22年高考数学技能：二级结论速解

专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式

一、结论

1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：

/q604nB=Zo4U8=8o/nC/8=0oC/U6=/（其中/为全集）

（1）当N=8时，显然成立

2、子集个数问题：若一个集合/含有〃（〃eND个元素，则集合/的子集有2”个，非

空子集有2"-1个.

真子集有?个，非空真子集有2“一2个

理解：〃的子集有2"个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则〃个

元素共有2"种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.

二、典型例题（高考真题+高考模拟）

1.（2022•湖北•高考（文））已知|集合/=1|/一3苫+2=0/€尺},8={刈0<》<5/€%},

则满足条件/uCa8的集合c的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】求解一元二次方程，得

4={x|x?-3x+2=0,xeR}={x|（x-l）（x-2）=0,xeR}

={1,2},易知8={X|0<X<5,XCN}={1,2,3,4}.

因为/=所以根据子集的定义，

集合C必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原题即求集合{3,4}的子集个数，即有2?=4个，故选D.

【反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，由于集合

元素个数少，也可采用列举法，列出集合C的所有可能情况，再数个数即可.

2.（2021.全国.模拟预测）已知集合4={x|2<x<4},5={x||2x-2a-l|<l）,若4nB=B,

则实数。的取值范围是（）

A.（1,3）B.（2,3）C.[1,3]D.[2,3]

【答案】B

【解析】解不等式|2x-2a-l区1,得aWxWa+1,所以8={x|a4x4a+1}.

由4n8=8,得5g/,画出数轴:

24

...,彳，解得2<"3•

[a+l<4

故选：B

【反思】在利用数轴求5=4包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类

题目时可以遵循两步法原则：

①先确定大方向：由8=4,结合数轴

\a>2

可以得到：,,注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定。与2的

大小，。+1与4的大小；

②再确定个别点：经过上述步骤再确定卜'>；，不等式组中等号是否可以取到等号；假设

[a+l<4

0=2；则由数轴可以观察出几何力={x|2<x<4}中左端是开区间；而集合

8={*4x4。+1}左端是闭区间，结合数轴假设。=2不成立；同理假设。+1=4,也不

成立；故本题最后得到的关系式为卜

三、针对训练举一反三

1.（2013・福建•高考真题（文））若集合上{1,2,3}，5=（1,3,4）,则/仆8的子集个数为

A.2B.3C.4D.16

2.（2011•安徽•高考真题（理））设集合/={1,2,3,4,5,6},8={4,5,6,7},则满足吃4且

的集合s的个数为

A.57B.56C.49D.8

3.（2022•安徽黄山•一模（文））已知集合5=卜卜=2"+1,〃€2},7={x||x|<3）,则5口7

的真子集的个数是（)

A.1B.2C.3D.4

4.（2022•全国•模拟预测）已知/={-2,-1,0,1,3,4},8=*|2一＞[},则4ng蹲）的子集的

个数为（）

A.3B.4C.15D.16

5.（2022•重庆实验外国语学校一模）已知集合/=卜€%三6"卜则集合A的所有非

空子集的个数为（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

6.（2021•全国•模拟预测）已知集合忖=卜卜212-1）=。},N={〃?,病},若A/UN=M,

则w=（）

A.-1B.-1或0C.±1D.0或±1

7.（2021•江西•新余市第一中学模拟预测（理））已知集合4卜2+3X-4=。},集合

B={X|A-2+（«+1）A-«-2=0},且/U8=N,则实数a的取值集合为（）

A.{-3,2}B.{-3,0,2}

C.{斗士-3}D.{布＜-3或0=2}

8.（2021•全国全国•模拟预测）已知集合。=N2x2-7xW0,xeN},且P=Q,则满足条

件的集合尸的个数是（）

A.8B.9C.15D.16

9.（2021•辽宁实验中学二模）已知非空集合A、B、C满足：AHB^C,AC]C^B.则

（）.

