

A.B.C.2+V2D.1+&

22

【答案】C

【分析】先计算出等腰梯形的面积为5-再利用S=2&H计算得到答案.

【详解】等腰梯形的面积，=^（1+Ixcos45°x2+I）xlxsin45°=^+^

则原平面图形的面积S=2夜工=2+收.

故选：C.

3.如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到

12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况

的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断.

【详解】：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，

...在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互

垂直的情况的次数为2,

故选：B.

4.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正

方形筛子”中位于第100行的第100个数是（）

47101316-

712172227…

1017243138•••

1322314049-

1627384960•••

A.20180B.20200C.20220D.20240

【答案】B

【分析】先求出第100行的第一个数，再根据第100行的数是公差为3+2x(100—1)=201的等差数

列，从而得到第100行的第100个数是301+201x(100—1)=20200.

【详解】第一列的数字为4,7,10,13,161....成等差数列，公差d=3,其通项公式%=4+

3(〃-1)=3〃+1,故第100行的第一个数为。呐=301,

再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公

差为7的等差数列，…，第〃行的数是公差为3+2x(〃-1)的等差数列，

则第100行的数是公差为3+2x(100—1)=201的等差数列，

所以第100行的第100个数是301+201x(100—1)=20200.

故选：B.

二、填空题

5.若一个球的体积为32亨万，则该球的表面积为.

【答案】16万

44

【详解】由题意，根据球的体积公式丫则3%R'=手Pn，解得R=2,又根据球的表面积公

式5=4乃4，所以该球的表面积为5=2?=16).

6.正方体ABCO-ABCQi中，异面直线AC与。G所成的角的大小为.

【答案】60°

【分析】如图所示，连接A。，AG，则NAOG即为异面直线8c与。a所成角.利用△AOG为

正三角形，即可得出.

【详解】解：如图所示，直线AD//BC，所以直线A力与。G所成的角必3£即为异面直线8。与

0c所成角.

AQG为正三角形，

:.^DC,=60°.

故答案为：60°.

【点睛】本题考查正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查推理能力与计算能

力.

7.向量,=(0,0,1)与行=(1,0,-1)夹角的大小为.

【答案】v

4

【分析】利用向量夹角公式求解即可.

【详解】向量M=(O,O,I),5=(1,

ah0+0-1_V2

设日与B的夹角为0，贝Ijcos6=

|a|-|^rVo+o+i-Vi+o+T一2'

Q0<eK7t,0—.

辽小田工3元

故答案为：—.

4

8.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为

【答案】y

【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高,

然后利用体积公式进行求解.

p

如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4,PA=3,设正四棱锥的高为PO,连接AO,则在直角三角形尸。4

中，PONPA2-AO,=心-（2夜）2=1，所以匕“8=gSiPO=；xl6xl若,故答案为？.

【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础

题

10

9.在等差数列｛4｝中，其前八项和为S“，已知公差1=2,邑。=400,则Z%T=

1=1

【答案】190

10

【分析】由已知条件可求得4，得出进而由=%+%+…+49得出答案.

/=|

70x1970x19

【详解】S2o=2O4+-^^d=2Oq+-^^x2=4OO,解得q=l,

，=1+2(〃-1)=2H-1,

3.(1+37)x10…

工a_=4+%■*---。凶=1+54----F37=--------=190.

i=l2i}2

故答案为：190.

10.记数列｛q｝的前〃项和为S",若4=1,4M=25“（〃为正整数），则数列｛q｝的通项公式为

l,n=l

【答案】4=

2-3n-2,n>2

【分析】当〃22时，%=2S“T，所以两式相减得”,用-a“=2（S“一S“_J,所以化简有4=3,又因

为幺=2,可得数列｛q｝是以生=2为首项，公比为3的等比数列，即可求出数列｛4｝的通项公式.

a\

【详解】因为q=l,«„+i=2S„,

所以当〃=1时，生=2S|=2。1=2,

当“22时，勺=2S,i，所以两式相减得：a„+1-«„=2（S„-S„.l）,

则/厂风=24，所以也=3,又因为-=2,

ana\

所以数列｛%｝是以%=2为首项，公比为3的等比数列.

所以当〃22时，a„=2-3"-*I2.

