人教版中考模拟测试《数学卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题

1.下列各数中最大的负数是（）

11

A.—B.---C.-1D.-3

32

2.某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns）,已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15

次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（）

A.1.5x10-9秒B.15xi（）-9秒C.1.5XKT8秒D.15xi（f8秒

3.如图，点。在上，OE平分OFYOE,ZD=110°,则（）

4.小明同学做了下面四道计算题：①（J）、/；②（r-y）2=f_2^+y2；©（x+y）（j;-x）=/-x2；

④其中正确的个数是，）

A.4B.3C.2D.1

5.关于x的一元二次方程/一蛆+加一2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.m不确定，所以无法判断

6.一个儿何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和左视图，那么组成该几何体所需小正方

主视图左视图

A.5B.6C.7D.8

7.如果一组数据6、7、X、9、5的平均数是2x,那么这组数据的方差为（)

A.4B.3C.2D.1

8.如图，在R/A48c中，N3=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A3、AC于点。,后，再

分别以点D、E为圆心,大于-DE为半径画弧,两弧交于点F，作射线AF交边BC于点BG=1,AC=4,

2

则AACG的面积是（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

9.如图1,已知在四边形ABCD中，AB//CD,NB=90°,AC=AD,动点P从点B出发沿折线B-AfD-C

的方向以1个单位/秒的速度匀速运动，整个运动过程中，4BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数关系

如图2所示，则AD的长为（）

A.5B.734C.8D.2G

10.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，轴，已知点B（4,

3）,D（2,6）,固定A、B两点，拖动CD边向右下方平行移动，使平行四边形ABCD的面积变为原来的;,

则变换后点D的对应点次的坐标为（）

A.(2后3)B.(2后6)C.(V3,4)D.(2A/3,4)

二、填空题

11.计算：+万°

12.婷婷和她妈妈玩猜拳游戏.规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳手指数之和为偶数时婷婷获

胜.那么，婷婷获胜的概率为.

13.如图，在A48c中，NB4c=90°,/8=36°,也是边8（：上的中线，将AACD沿AO折叠，使点C落

在点F处，DF交AB于点E,则

14.如图，已知在矩形ABCD中，A8=4,以点A为圆心，AD长为半径作弧£）石，交AB于点E,以AB

为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为

15.如图，已知在AABC中，ZACB=90°,AC=2,8c=4,点E为AB中点，D为BC边上的一动

点，把4ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当4AEF为直角三角形时，CD的长为

三、解答题

16.先化简，再求值：（—―一"+-4a+4,其中a的值从不等式组—旧＜。〈石的解集中选取一

Va+1）a+\

个整数.

17.某学校为了解九年级的600名学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每

天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两副不完整的统计图(图1图2),请根据统计图中的信息回答

下列问题：

(1)本次调查的学生人数是人;

(2)图2中角a是度；

(3)将图1条形统计图补充完整；

(4)估算该校九年级学生自主学习不少于1.5小时有多少人.

18.如图，已知在放A4BC中，NAC6=90°,以BC为直径作口。交A8于点E,。为AC边的中点，连接

OD,DE.

(1)求证：DE是□。的切线.

(2)①若AC=3,AE=1,求口O半径；

②当NA=时，四边形0cOE是正方形.

19.如图，为宣传国家相关政策，某村在一个小山坡顶端的平地上竖起一块宣传牌A8,某数学小组想测量

宣传牌AB的高度，派一人站在山脚C处，测得宣传牌顶端A的仰角为40°，山坡的坡度为i=l:2,

山坡CO的长度为46米，山坡顶点。与宣传牌底部B的水平距离为2米，求宣传牌A8的高度.(结果

精确到0.1米，参考数据：sin40°=0.64,cos40"=0.77,tan40°=0.84,6=2.24)

20.某茶具店购进了A、B两种不同的茶具，1套A种茶具和2套B种茶具共需250元；3套A种茶具和4

套B种茶具共需600元.

