湖北省荆门市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省荆门市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数是偶函数的为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，函数定义域R，显然，且，函数不是奇函数，也不是偶函数，A不正确；对于B，函数定义域为，函数不是奇函数，也不是偶函数，B不正确；对于C，函数定义域为，，函数奇函数，C不正确；对于D，函数定义域是R，，函数是偶函数，D正确.故选：D.2.已知复数满足，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗设复数，则，得，，，解得：或，所以或，得.故选：C.3.总体由编号01，，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.07 C.02 D.01〖答案〗D〖解析〗从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01.故选：D.4.圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示：圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则，解得，所以圆锥母线长为，所以该圆锥的侧面积为.故选：B.5.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据：）A.20 B.28 C.32 D.40〖答案〗C〖解析〗由题意得，，解之得，则，则由，可得，两边取常用对数得，，则.故选：C.6.已知函数，若方程有三个不等的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵函数，方程有三个不等的实数根，∴作出函数和图象，如图所示：设，根据函数对称性可得，令，得，所以，则的取值范围为.故选：D.7.如图是函数的部分图象.现将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由图象可知的周期为，又经过点，即，将其代入可得，所以，故，则，由于为奇函数，所以，故，由于，故当取最小值.故选：A.8.在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝，O是的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A. B. C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA＝(a＋b＋c)r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝，故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为＝.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.9.若是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗CD〖解析〗对于A，若，则向量长度相等，但方向不一定相同，不能得到，故A选项错误；对于B，若，则，即或，故B选项错误；对于C，若，则非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，故C选项正确；对于D，若，则，所以，得，故D选项正确.故选：CD.10.跑步爱好者小亮为了参加“2021年重庆市第六届运动会半程马拉松”比赛，从2020年1月开始进行长跑训练.他根据某跑步软件记录的2020年1月至2020年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.请根据该折线图分析，下列结论正确的是（）A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最小值出现在2月C.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小D.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：由折线图变化趋势可知：月跑步里程不是逐月增加的，故选项A不正确；对于选项B：由折线图知：月跑步里程最小值出现在2月，故选项B正确；对于选项C：由折线图的变化趋势可知：8月至11月波动较大，因此1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，故选项C正确；对于选项D：月跑步里程数按从小到大的顺序排列对应月份分别为：2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故5月份对应的里程数为中位数，故选项D正确.故选：BCD.11.如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点，下列说法正确的是（）A.棱锥的体积为定值B.截面的周长的最小值为C.存在点，使得平面D.与平面所成的角的最大角为〖答案〗ABD〖解析〗在正方体中，，对于A，连接，由平面平面，得，又平面，则平面，而平面，于是平面，点到平面的距离等于到平面的距离，棱锥的体积为定值，A正确；对于B，因为平面平面，则平面与平面的交线平行于，同理平面与平面的交线平行于，因此平面截正方体的截面为，连接，显然，在正方形中，延长于，使，连接交于，连接，如图，显然垂直平分，点是中点，因此截面的周长，当且仅当点与重合时取等号，B正确；对于C，因为正方体的对角面是矩形，不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C错误；对于D，令与平面所成的角为，，由选项A知，，当且仅当时取等号，又为锐角，因此，D正确.故选：ABD.12.已知函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.函数是定义在上的奇函数，是偶函数，则（）A.B.C.是满足条件的一个函数D.若当时单调递增，则的解集是〖答案〗ACD〖解析〗由题可得关于对称，且关于直线对称，所以，所以的周期为，，故A正确，B错误；函数的周期为，定义在R上的奇函数，是偶函数，故C错误；对于D项，由题可知函数在上递增，且，又关于直线对称，在上递减，且，所以时，，又周期为4，故的解集是，D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将〖答案〗填在答题卡上相应位置.13.两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，则在上的投影向量为_________.〖答案〗〖解析〗在上的投影向量为：.故〖答案〗为：.14.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为_____；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为______．〖答案〗501015小时〖解析〗第一分厂应抽取的件数为100×50%=50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015(小时)．故〖答案〗为：501015小时.15.在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.〖答案〗〖解析〗设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由正弦定理，，，，即为钝角，为锐角，，，.故〖答案〗：.16.已知四棱锥中的外接球的体积为，，平面，四边形为矩形，点在球的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为________〖答案〗〖解析〗，故，将四棱锥补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为，且，由于，又，当且仅当时等号成立，此时，要使得四棱锥的体积最大，只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点，又，故体积的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，，，，是边上一点，，设，．（1）试用，表示；（2）求的值．解：（1）∵是边上一点，，∴，又∵，，，∴．（2）∵，，，∴，.18.已知函数.（1）当时，的最大值为1，最小值为，求实数的值；（2）若，求函数在上的单调递增区间.解：（1）当，有，则，因为，所以，，解得.（2），由，得，因为，取或，或，故函数在上的单调递增区间为或.19.为了解我市参加2022年全国高中数学联赛的学生的考试成绩，现从中选取60名同学，将其成绩（百分制，均为正整数）分成，六组后，得到部分频率分布直方图（如下图），回答下列问题.（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）根据评奖规则，排名靠前的的同学可以获奖，请估计获奖的同学至少需要多少分？该估计值是第_____百分位数.解：（1）由题意可得：，得分数在内的频率为，频率分布直方图如下：（2）因为各组的频率依次为，则的频率相同且最大，所以众数为和，平均分为.（3）因为的频率，两组的频率，设获奖的同学至少需要分，则，解得，所以得获奖的同学至少需要88分，根据百分位数的定义可知：该估计值是第90百分位数.20.如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点．将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥．（1）求证：平面平面BCD；（2）若，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积．解：（1），，，故平面，平面，故，，，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.（2）如图所示：分别为的中点，连接，分别为中点，故，平面，故平面，平面，故，分别为中点，故，，故，，故平面，故为二面角的平面角，即，设，则，，，，，，根据的等面积法：，解得，.21.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知在中，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若角的对边分别为，且（1）求；（2）若，求的面积最大值.解：（1）由正弦定理