A.B=CB.Ac（BuC）

C.（BnC）cAD.AcB=AcC

10.（2021・湖南・雅礼中学高一期中）定义/@8=卜2=孙+：4《4,八"，设集合/={0,2},

8={1,2},C={]},则集合（4③8）＜8＞C的所有子集中的所有元素之和为.

11.（2022・全国•高三专题练习）集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集，当xe/时，若

有X-I任/且》+1任/,则称X为A的一个"孤立元素”，那么S的4元子集中无"孤立元素"的

子集个数是.

12.（2022・天津西青・高三期末）若集合/={0,1,2,3},8=1卜=--1r€/},则集合B的

所有子集的个数是.

13.（2021•江西•模拟预测）设全集U=R,集合/={x|2x?-9x+440},B={x\2-a<x<a].

（1）当a=2时，求C/NuB）；

⑵若/n8=N,求实数。的取值范围.

14.（2021•江西•模拟预测）设全集U=R,集合4={x|2a4x4a+l},8=卜［<4'<64

⑴当a=_l时，求

（2）若4nB=4,求实数。的取值范围.

15.（2021•陕西•高新一中高一期中）已知集合/={Rf+2》-3<0},8={;0<-1或

>3},C={x|-2<x<w+1},其中机>-3.

⑴求

（2）若（/U8）nc=c,求实数，"的取值范围.

16.（2021•安徽•芜湖一中高一阶段练习）已知集合/=%|-2VxV5},B={x[m+lVxV2m-l}.

⑴当/={xeZ|-24x45}时，求A的非空真子集的个数；

（2）若=求实数机的取值范围；

（3）若4（18=0,求实数机的取值范围.

专题02交、并、补（且、或、非）之间的关系（德•摩根定律）

一、结论

交、并、补（且、或、非）之间的关系（德•摩根定律）

⑴集合形式cQn8）=（。/）u（C,B），c,（，u6）=cmn（C,B）

（2）命题形式:TPM）=1P）v（f）'Tpvq）=（F?）A（［q）

二、典型例题

1.（2017・四川•三模（理））已知全集U,集合Af,N满足M=N=U,则下列结论正确

的是（）

A.M\JN=UB.（瘠必）（"|（胆）=0

C.A/n&N）=0D.（板）U（°N）=U

【解析】

全集U,集合"，N满足M=N=U,

绘制Venn图，如下：

对于A：M2N=N,A错误；

对于B：（极）n（uN）=藜（MUN）=於，B错误；

对于C：Mc&%=0,C正确；

对于D：（您M）U（心）=覆/「"）=u/；D错误；

故选：C

【反思】本题主要借助ve〃〃图，对于B,D选项，充分利用德摩根律

C,nB）=（C,A）u（C,B）,C,（JuB）=（C,A）f］（C,5）,再结合ve〃〃图,可以快速，准

确判断正误.

2.（2011•广东汕头•一模（理））设工、$2、$3是全集。的三个非空子集，且HUS2US3=。，

则下面论断正确的是

A.v3n（s2U53）=0B.$=（锻2nos3）

C.y网0心2口心3=0D.5|£（^2U0邑）

【解析】

根据公式赖4c刃=（°/）5a），赖4。5）=（»）外4）,即可推出正确的结论.

•・,S\2S29s3=U,

tc2c=J5,u52kJS3）=uUR-

故选：C.