(1)求A、B两种茶具每套的进价分别是多少元？

(2)由于茶具畅销，茶具店准备再购进A、B两种茶具共80套，但这次进货时，工厂对A种茶具每套进

价提高了8%,而B种茶具每套按第一次进价的八折，若茶具店本次进货总钱数不超过6240元，则最多可

进A种茶具几套？

(3)若销售一套A种茶具可获利30元，销售一套B种茶其可获利20元，在(2)的条件下，如何进货可

使本次购进茶具获利最多？最多是多少？

21.如图，点A1|,4n

8(九2)是直线AB:y=丘+人与反比例函数y=—(x>0)图象的两个交点,

x

轴于点C,己知点D(0,1),连接AD、BD、BC,

(1)求反比例函数和直线AB的表达式；

n

(2)根据函数图象直接写出当x>0时不等式日+人〉一解集;

x

(3)设aABC和4ABD的面积分别为，、S2,求邑一H的值.

22.如图1,在矩形A8C。中，AB=6,BC=8,点E是边8上的点，且CE=4,过点E作C£)的垂线，并

在垂线上截取EF=3,连接CF.将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

图1图2备用图

(1)问题发现

Ap

当〃=0°时，AF=,BE=,——=；

-BE-

(2)拓展探究

试判断：当0。&/。＜360。时，丝的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

BE

(3)问题解决

当4CEF旋转至A,E,F三点共线时，直接写出线段BE的长.

23.如图，抛物线y=o?+法一2经过点A(4,0)、B(l,0),交y轴于点C.

(1)求抛物线解析式.

(2)点P是直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PH_LAC于点H,求线段PH长度的最大值.

(3)Q为抛物线上的一个动点(不与点A、B、C重合)，QM_Lx轴于点M,是否存在点Q,使得以点A、

Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

y

OO

H

CC

备用图

答案与解析

一、选择题

1.下列各数中最大的负数是()

11

A.—B.C.-1D.-3

32

【答案】A

【解析】

【分析】

根据绝对值越大的负数的值越小分析即可.

【详解】解：♦.•-3＜-1＜二＜一,

23

.•.最大的负数是-2，

3

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的大小，解题的关键是熟练运用有理数的大小比较法则，注意两个负数，绝对

值大的其值反而小.

2.某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns),己知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15

次基本运算，所用时间用科学记数法表示为()

A.1.5xi()-9秒B.15x10-9秒C.1.5x10-8秒D.15乂10-8秒

【答案】C

【解析】

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl0\与较大数的科学记数法不同的是其所

使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.

【详解】所用时间=15x0,0000000()1=1.5x10'8.

故选：C.

【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，一般形式为axl0\其中长间＜10,n为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.如图，CD//AB,点。在AB上，OE平分NBOD,OF1OE,ZD=110°,则NAOE=()

A.25°B,30°C.35°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行线的性质解答即可.

【详解】解：•.•CD〃A8,

ZAOD+ZD=180°,

ZAOD=70°,

ZDOB=110°,

OE平分ZBOD,

ZDOE=55°,

,:OF_LOE,

：.NFOE=9D°,

Z£>OF=90°-55°=35°,

4。尸=70。-35。=35。，

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答.

4.小明同学做了下面四道计算题：①（巧3=丁；②（一一»=/-2盯+/；③（x+y）（y—x）=y2—x2；

④gx'）,其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据幕的运算及整式的乘方公式即可求解.

【详解】①（一）3=X6,故错误；

②（一%=x2+2孙+;/,故错误；

③（x+y）（y—x）=y2—x2,正确；

④故错误；

故选D.

【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则.

5.关于x一元二次方程/—巾+m—2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.m不确定，所以无法判断

【答案】B

【解析】

【分析】

计算方程的判别式△=（加一2）2+4,进而可作判断.

【详解】解：：△=（一机『一4（加—2）="2-4机+8=（加一2y+4>0,

原方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与

方程根的个数的关系是解题的关键.

6.一个儿何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和左视图，那么组成该几何体所需小正方

体的个数最少为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三视图还原简单几何体，由主视图知物体共三列，且左侧一列高两层，中间一列高1层，右侧一列最

高两层；由左视图可知左侧两，右侧一层，即可计算出小正方体的最少块数.

【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共三列，且左侧一列高两层，中间一列高1层，右侧一列最高

两层；

由左视图可知左侧两，右侧一层，所以图中的小正方体最少4+3=7块，最多5+3=8块.

故选C.

