中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【选择题】必考重点07规律探究问题(原卷版+解析)

【选择题】必考重点07规律探究问题规律探究类问题在江苏省各地市的中考中考查比例不是很高，但偶尔会有所考查，难度一般或者较难，考查形式并不限于选择题，填空题中也会考查，题量一般是1题。主要有数字类规律探究和图形类规律探究，有时会结合几何和函数进行综合考查。用代数式表示数字或图形的规律，有其自身的解题规律，掌握其正确的解题方法，这类题目将会迎刃而解。针对数字类规律探究常用的解题方法为：数字规律就是根据所给出的数字信息，认真观察分析，将数或式中的有关数字进行分解、组合，从中找出数字变化的规律，根据这个规律解决题目。针对图形类规律探究常用的解题方法为：图形规律就是根据所给出的图形的结构特特征，需要认真分析观察、分析、归纳，从图形所蕴含的数字信息总结出一般的数式规律，然后再应用规律做题。【2022·江苏盐城·中考母题】《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为___________．【考点分析】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律．【思路分析】先由直线与轴的夹角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形，，，，…，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（

）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【考点分析】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．【思路分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．【2021·江苏扬州·中考母题】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【考点分析】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．【思路分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．一、单选题1．（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256…，则2+22+23+24+25+…+22018的末位数字是（）A．8 B．6 C．4 D．02．（2022·江苏·扬州市梅岭中学一模）我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形点数”（如1，3，6，10…）和“正方形点数”（如1，4，9，16，…）．在小于300的点数中，设最大的“三角形点数”为m，最大的“正方形点数”为n，则m＋n的值为（

）A．589 B．565 C．556 D．5323．（2022·江苏宿迁·二模）有一列数，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则为（

）A． B．2 C． D．20224．（2022·江苏镇江·二模）喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首；②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．7天后，小颖背诵的诗词最多为（

）首．A．21 B．22 C．23 D．245．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．6．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）A． B． C． D．7．如图，将，，，分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（

）A．或 B．或 C．或 D．或．8．设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．39．如图1是一个水平桌面上摆放的棱长为1的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成的几何体，按照这样的规律继续叠放下去，至第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是（）A．117 B．118 C．119 D．12010．两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039二、填空题11．（2022·江苏淮安·二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，且AC边在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；……，其中P1、P2、P3、……都在直线l上，按P3规律继续旋转，直至得到点P2022为止，则AP2022＝_____．12．（2022·江苏·苏州中学二模）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，S1+S2+S3+…Sn=______（用含n的代数式表示）．13．（2022·江苏徐州·模拟预测）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需___根小木棒．14．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，正方形的边长为4，它的两条对角线交于点，过点作边的垂线，垂足为，的面积为，过点作的垂线，垂足为，△的面积为，过点作的垂线，垂足为，△的面积为，△的面积为，那么__，则__．15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，用大小相等的小正方形按一定规律拼成一组图形，则第n个图形中小正方形的个数y与n的关系式为___________．16．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第21行的数是_____．17．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．18．现有一列数m1，m2，m3，……，m2020，其中m1＝-3，m2＝-1，且mn+mn+1+mn+2＝1(n为正整数)，则m1+m2+m3+……+m2020=____________________．19．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为_______．20．如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是13，绿色的面积是11，则正方形盒子的面积为_____________．21．如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点，使得，得到第一个三角形；在射线上取一点，使得；得到第二个三角形；在射线上取一点C3，使得，得到第三个三角形…依次这样作下去，则第2022个三角形中的度数为_____．22．国庆节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当时，s=__________．【选择题】必考重点07规律探究问题规律探究类问题在江苏省各地市的中考中考查比例不是很高，但偶尔会有所考查，难度一般或者较难，考查形式并不限于选择题，填空题中也会考查，题量一般是1题。主要有数字类规律探究和图形类规律探究，有时会结合几何和函数进行综合考查。用代数式表示数字或图形的规律，有其自身的解题规律，掌握其正确的解题方法，这类题目将会迎刃而解。针对数字类规律探究常用的解题方法为：数字规律就是根据所给出的数字信息，认真观察分析，将数或式中的有关数字进行分解、组合，从中找出数字变化的规律，根据这个规律解决题目。针对图形类规律探究常用的解题方法为：图形规律就是根据所给出的图形的结构特特征，需要认真分析观察、分析、归纳，从图形所蕴含的数字信息总结出一般的数式规律，然后再应用规律做题。【2022·江苏盐城·中考母题】《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为___________．【考点分析】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律．【思路分析】先由直线与轴的夹角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形，，，，…，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果．【答案】2【详解】解：直线与轴的夹角是45°，，，…都是等腰直角三角形，，，，…点的坐标为，点的横坐标为1，当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，点的坐标为，，……以此类推，得，，，，……，，，的最小值为2．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（