【反思】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练运用公式形（ZC8）=（G/）U（/）,

旗/口8）=（"）门（心）是解题的关键。

三、针对训练举一反三

1.（2021♦上海市进才中学高一期中）已知U为全集，集合A、B非空，且4uB,则下

列式子中一定是空集的为（）

A.（L（）C8B.4仪务8）

C.（枷）c（〃）D.（凝）U（4）

2.（2021•全国•高一课时练习）己知U为全集，则下列说法错误的是（）

A.若4口8=0,则（板）U（u8）=UB.若408=0,则/=0或8=0

C.若力U8=U，则（解）A（u8）=0D.若ZU8=0,则/=8=0

3.（2021•全国•高一单元测试）已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有

18个元素，/I8*0.设集合（瘠/）n（〃）中有x个元素，则x的取值范围是（）

A.1x|3<x<8,xeN|B.{X\2<x<8,x€N|

C.{x|8<x<12,xeN}D.1.r|10<x<15,xeN|

4.（2020•浙江•）已知全集。中有“个元素，（即）U（4）中有"个元素，若NA8

非空，则/CIB的元素个数为（）.

A.mB.nC.阳+〃D.加一〃

5.（2021•全国•高一单元测试）己知全集U=R,则（瘤M）U（（jN）=（）

A.Aj（MriN）B.M[}NC.MUND.R

6.（2017•上海市育才中学）集合z中有10个元素，8中有6个元素，全集0有18个元

素，设集合CM/U8）有x个元素，则》的所有取值组成的集合为.

7.（2019•河南•高一阶段练习）已知函数/（x）=JT二7的定义域为小函数

g（x）=ln（l-x）+ln（x+l）的定义域为8,设全集U=R,则（取）U（㈤=

8.（2021•宁夏•吴忠中学高一期中）下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是

（1）若Nn8=0,贝lJ（Cu/）U（QB）=U；（2）若/（18=0,则/=0或8=0;

⑶若ZU8=U,贝iJ（G/）n（C°8）=0;⑷若41）8=0,则1=5=0.

9.（2021•天津市滨海新区大港实验中学高一阶段练习）全集U=R,已知集合

/={x|(x-3)(x+2)>0},S={x|-3<2x-3<5},C={x\a+2<x<2a+\].

⑴求zriB/UB,(颍4)r3B)；

(2)若81C=C,求。的范围.

10.(2020•江苏省板浦高级中学高一阶段练习)设全集U=[0,8],集合

力=卜|24x45},8={却4xV6},

(1)求8nq力).

(2)求(Q/)U(Q8)

专题03奇函数的最值性质

一、结论

①已知函数/(x)是定义在区间。上的奇函数，则对任意的xe。，都有

/(x)+/(-x)=0.

②特别地，若奇函数/(X)在。上有最值,则/(X)1mx+/(X)min=0；

③若OeOOeZ),则有/(0)=0.(若/(x)是奇函数，且0eZ)n/(0)=0,特别提醒

反之不成立)

二、典型例题

1.(2012・全国•高考真题(文))设函数/(x)=(工+1：；in「的最大值为M,最小值为〃?，

则m+M=.

【解析】/(x)=^X+1f+Sinx=1+2xtSinX*令g(x)=2x；si：,则g(x)为奇函数，

所以g(x)的最大值和最小值和为0,又g(x)=/(x)-l.

有M-l+m-l=0,即m+〃=2.

答案为：2.

【反思】本题中/(x)不是奇函数，无法直接使用结论，但是通过构造g(x)=〃x)-1,使得

g(x)是奇函数，从而有800,皿+g(x)mm=0=>〃-1+加一1=0=>〃+加=2

2.(2022•江苏盐城•一模)若/(X)=(X+3)5+(X+/M)5是奇函数，贝|〃?=.

【解析】因为"x)=(x+3)5+(x+〃?)5是奇函数，并且/(X)定义域为R

所以有即3、+"/=0=>机=—3.

