江苏省泰州市2024届高三第四次调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市2024届高三第四次调研测试数学试题一、单项选择题1.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，所以，所以．故选：C.3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.故选：A4.的展开式中的系数是（）A. B. C.5 D.15〖答案〗B〖解析〗展开式的通项公式为，故的系数为，的系数为，故展开式中系数为.故选：B.5.在平行四边形中，若则的最小值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由可得，因，故时，，即的最小值为.故选：B．6.在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（）A. B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗由题意易知，与坐标轴交于与因为，所以必过于是如下图：由割线定理得，得，即第四个交点为所以．，故选：A.7.已知函数，若函数的图象关于点对称，则（）A.-3 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数，因奇函数定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义，即，解得此时为奇函数，则解得故.故选：C．方法二：依题意恒成立，代入得化简得，,整理得：，即(*)，依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得，回代(*)可得，，即，故.故选：C.8.设的内角的对边分别为若，则面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解法1：由，可得，所以，所以，又由，所以，可得，所以，可得为钝角，为锐角，设，可得，即所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以.故选：D.解法2：由，可得，可得，则角为钝角，为锐角，过点作，如图所示，在直角中，可得，在直角中，可得，由，可得，即为的中点，取的中点，则，可得，可得点在以为直径的圆上，此圆的半径为，所以最大面积为.故选：D.二、选择题9.甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（）场次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A.甲的众数大于乙的众数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的极差大于乙的极差D.甲的60百分位数大于乙的60百分位数〖答案〗ABD〖解析〗对于A，甲的众数为20，而乙的众数为9，故甲的众数大于乙的众数，A正确；对于B，因甲平均数，而乙平均数，故B正确；对于C，甲的极差为，而乙的极差为，故C错误；对于D，先把甲的得分按从小到大顺序排列为：10，13，18，19，20，20，21，22，27，30，由知甲的60百分位数为；再把乙的得分按从小到大顺序排列为：3，9，9，10，13，17，20，24，27，28，则乙的60百分位数为，故D正确.故选：ABD.10已知函数则（）A.函数的图象关于点对称B.将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称C.函数区间上有2个零点D.函数在区间上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗对于当时，而，故A正确；对于将向左平移个单位后可得，为奇函数，关于原点对称，故B错；对于当时，，因在上仅有2个零点，故在上也仅有2个零点，故C正确；对于当时，因在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：ACD．11.在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（）A.存在点和实数，使得B.三棱锥体积的最大值为C.若直线与平面所成的角为，则的最大值为D.若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为〖答案〗BC〖解析〗方法一：对于A，取中点，中点，连接，，正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，，而为的重心，，到平面的距离为，而到平面的距离为，球与平面相离，则不存在这样的和实数，使，A错．对于B，到平面的距离为，球半径，则到平面的最大距离为，，B正确．对于C，设为球的的上顶点，平面于点，与球相切且与平面共面，，，设，则有，得，，C正确．对于，过且与垂直的平面为平面，到平面的距离等于倍的到平面的距离，即，而球半径，则平面截球的截面圆半径，所以截面圆周长即的轨迹长度为，D错.故选：BC．方法二：对于A，如图：左图中为中点，为在平面上的投影．右图为俯视图下看球，由于为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心，所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径．而，因此球与底面不相交，因此是错的；对于B，有，正确；对于C，作出平面的截面如下图：当最大时的位置如上图所示，不难计算出，所以，那么此时，所以C正确；对于D，轨迹即过B且垂直于的平面与球的交线圆，而，此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错．故选：BC．三、填空题12.一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球．从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的概率是______．〖答案〗〖解析〗由题意，所求概率.故〖答案〗为：.13.已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为______．〖答案〗4〖解析〗方法一：可知直线过左焦点，斜率，且直线与双曲线相交，可知，则，联立方程，消去x可得，设，则，由可知，与联立可得，代入可得，则，所以双曲线的离心率；方法二：由题意可知：直线的斜率，则直线的倾斜角，可得，，因为，可知，即，整理可得，所以双曲线的离心率；方法三：因为直线过点，将直线方程写为参数方程，代入双曲线可得，整理得，可知两解为，由可知，则，即，整理可得，所以双曲线的离心率；方法四：若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系，则双曲线方程可以写为，其中为焦点到相应准线的距离．由直线的倾斜角为可知，取可得两点，由条件知在的延长线上，则当时为负值，可得，则，即，解得.故〖答案〗为：4.14.已知表示数，其中数列单调递增，且为正整数．当时，记所有满足条件的的个数为当时，______；当时，______．〖答案〗〖解析〗方法一：第一空：而单调递增从共6个数字中选4个排序即可，第二空：．方法二：第一空相当于在中选出4个数由小到大作为至，；第二空：令，则依题意有：,这等价于从沿着网格线走到，而且每次只能向右或向上走，每一条路线对应一个，由此可知，所以.故〖答案〗为：四、解答题15.如图，在正四棱锥点分别在上，且．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：在正四棱锥中，取中点分别为以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．则因为所以所以因为所以，即．（2）解：设平面的一个法向量为，，取，，得又因为平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为．16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若求在区间上的极值点的个数．解：（1）当时切点为切线的斜率为所以切线方程为．（2）设则当时，有所以在上单调递减，即在上单调递减，因为所以且在上的图象是不间断的，所以在上没有零点，所以当时在区间上的极值点的个数为0．17.在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为点在椭圆上，过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，点不在轴上，点关于轴的对称点为求的面积的最大值.解：（1）因为点在椭圆上，且，所以又因为过椭圆的焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为所以即，代入得：，再由，可得：，解得：故椭圆的方程为.（2）设所以直线的方程为则点到直线的距离为所以三角形的面积因为点在直线上，所以由得所以因为所以当且仅当时等号成立，所以的面积的最大值为.18.假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中．（1）当时，若甲射击次，命中目标的次数为．①求；②若其中求的值．（2）射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对．解：（1）①由题意知所以．②其中设则所以因为其中所以，所以或当时舍去，当时满足题意，综上所述．（2）的可能取值为．对任意，，故所求的有序实数对为．19.已知数列和满足：.（1）设求的值；（2）设