【点睛】本题主要考查了三视图，明确三视图的定义以及由三视图还原几何体的法则是解题关键.

7.如果一组数据6、7、X、9、5的平均数是2x,那么这组数据的方差为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案.

详解：根据题意，得：6+7+;+9+5=2*

解得:x=3,

则这组数据为6、7、3、9、5,其平均数是6,

所以这组数据的方差为![(6-6)2+(7-6)2+(3-6)2+(9-6)2+(5-6)2]=4,

故选A.

点睛：此题考查了平均数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的个数.方差是一组数据中各数

据与它们的平均数的差的平方的平均数.

8.如图，在R/A48c中，/8=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点。,E,再

分别以点D、E为圆心，大于』DE为半径画弧,两弧交于点F，作射线AF交边于点=1,AC=4,

2

则A4CG的面积是()

A

35

A.1B.-C.2D.

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本作图得到AG平分NBAC,利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1,然后根据三角形面积

公式计算4ACG的面积.

【详解】解：由作法得AG平分NBAC,

G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1,

所以"CG面积=1x4xl=2.

2

故选C

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了交平分线的性质.

9.如图1,己知在四边形ABCD中，AB//CD,NB=90°,AC=A。，动点P从点B出发沿折线B-A-DfC

的方向以1个单位/秒的速度匀速运动，整个运动过程中，^BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数关系

如图2所示，则AD的长为（）

A.5B.734C.8D.26

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得当，=3时，点P到达A处，即A8=3,过点A作交C。于点E,则四边形ABCE为矩

形，根据等腰三角形的性质可求出。的长，当5=15时，点尸到达点。处，进而可求出BC的长，再根据

勾股定理即可求出结果.

【详解】解：当f=3时，点P到达A处，即AB=3；

过点A作AE±CD交CD于点E,则四边形4BCE为矩形，

•：AC^AD,.,.CO=2CE=2AB=6,

当5=15时，点P到达点。处，则S=LQ>BC=LX6・BC=3XBC=15,

22

：.BC=5,

由勾股定理得：AD=AC=^32+52=734)

故选:B.

【点睛】本题以动态的形式考查了矩形的判定和性质、勾股定理、函数的图象和等腰三角形的性质，具有

一定的综合性，正确添加辅助线、读懂图象信息是解题的关键.

10.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，轴，已知点B(4,

3),D(2,6),固定A、B两点，拖动CD边向右下方平行移动，使平行四边形ABCD的面积变为原来的L,

3

则变换后点D的对应点W的坐标为()

A.(26,3)B.(26,6)C.(V3,4)D.(273,4)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件求出A点的坐标，根据面积缩小为原来的;，康的纵坐标为4,由AO=A。'，即可求得以

的坐标.

【详解】•••平行四边形ABCD顶点A在y轴上，B(4,3),

A（0,3）,

；.AB=4,

'：D（2,6）,

•••平行四边形面积=4x3=12,

v平行四边形的面积缩小为原来的!,

到AB的距离为1,

•••以的纵坐标为4,

设。'（',4）,

vAD=V22+32=713,

；•4£>=&+1=屈,

工=2"

勿（2后4）.

故答案选D.

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系与平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行分析即可.

二、填空题

11.计算：舛+-1°=.

【答案】1

【解析】

【分析】

先根据立方根定义，负整数指数嘉，0指数塞进行计算，再合并即可.

【详解】解：舛+03

=—2+4—1

=1.

故答案为：1

【点睛】本题考查了立方根定义，负整数指数累，0指数累，熟知各知识点是解题关键.

12.婷婷和她妈妈玩猜拳游戏.规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时婷婷获

胜.那么，婷婷获胜的概率为.

13

【答案】士

25

【解析】

【分析】

根据题意，可用列举法、列表法或树状统计图来计算出总次数和婷婷获胜的次数，从而求出婷婷获胜的概

率

【详解】解：根据题意,一共有25个等可能的结果,即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)1

(5,5);

两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，

13

所以婷婷获胜的概率为三

25

13

故答案为：—

【点睛】本题考查的是用列举法等来求概率，找出所有可能的结果数和满足要求的结果数是解决问题的关

键.