二1

所以数列｛叫的通项公式为：«„=

2-3'-2,n>2

l,n=l

故答案为：a=

n2-3"~2,n>2'

11.若P⑺表示等式4+汨+…+—=2

----------1-----------1•■…H-------（〃为正偶数）,则P（4）表

〃+2〃+42〃

示的等式为

11

【答案】l--+---=2x一+一

23468

【分析】代入”=4,得到P（4）.

2x*1

【详解】将〃=4代入等式，得到+

故答案为：；11

1-H=2x-+-

68

12.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为4三7r，半径为18的扇形，则圆锥母线与底面所成角为

.（结果用反三角函数值表示）

2

【答案】arccos-

【分析】设母线长为/，底面圆的半径为『，圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的

母线长，分别求出厂，1,由线面角的定义求解即可.

【详解】设母线长为/,底面圆的半径为

因为圆锥的侧面展开图是圆心角为与，半径为18的扇形,

所以/=18,且18,与=2”,解得厂=12

122

设圆锥的母线与底面所成角为e,则cose=：r=K=2

I1o3

所以圆锥的母线与底面所成角为arccos：.

2

故答案为：arccos-.

13.在长方体ABCO-A4GR中，若长方体的体对角线AG与过点A的相邻三个面所成的角分别为

a,p,y,则sin%+sin2夕+5皿夕=

【答案】1

【分析】由已知得sinauHlsin夕=§4冈11/=再，由此即可求出答案.

AC,AC〕AG

【详解】连接A耳,AR,AC,

•.•在长方体ABCD-ABCA中，B©_1面4880

..•4G与面ABBM所成的角为NCjAA=a,.七访&=[号

AC]

同理AG与面A。。A所成的角为NGAR=〃，.•.sin夕=

cc

AC1与面A5CQ所成的角为NGAC=/，・•・sin7二十T

Av.

CQ：6c2C\B；+C\D；+CQ4C：

+AC,2+AC'~AC^一君一'

故答案为：1.

14.已知旦凡G,“分别是空间四边形ABC。各边Afi,BC,a),£W的中点，若

BD=m,AC=n(m>0,n>0),则EG2+HF2=.

【答案】3(二+1)

【分析】根据中位线定理判断四边形EFG”是平行四边形，再由

EG+HF2=(EF+EH?+(EF-EH)2计算可得解.

由三角形中位线的性质可得EF//AC,EF=^-AC,HG//AC,HG=：AC,

22

则EF〃HG,EF=HG,所以四边形EFGH是平行四边形,

则的=丽+瓯丽=丽-丽,

In1m

又EF=—AC=—,EH=—BD=—,

2222

2222

所以EG+HF=^+EH^+{EF-EH^=2(EF+EH^=y(w2+n2),即

EG2+HF2=^nr+rr\

故答案为：

15.如图所示，在"RC中，ZACB=90°,ZBAC=3(f,8C=1.在三角形内挖去半圆(圆心。在边

AC上，半圆与3C,AB相切于点C,M,与AC交于点N),则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所

得旋转体的体积为.

【答案］

27

【解析】几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余

部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积.

【详解】几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体,

是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，

且球是圆锥的内切球，

所以圆锥的底面半径是1,高为球的半径为，

可以得到tan30。=变=r=@,

BC3

所以圆锥的体积为•石=且不，

33

球的体积为,%,(——)3=43n,

3327

所以阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为且乃-生叵万=三叵

32727

故答案为：死.

27

【点睛】该题考查的是有关旋转体的体积的求解问题，在解题的过程中，注意分析几何体的特征,

涉及到的知识点有锥体的体积公式和球的体积公式，属于简单题目.

16.如图，在棱长为1的正方体ABC。-ABCQ中，P为底面A8CD内（包括边界）的动点，满足

TT

"尸与直线CG所成角的大小为则线段。尸扫过的面积为______.

6

【答案】1

【分析】根据题设描述易知P的轨迹是以。为圆心，也为半径的四分之一圆，即可求DP扫过的面

3

积.

,JT

【详解】由题设，DDJ1CC、,要使。P与直线CC,所成角的大小为只需。।尸与直线。。।所成角

6

绕。。以J夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：户的轨迹是以。为圆心，为半径的四分

63

之一圆，

OP在ABC。上扫过的面积为卜净2X万哈

故答案为：.