）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【考点分析】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．【思路分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．【答案】B【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．【2021·江苏扬州·中考母题】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【考点分析】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．【思路分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【答案】1275【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，故答案为：1275．一、单选题1．（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256…，则2+22+23+24+25+…+22018的末位数字是（）A．8 B．6 C．4 D．0【答案】B【思路分析】通过观察发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据2018÷4＝504…2，得出22018的个位数字与22的个位数字相同是4，进而得出答案．【详解】解：∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，2018÷4＝504…2，∴22018的个位数字与22的个位数字相同是4，故2+22+23+24+25+…+22018的末位数字是2+4+8+6+…+2+4的尾数，则2+22+23+24+25+…+22018的末位数字是：2+4＝6．故选：B．2．（2022·江苏·扬州市梅岭中学一模）我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形点数”（如1，3，6，10…）和“正方形点数”（如1，4，9，16，…）．在小于300的点数中，设最大的“三角形点数”为m，最大的“正方形点数”为n，则m＋n的值为（

）A．589 B．565 C．556 D．532【答案】B【思路分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，据此可以得出最大的三角形数和正方形数，即可以求得m和n的值，从而可以计算出m+n的值．【详解】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，当n=23时，=276＜300，当n=24时，=300，所以最大的三角形数m=276；当n=17时，n2=289＜300，当n=18时，n2=324＞300，所以最大的正方形数n=289；则m+n=276+289=565，故选：B．3．（2022·江苏宿迁·二模）有一列数，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若，则为（

）A． B．2 C． D．2022【答案】C【思路分析】根据题意先计算前几个数，可推导出一般性规律：每3个数一个循环，进而可得结果．【详解】解：∵a1=2，∴a2=1-=；a3=1-=-1；a4=1-（）=2；…，∴可推导出一般性规律：每三个数一循环，∵2022÷3=674，∴a2022等于，值为-1．故选：C．4．（2022·江苏镇江·二模）喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首；②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．7天后，小颖背诵的诗词最多为（

）首．A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【思路分析】根据题意列不等式，即可得到结论．【详解】∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首；②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；即第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组aaa第2组bbb第3组ccc第4组ddd∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，a+b≤14①，b+c≤14②，a+c+d=14③，b+d≤14④，①+②+2×③+④≤70得，a+b+b+c+2（a+c+d）+b+d≤70，∴3（a+b+c+d）≤70，∴a+b+c+d≤，7天后背诵首，取整数解即23∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．5．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．【答案】A【思路分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：∵，∴原式=,故选：A．6．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【思路分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，∵D为斜边BC中点，∴AD=BC=5，由折叠可知：AD1=AD，AP1=AD，∴AP1=AD1，AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，∴AP2=AD2，可知：AP3=AD3，AD1=AD=，AD2=AD1=AD=，∴AD3=AD2==，∴AP3=AD3=，故选D．7．如图，将，，，分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，则、所在位置的两个数字之和是（