13.如图，在A4BC中，NB4c=90°,NB=36°,AO是边BC上的中线，将A4c。沿AO折叠，使点C落

在点F处，DF交AB于点E,则=_

【答案】108°

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理求出NC=54°，由A。是斜边BC边上的中线得到AD=B£>=C£>,求出NADC=72°，

再根据翻折后三角形角大小不变找到NAZ)C=NAOF=72。,最后再根据三角形外角和定理求出NDEB的

度数.

【详解】•.•在RtZkABC中，NBAC=90°,ZB=36°,

，NC=90°-/8=54°，

AD是斜边BC边上的中线，

：.AD=BD=CD,

：­/BAD=NB=36。，NDAC=NC=54°,

/.ZADC=180°-ADAC-AC=72°，

•..将△AC。沿A。对折，使C落在F处，

ZADC=NADF=72°,

NDEB=NBAD+ZADF=36°+72°=108。，

故最后答案为108°.

【点睛】本题主要考查了三角形外角定理、直角三角形斜边上的中位线的性质、翻折变换，明确直角三角

形斜边上的中位线的性质以及翻折变换是解题的关键.

14.如图，已知在矩形ABCD中，A8=4,以点A为圆心，AD长为半径作弧。石，交AB于点E,以AB

为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为.

D__________________o

AE0

【答案】-

3

【解析】

【分析】

如图，连接AG、EG、由题意易知AAEG是等边三角形，根据S"尸S*M-S扇后AEG-S共AmG计算即可解决问题.

【详解】如图，连接AG、EG.

由题意易知△AEG是等边二角形,

S阴=5半圆-S肩形AEG-S号形AmG

2

60万x2

=21一

3603604

2乃

——+6

3

24/~

故答案为：—^-+A/3.

【点睛】本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求

阴影部分的面积.

15.如图，已知在aABC中，NAC3=90°,AC=2,5c=4,点E为AB的中点，D为BC边上的一动

点，把4ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当4AEF为直角三角形时，CD的长为.

【解析】

【分析】

本题以三角形为基础，考查内容包含中点的用法，可立刻推边等；动点图形翻折问题，可得到角等以及边

等，解答本题需以题目要求直角三角形为前提，采取分类讨论方法，通过构造辅助线、假设未知数并结合

勾股定理求解.

【详解】(1)当NAFE=90。时

作EMJ_BC垂足为M.,作ANJ_ME于N,如下图所示：

ZC=ZEMB=90°

；.EM〃AC

AE=EB

2

EM=-AC=1

2

.\ZC=ZCMN=ZN=90°

.♦•四边形ACMN是矩形

,/AC=CM=2

四边形ACMN是正方形

在RTZ\ABC中，：AC=2,BC=4

AB=2Vs，AE=yfs

在RMAFE中，VAE=V5，AF=AC=2

.*.FE=1

设CD=FD=x,在RTAEDM中，：DE=l+x,EM=1,DM=2-x

DE2=DM2+EM2

(1+X)2=(2-X)2+12

2

(2)当NAFE=90。时，如下图所示

,/ZAFD=90°

，F,E,D三点共线

在RTZ\AFE中，：AE=V^,AF=AC=2

.".EF=1

XVDE=1

，EF=ED

又•.•EA=EB,ZAEF=ZBED

所以4AFE三ABDE(SAS)

.\ZBDE=ZAFE=90°

故四边形AFCD是矩形

又：AF=AC

所以四边形AFCD是正方形

；.CD=AC=2

【点睛】本题主要考查动点翻折问题，需要着重注意分类讨论，思考要全面，求解过程尝试利用割补法将

图形补成常见模型以便求解.

三、解答题

16.先化简，再求值：(—―—a+1^-~4a+4,其中a的值从不等式组—夜的解集中选取一

\a+l)Q+1

个整数.

GI

【答案】7—当。=0时，值为1(或当。=1时，值为3)

2-a

【解析】

【分析】

原式括号内通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取

合适a的值代入计算即可求出值.

3八a"-4。+4

【详解】

a+1)a+1

3-(a+l)(a—1)(a—2)2

a+\a+\

4一。2Q+1

----x-----

〃+1(〃—2尸

(2+a)(2-4)

(2—)2

2+a

2—ci

石，且。中一1，a是整数，

为使分式有意义取。=()(或1)

当a=0时，原式=-----1.

