2019-2020学年高中数学课时分层作业26圆与圆的位置关系含解析新人教A版必修

PAGE课时分层作业(二十六)圆与圆的位置关系(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为()A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定C[两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得eq\r(（m＋2）2＋（－1－m）2)＝3＋2，解得m＝2或－5.]2．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．内切 B．相交C．内切或内含 D．外切或外离D[两圆的圆心距为d＝eq\r(（1－0）2＋（－3－0）2)＝eq\r(10)，两圆的半径之和为r＋4，因为eq\r(10)＜r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选D.]3．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为()A．1B．2C．3D．4C[∵圆C1的圆心C1(－2，2)，半径为r1＝1，圆C2的圆心C2(2，5)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝eq\r(（2＋2）2＋（5－2）2)＝5＝r1＋r2.∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．]4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36D[由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得eq\r(a2＋9)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.]5．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是()A．60°B．45°C．120°D．90°D[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2.圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为r＝2.圆心距为d＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，弦心距d′＝eq\f(d,2)＝eq\r(2).设公共弦所对的圆心角是2θ，则cosθ＝eq\f(d′,r)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.选D.]二、填空题6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．a2＋b2＞3＋2eq\r(2)[由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，eq\r(2)和(0，b)，1，因为两圆外离，所以eq\r(a2＋b2)＞eq\r(2)＋1，即a2＋b2＞3＋2eq\r(2).]7．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．x2＋y2－x－2y＝0[设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0.]8．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．4[如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝2，∴|AB|＝4.]三、解答题9．求圆心为(2，1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．[解]设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0， ①已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0， ②②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．[解]由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2，0)，C2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为eq\f(y－0,－1－0)＝eq\f(x＋2,－1＋2)，即x＋y＋2＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C1(－2，0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|－2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，∴所求圆的半径r＝eq\r(（\r(3)）2－（\r(2)）2)＝1，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.[能力提升练]1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为()A．4B．4eq\r(2)－1C．2eq\r(2)－2D．2D[∵|CC′|＝5＜8－1＝7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为8－|CC′|－1＝2.]2．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0A[以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．]3．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．外切[因为点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，所以a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4)＝2，所以d＝r1＋r2.所以两圆外切．]4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4关于直线l对称，则直线l的方程为________．x－y＋2＝0或x＋y＝0[两圆的圆心分别为O(0，0)，C(－2，2)，由题意，知l为线段OC的垂直平分线或直线OC，故其方程为x－y＋2＝0或x＋y＝0.]5．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解]假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OA⊥OB，设直线l的方程为y＝x＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＋y2－2x＋4y－4＝0，))消元得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.设此方程两根为x1，x2，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝eq\f(b2＋4b－4,2).以AB为直径的圆过原点O，∴kOA·