【反思】在本例中，由于/(x)是奇函数，并且0属于定义域，所以可以直接利用奇函数性

质/(0)=0求解

三、针对训练举一反三

1.(2022•河南•高三阶段练习(文))己知/(x)为奇函数，当xNO时，/(x)=f-4'+凡

则当x<0时，/(x)=()

A.X2-4-'+1B.-X2-4-X-1

2X2

C.-X+4--］D.-X+4^+1

2.(2022•湖北•十堰市教育科学研究院高三期末)已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，

且当x20时，/(x)=x2+ax+a+l,则/(-2)=()

A.-2B.2C.-6D.6

3.(2022•四川遂宁•高一期末)若函数〃x)=ax3+6(e，-eT)+3在(-8,0)上有最小值一6,

(a,b为常数)，则函数“X)在(0,+8)上()

A.有最大值5B.有最小值5

C.有最大值9D.有最大值12

4.(2017•山西•(理))若对VxjeR,有/(x+y)=/(x)+/(y)-3,则函数

8口)=合+〃力在卜2017,2017］上的最大值与最小值的和为

A.4B.6C.9D.12

5.(2021•甘肃省民乐县第一中学(文))设函数/(x)=o?+6sinx+cln(x+J71T)+3的

最大值为5,则/(x)的最小值为()

A.-5B.1C.2D.3

6.(2022•湖北•高一期末)已知函数/。)=3/+/+5》+2,若/(a)+/(2a-l)>4,则实

数。的取值范围是()

A.(:，+00)B.18,；)C.(-<»,3)D.(3,+oo)

7.(2021•江西•模拟预测)已知函数人》)=二超在「2021,2021］上的最大值与最小值分别

3“+1

为M,m,则A/+m.

8.（2。22・全国•高三专题练习）定义在R上的奇函数g（x）,设函数/口）=史笠警的最

大值为〃，最小值为“，则"+机

I

9.（2022・全国•高三专题练习）设函数/（》）="亡区的最大值为〃，最小值为机，则

X2+1

M+m=_.

10.（2021•江西•贵溪市实验中学高二阶段练习）己知定义域为我的函数/（x）=年詈是

奇函数，则实数。的值_____.

11.（2021•山东省莱西市第一中学高一阶段练习）设函数/（司=（-♦2）2cos3x的最

大值为最小值为加.则A/+m=.

&N+2IIQ

12.（2021•陕西•高新一中高一期中）已知函数=~三v三的最大值为〃，最小值为

3固+1

m,求A/+机的值.

专题04指数函数与对数函数互为反函数

一、结论

若函数y=/（x）是定义在非空数集。上的单调函数，则存在反函数y=/T（x）.特别地,

y=优与

y=logax（a>0且a片1）互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y=x对称，即（XoJ（X。））与

（/（x。）,/）分别在函数_y=/（x）与反函数了=/T（X）的图象上.

若方程》+/（幻=后的根为否，方程x+/T（x）=k的根为々，那么西+々=人

二、典型例题

L若实数。满足e'+x—2=0,实数6满足lnx+x—2=0,则a+b=

解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y=x对称，可知x=a是函数

y=e*和y=-x+2交点的横坐标，同理x=b是函数y=lnx与夕=-x+2交点的横坐标,

且y=—x+2与y=x垂直，作出图像如下

(nx=l,所以x=a,x=b关于x=l对称，所以a+b=2

[y——x+2

【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数，然后再重复

利用结论：若方程X+/(X)=k的根为不方程X+(X)=k的根为％，那么%+々=左.

可快速解题.

2.设点尸为曲线G上的动点，。为曲线。2上的动点，则称1尸。1的最小值为曲线£，G之

间的距离，记为：火。1,。2).若G：e、-2y=0,C2:lnx+ln2=y,则

d(GC)=d(G，G)=

解析：_y=q■和y=ln2x互为反函数，关于y=x对称，设与y=x平行的直线4，4分

别与y=^,y=\n2x相切于点/,N,则d(CvC2)^MN\,由y=^得

ex1

/=—=l=>x=ln2,即M(ln2,l),由y=山2[得了=±=l=x=1,即N(l,ln2),

2x

所以d(C],C2)=|MN|=J(1—ln2产+(127)2=2)

【反思】反函数问题的重点就是图象关于〉=x对称，这也是解题的关键，在利用反函数解

题时，注意配图，在图象中寻找解题突破口，数形结合.