2-0

（或当a=1时，原式=2里=3.）

2-1

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

17.某学校为了解九年级的600名学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每

天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两副不完整的统计图（图1图2）,请根据统计图中的信息回答

下列问题：

（1）本次调查的学生人数是人；

（2）图2中角。是度；

（3）将图1条形统计图补充完整；

（4）估算该校九年级学生自主学习不少于1.5小时有多少人.

【答案】（1）40；（2）54：（3）详见解析；（4）估计该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时约有330

人；

【解析】

【分析】

（1）根据1小时的人数和所占的百分比，即可求出总人数；

（2）用0.5小时的人数除以抽查的人数，再乘以360。，即可求出圆心角的度数；

（3）用1.5小时的人数所占的百分比乘以抽查的人数即可求出1.5小时的人数，从而补全统计图；

（4）用总人数乘以该校九年级学生自主学习不少于1.5小时所占百分比，即可求出结果；

【详解】（1）根据题意得：

12+30月=40（人），

答：本次调查的学生人数有40人;

（2）图2中角a的度数是：

360°xA=54°.

40

40

答：该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时约有330人.

【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在做题的时候抓住每个时间段的占比，根据条

件求解.

18.如图，已知在RfA48c中，NACB=90°,以BC为直径作口。交AB于点E,。为AC边的中点，连接

OD,DE.

(1)求证：DE是口。的切线.

(2)①若AC=3,AE=1,求口。的半径；

②当NA=时，四边形0cOE是正方形.

【答案】(1)详见解析；(2)①3亚②45°

【解析】

【分析】

(1)连接OE、CE,由圆周角定理得出NBEC=90°,则NAEC=90°,由直角三角形斜边上的中线性质

得出AD=CD=DE,由等腰三角形的性质得出NDEC=/DCE,ZOCE=ZOEC,证出/OED=90°,即

可得出结论;

（2）①由勾股定理求出CE=20,证△OCEs/^DAE,得出比例式，求出OC的长即可；

②证aABC是等腰直角三角形，得出/ABC=45°,证四边形OCDE是矩形，由OC=OE,即可得出四边

形OCDE是正方形.

【详解】（1）证明：连接OE、CE,如图所示：

BC是（DO的直径，

ZBEC=90°,

AZAEC=90°,

是AC的中点，

1

，DE=—AC=AD=CD,

2

.\ZDEC=ZDCE,

VOC=OE,

ZOCE=ZOEC,

VZACB=90°,

：.ZDEC+NOEC=NDCE+ZOCE=ZACB=90°,

/.ZOED=90°,即OE_LDE,

YE为。O上的点，

；.DE是。O的切线；

（2）解：①；AC=3,

13

；.AD=DE=—AC=—，

22

：/AEC=90°,

；•CE=^AC2-AE2=V32-l2=272，

VZBEC=90°,

AZCBE+ZOCE=90°,

VZACB=90°,

AZCBE+ZDAE=90",

：.ZOCE=ZDAE,

VAD=DE,OC=OE,

AZOCE=ZOEC=ZDAE=ZDEA,

.".△OCE^ADAE,

.PCCE

"'~AD~~AE'

OC2a

即可=-F，

2

解得：OC=3也，

故半径长为3亚；

②当/A=45°时，四边形OCDE是正方形；理由如下:

：/A=45°,

...△ABC是等腰直角三角形，

；.NABC=45°,

VOB=OE,

二/OBE=NOEB=45°,

.\ZCOE=ZOBE+ZOEB=45°+45°=90°,

•.•/ACB=90°,ZOED=90°,

四边形OCDE是矩形，

VOC=OE,

四边形OCDE是正方形；

本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性

质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定等

知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键.

19.如图，为宣传国家相关政策，某村在一个小山坡顶端的平地上竖起一块宣传牌A8,某数学小组想测量

宣传牌AB的高度，派一人站在山脚C处，测得宣传牌顶端A的仰角为40°，山坡的坡度为i=l：2,

山坡CO的长度为46米，山坡顶点。与宣传牌底部B的水平距离为2米，求宣传牌A8的高度.（结果

精确到0.1米，参考数据：sin400=0.64,cos40°=0.77,tan400=0.84,J5=2.24）

【答案】约为4.4米

【解析】

【分析】

延长AB交CM于点E,过点D作。E_LCM点F,构造矩形BDFE和RtZ\CDF、RtAACE,设。E=x,CE=2x,

由矩形的性质和勾股定理借助于方程求得x的值，然后通过解直角三角形来求AB的值.