）A．或 B．或 C．或 D．或．【答案】B【思路分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2，据此分步分析，列等式求解即可得到结论．【详解】解：如图示：设外圈上的数为，内圈上的数为，根据题意可知，这8个数分别是、2、、4、、6、、8，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，，内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2，由，得，由，，得，由，，得，则：当时，，符合题意，此时；当时，，符合题意，此时，故选：B．8．设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．3【答案】D【思路分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得．【详解】解：在图①中，连接，，，，，，，，，，设，则，解得；在图②中，连接、、，则，，设，则，解得；在图③中，连、、、、，则，，设，则，解得，．由可知，，，，解得．故选：D9．如图1是一个水平桌面上摆放的棱长为1的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成的几何体，按照这样的规律继续叠放下去，至第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是（）A．117 B．118 C．119 D．120【答案】A【思路分析】每个小正方体的每个面的面积为1，所以只要得出几何体露在桌面外的面便可求得几何体露在桌面外的表面积，因此可分前后左右四个部分得出露在桌面外的面，从上面分横向与纵向两个方向露在桌面外的面，然后相加，利用求和公式计算即可得解．【详解】解：从正面看，露在桌面外的面有：1+3+5+…+（2n﹣1），所以，从前、后、左、右看，露在桌面外的面有，从上面看，露在桌面外的面有：，所以，第n个叠放的图形中，露在桌面外的面有：，露在桌面外的表面积是．∴第5个叠放图形中，几何体露在桌面外的表面积是，故选：A．10．两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039【答案】A【思路分析】主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出分别为1、3、5时的值，即可求出当时的值，再将其代入中即可求出．【详解】解：当时，、、…分别为6、2、…将、、…代入，得：、、…，故选：A．二、填空题11．（2022·江苏淮安·二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，且AC边在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；……，其中P1、P2、P3、……都在直线l上，按P3规律继续旋转，直至得到点P2022为止，则AP2022＝_____．【答案】【思路分析】将Rt△ABC每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①,可得到点，此时=2；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时=2+；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时=3+；由此可得：=3++2=5+；=5++=5+2；=5+2+1=6+2=2(3+)；故每旋转3次为一个循环，∵2022÷3=674，=674(3+)=2022+674故答案为：2022+674．12．（2022·江苏·苏州中学二模）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，S1+S2+S3+…Sn=______（用含n的代数式表示）．【答案】【思路分析】根据题意，先写出前面几个对折后的图形的面积，探究隐含规律，然后再求所得式子的值．【详解】解：由题意可得：S1=，S2==，S3=，⋯，Sn=，∴S1+S2+S3+⋯+Sn=++⋯+，令M=++⋯+，则2M=1+++⋯+，∴2M-M=1-，即M=1-．故答案为：1-．13．（2022·江苏徐州·模拟预测）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依此规律，拼搭第8个图案需___根小木棒．【答案】88【思路分析】根据前几个图形找出规律，第二个图比第一个图多2×3小木棍，然后整理，第三个图比第二个图多3×3-1根，整理，第四个图比第三个图多4×3-2,小木棍，第五个图比第四个图多5×3-3整理...得出规律，拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根，当n=8是求代数式值即可．【详解】解：拼搭第1个图案需4=1+3=1×（1+3）根小木棒，拼搭第2个图案需10=1×（1+3）+2×3=2×（2+3）根小木棒，拼搭第3个图案需18=2×（2+3）+3×3-1=3×（3+3）根小木棒，拼搭第4个图案需28=3×（3+3）+4×3-2=4×（4+3）根小木棒，拼搭第5个图案需40=4×（4+3）+5×3-3=5×（5+4）根小木棍，…拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根，当n=8时82+3×8=64+24=88．故答案为88．14．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，正方形的边长为4，它的两条对角线交于点，过点作边的垂线，垂足为，的面积为，过点作的垂线，垂足为，△的面积为，过点作的垂线，垂足为，△的面积为，△的面积为，那么__，则__．【答案】

【思路分析】由正方形的性质得出、、、、，，得出规律，再求出它们的和即可．【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，，，，，；故答案为：；．15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，用大小相等的小正方形按一定规律拼成一组图形，则第n个图形中小正方形的个数y与n的关系式为___________．【答案】y＝n2＋2n【思路分析】观察图形可知，第1个图形中小正方形的个数是，第2个图形中小正方形的个数是，第3个图形中小正方形的个数是，据此可得第n个图形中小正方形的个数是，据此即可解答问题．【详解】解：第1个图形中小正方形的个数是，第2个图形中小正方形的个数是，第3个图形中小正方形的个数是，第n个图形中小正方形的个数是，故答案为：．16．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第21行的数是_____．【答案】1830【思路分析】根据图形可得三角形各边上点的数字变化规律，进而得出第4行、第n行的数字．【详解】解：∵虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，∴利用图象即可得出：第四行是21＋7＋8＋9=45，第n行的数是，当n=21，，故答案为：1830．17．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5【思路分析】利用已知各项系数变化规律进而得出答案．【详解】解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．18．现有一列数m1，m2，m3，……，m2020，其中m1＝-3，m2＝-1，且mn+mn+1+mn+2＝1(n为正整数)，则m1+m2+m3+……+m2020=____________________．【答案】670【思路分析】先求出的值，再归纳类推出一般规律，从而求出的值，然后根据代入求值即可得．【详解】，当时，，即，解得，当时，，即，解得，归纳类推得：的值是以循环往复的，，的值与的值相等，即为，则，，，，，故答案为：670．19．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为_______．【答案】【思路分析】已知正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，可先证明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1B1C1A2的边长1=20，正方形A2B2C2A3的边长为21=2；同理可证明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形