三、解答题

17.如图，已知正方体ABC0-A8CP的棱长为2,点片是棱4蜴的中点.

⑴求异面直线与EG所成角的大小；

（2）求直线EC,与平面ABB,所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【答案】（l）arccos—

10

（2）arctan2

【分析】（1）取8月的中点尸，连接则NFEG（或其补角）为异面直线AB与EG所成角，

利用余弦定理进行求解即可.

（2）因为C£J■平面ABg,所以是直线EG与平面AB4所成的角，在中求解即

可.

【详解】（1）取的中点尸，连接EF,尸C一如图，

则NFEG（或其补角）为异面直线AB与EC,所成角,

因为正方体A88-A4GA的棱长为2,

所以EF=亚,EQ=6,。/=逐，

EF2+EC：-CF2+5-5710

由余弦定理得cosNEEg=

10

2EFECt242-y/5~

所以异面直线AB与EG所成角的大小为arccos*.

（2）因为GA，平面AM,,所以NGEB1是直线EG与平面A54所成的角,

在RtZXCgE中，BCI=2,EB1=1,tanNGEB1=萼=2,

匕

所以直线EC与平面4期所成的角为arctan2.

18.如图，已知一个圆锥的底面半径为2,高为2,且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱.

4

⑴当X=］时，求圆柱的体积;

（2）当》为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.

【答案】（1）等

（2）当x=l时，圆柱的侧面积取最大值2兀

【分析】（1）设圆柱的底面半径为「，根据相似比求出「与*的关系，求出厂代入圆柱的体积公式即

可；

（2）由⑴知r=2-x,代入圆柱的侧面积公式得5=2兀（2万-/）,利用二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）设圆柱的半径为L则7=一，・.，=2—X,0<X<2,

22

442

当工=一时，r=2—=—,

333

所以圆柱的体积丫=兀/工=兀、［2］；3=匝.

⑶327

（2）由（1）知r=2-x,0<x<2,

贝!］圆柱的侧面积5=2兀加=2兀（2—x）x=2兀（一/+2X）=2TT［-（X-1）2+1］,

所以当x=l时，圆柱的侧面积S取最大值27t.

19.据相关数据统计，至2021年底全国已开通5G基站140万个，部分省市的政府工作报告将“推进

5G通信网络建设”列入2022年的重点工作，2022年一月份全国开通5G基站4万个.

(1)如果从2022年2月份起，每个月比上一个月多开通2000个，那么，到2022年底全国共开通5G

基站多少万个；(结果精确到0.1万个)

(2)如果2022年计划开通5G基站60万个,并且自2023年起每年新开通的基站数量比上一年增加%%,

若到2024年底全国开通的5G基站总数至少达到500万个，求x的最小值.(结果精确到0.01)

【答案】(1)201.2

(2)79.13

【分析】(1)2022年每月开通基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为4万，求出2022

年开通的基站数Sn，加上140得答案；

(2)由题意得140+60+60(1+x%)+60(l+x%)2»00,求解x即可.

【详解】(1)2022年每月开通的基站数量构成-个等差数列，公差为0.2万，首项为4万

贝IJ2022年开通的基站数为S|2=12x4+^1^x0.2=61.2万个

故到2022年底全国共开通5G基站140+61.2=201.2万个；

(2)由题意得140+60+60(1+X%)+60(1+X%)22500

即(1+X%)2+(1+X%)—5N0,解得1+^%之平二1

2

.•.2仑囱二2二0.7913,即走79.13

2

所以x的最小值为79.13.

20.如图1,在等腰直角三角形A8C中，/A=90。,BC=6,£>,E分别是AC,A3上的点，

CQ=8E=0,。为8c的中点.将VAOE沿Z5E折起，得到如图2所示的四棱锥4一8COE,其中

AO=6.

图1图2

⑴求证：4。，平面88后；

(2)求二面角A-CD-8的大小；(结果用反三角函数值表示)

⑶求点B到平面ACD的距离.

【答案】(1)答案见解析

小岳

(Z)arccos-----

5

(3)—

5