【详解】延长AB交CM于点E,过点D作DE_LCM点F,

则四边形BDFE是矩形，EF=BD=2,BE=DF,

在ACO/中，z=l:2,

设DF-x,CF=2x,

•/CD=4>/5)

:.x2+4x2=(4同"，

x=4,

:.DF=4,CF=S,

:.CE=CF+EF+S+2^W,BE=DF=4,

vZACE=40\

AE“c。

...——tan40,

CE

:.AE=CE-tan4(f=8.4，

/.AB=AE-BE=4A.

答：宣传牌的高度约为4.4米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中坡度坡角问题和仰角俯角问题，此类题构造直角三角形是关键.

20.某茶具店购进了A、B两种不同的茶具，1套A种茶具和2套B种茶具共需250元；3套A种茶具和4

套B种茶具共需600元.

(1)求A、B两种茶具每套的进价分别是多少元？

(2)由于茶具畅销，茶具店准备再购进A、B两种茶具共80套，但这次进货时，工厂对A种茶具每套进

价提高了8%,而B种茶具每套按第一次进价的八折，若茶具店本次进货总钱数不超过6240元，则最多可

进A种茶具几套？

(3)若销售一套A种茶具可获利30元，销售一套B种茶其可获利20元，在(2)的条件下，如何进货可

使本次购进茶具获利最多？最多是多少？

【答案】(1)A、B两种茶具每套的进价分别是100元和75元

(2)30套

(3)进30套A种茶具，50套B种茶具；获利最多为1900元

【解析】

分析】

(1)根据题意，列出二元一次方程组，从而可以得到A、B两种茶具每套的进价分别是多少元；

(2)根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到购买A种茶具数量的取值范围，然后即可得到最多

可进A种茶具几套；

(3)根据题意，可以得到利润与购买A种数量的函数关系，然后根据一次函数的性质，即可得到如何进货

可使本次购进茶具获利最多，最多是多少.

【详解】(1)设A、B两种茶具每套的进价分别是x元、y元，根据题意，可得

x+2y=250,

3x+4y=600.

解得《fx=1«00,

lv=75.

答：A、B两种茶具每套的进价分别是100元和75元.

(2)设购进A种茶具a套，根据题意，可得

(1+8%)100a+0.8x75(80-a)<6240.

解得a430.

答：最多可进A种茶具30套.

(3)设获利为w元，则

vv=30a+20（80一a）=10a+1600.

V10>0,所以w随的增大而增大.

.,.当a=30时，％大=1900（元）

此时，80-。=50,

答：进30套A种茶具，50套B种茶具，可使本次购进茶具获利最多，获利最多为1900元.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键

是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.

21.如图，点4卷,4

B(加,2)是直线=+)与反比例函数y=-(x>0)图象的两个交点,

x

轴于点C,己知点D(0,1),连接AD、BD、BC,

(1)求反比例函数和直线AB的表达式；

(2)根据函数图象直接写出当x>0时不等式依+b〉一的解集;

x

(3)设aABC和4ABD的面积分别为W、邑，求$2一S的值.

【解析】

【分析】

n

(1)根据已知条件，点A]4代入y=-(尤>0)可求出n,进而得到B的坐标，用待定系数法即可得到

x

一次函数解析式;

(2)根据一次函数图像在反比例函数图像上方可得出结果;

(3)过点B作于点E,分别求出5、5，即可得到结果;

【详解】(1)；点A(|,4Y)

在反比例函数y=-(x>0)的图象上,

x

：."=4*3=6,.•.反比例函数的表达式为y=9(尤＞0).

2x

将B(九2)代入y=9中,得加=色=3,.•.8(3,2).

x2

34

(3、-k+b=4,k=—.

将A8(3,2)代入产丘+b中，得《2,解得彳3.

3%+。=2.[b=6

4

;•直线AB的表达式为y=-§x+6.

(2)由题可得，一次函数图像在反比例函数图像上方，取值在A于B之间，故|<x<3.

73

⑶过点B作BhAC于点E,则^=3--=-.

113

S]=-xACxBE=-x4x-=3

222

设直线AB与y轴交于点E则F(0,6).

VD(0,1),・•・DF=6-1=5.

3

•.•点A、B至I」DF的距离分别为二和3,

2

$2=S^BOF_=_XDFxf3--j=—x5x—=—.

15-3

S—S=

2t44

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，准确求解函数的解析式及分析函数图像是解题的

关键.

22.如图1,在矩形A8C。中，AB=6,8c=8,点E是边CD上的点，且CE=4,过点E作C£＞的垂线，并

在垂线上截取EF=3,连接CF.将ACE尸绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

图1图2备用图

(1)问题发现

Ap

当4=0。时，AF=，BE=,——=；

------BE一

(2)拓展探究

试判断：当0。&/。＜360。时，丝的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.

BE

(3)问题解决

当ACEF旋转至A,E,尸三点共线时，直接写出线段8E的长.

【答案】⑴5后,4石，T；(2)无变化，理由见解析；⑶BE的值为8®+12或8e12

455

【解析】

【分析】

(1)如图(见解析)，先根据矩形的判定与性质得出DG=EF=3,AG=11,再利用勾股定理求出即可得;

CFCE

(2)如图(见解析)，先根据相似三角形的判定与性质得出K=ZECF=ZACB,从而可得

ACBC

CFAC5

-=—=ZACF=ZBCE,再根据相似三角形的判定与性质即可得；

CEBC4

（3）分两种情况：E在A、F之间和点F在A、E之间，分别利用勾股定理求出AE的长，再利用线段的和

差求出AF的长，然后结合（2）的结论即可求出BE的长.

【详解】（1）当a=0。时，如图，过点F作FGLAD于G

•.•四边形ABCD矩形

.\ZADC=ZBCE=90°,AD=BC=8,AB=CD=6

由/G=NEDG=NDEF=90。，知四边形DEFG是矩形

；.DG=EF=3,AG=11

VCE=4,CD=6

，FG=DE=2

在RtZ\AGF中，由勾股定理得：AF=5A/5

同理可得：BE=4后

.AF5

・・=—;

BE4

（2）4£的大小无变化，理由如下:

BE

如图，连接AC

AB=6,BC=8,EF=3,CE=4

EF_1CE1

~AB~2'BC~2

EFCE

AB~BC

ZCEF=ZABC=90°

△CEF^ACBA

CFCE

——=——,NECF=/ACB

ACBC

CFACS

——=—=一,ZACF=ZBCE

CEBC4

△ACF^ABCE

Aprp5

族即正的大小无变化;

(3)当aCEF旋转至A,E,F三点共线时，存在两种情况:

①如图，点E在A、F之间，连接AC

「△ABC中，由勾股定理得：AC=10

同理可得：CF=5

AFCF5

由(2)知:

BE-CE-4

：.CE=-4CF=4

5

RtZ\AEC中，由勾股定理得：AE=20T

AF=AE+EF=2V21+3

BE=*"+3)=/普

②如图，点F在A、E之间时，连接AC

同理可得：AF=AE-EF=2721-3

B

g匚匚r,-AA/*AL,8J21+12—8J21-12

综上所述，BE的值为-------或二--------

55

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题(3),

依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键.

23.如图，抛物线y=以2+法一2经过点A(4,0)、B(l,0),交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P是直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PH_LAC于点H,求线段PH长度的最大值.

(3)Q为抛物线上的一个动点(不与点A、B、C重合)，轴于点M,是否存在点Q,使得以点A、

Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=--x2+-x-2；(2)坦；(3)。(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)

225

【解析】

【分析】

(1)根据待定系数法解答即可；

(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点E,如图1,设点

P的横坐标为f,则PE可用含f的代数式表示，易证△PEHS^ACO,可得罢=空，于是PH可用含f

PEAC

的代数式表示，然后根据二次函数的性质即可求出P4长度的最大值；

(3)设。点的横坐标为相，则。点的纵坐标可用，”的代数式表示，分三种情况：当1＜机＜4时，如图2；