三、针对训练举一反三

L已知百是方程x+2"=4的根，%是方程*+log2》=4的根，则$+%=

2.已知芭是方程x+lgx=3的一个根，々方程x+10'=3的一个根，则%+々=

3.已知函数/'(》)=丘，g(x)=(3：若/(x),g(x)图象上分别存在点",N

ee

关于直线V=x对称，则实数左的取值范围为()

1232

A.[一一9e]B.[——,2e]C.[一一,3句D.(——,2e)

eeee

4.若西是方程xeP的解，/是方程xlnx二的解，贝!JMW=()

234

A.eB.eC.eD.e

5.已知实数满足a=107-。，lg/>=104-'sA-3,则必=.

6.已知实数。应满足20+p=5,10g2jR+q=l，则p+2q=()

A.1B.2C.3D.4

3专题05函数周期性问题

一、结论

已知定义在及上的函数/(X)，若对任意xeR,总存在非零常数T,使得

f(x+T)=f(x),则称/(x)是周期函数，T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些

常见的与周期函数有关的结论如下：

⑴如果f(x+a)=-T(x)(“#0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a

⑵如果/(x+。)=工(aH0),那么/(%)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

/(x)

⑶如果/(》+。)=一工(。工0),那么/。)是周期函数,其中的一个周期7=2。.

/(x)

(4)如果f(x+a)+/(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

⑸如果/(x+a)=/(x+b)(。工0力工0),那么f(x)是周期函数，其中的一个周期

T=\a-b\.

(6)如果/(x)=/(x+a)+/(x—。)(awO),那么/(x)是周期函数，其中的一个周期

T=6a.

二、典型例题

1.(2021•全国•高考真题)已知函数〃x)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为

奇函数，则()

A./［一£|=°B./(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

【答案】B

【解析】

因为函数/(x+2)为偶函数，则/(2+x)=/(2-x),可得/(x+3)=/(l-x),

因为函数/(2x+l)为奇函数，则〃>2x)f(2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即/(x)=/(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为函数F(x)=〃2x+1)为奇函数，则F(O)=〃1)=O,

故/(T)=-/(1)=O,其它三个选项未知.

故选：B.

解法二：因为函数/(x+2)为偶函数，所以其图象关于x=0对称，则函数/(x)的图象关

于直线x=2对称；所以/(—x)=/(x+4)-(1)；

又函数/(2x+l)为奇函数，所以其关于(0,0)对称；

横坐标向右平移!个单位.1、横4“三桃生出底景c.

f(2x+1)-----------2------>/(2(x--)+l)^f(2x)—戊生标伸长为原来2倍>/(x)

通过图象平移伸缩变换，可以得到/(2x)关于(；,0)对称，进而/(x)关于(1,0)对称；

可得：/(—x)=—/(x+2)…(2)；综合(D(2)可得

/(x+4)=-r(x+2)n/(x+2)=-/(x)；利用结论/(x+a)=-/(幻的周期为T=2a,

故本题中/(x)的周期为7=4

利用/(-x)=-/(x+2)…⑵可得

/(-1)=-/(3)=-/(3-4)=-/(-1)=>2/(-1)=01)=0

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直

接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.

对称性问题：

f(a+x)=f(a-x)

①轴对称问题：/(x)关于x=a对称，可得到如下结论中任意一个：，f(x)=f(2a-x)；

—(2a+x)

f(a+x)=-f(a-x)

②点对称问题：/(x)关于5,0)对称,可得到如下结论中任意一个：/(幻=-/(2。-%)；

f(-x)=~f(2a+x)

2.(2021•全国•高考真题(理))设函数/(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，〃x+2)

为偶函数，当xe[l,2]时,f(x)=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,则/图=()

【答案】D

【解析】

令x=l,由①得：/(O)=—/(2)=-(4。+6),由②得：/(3)=/(1)=«+6,

因为〃0)+/(3)=6,所以-(4“+/>)+a+b=6na=-2,

令x=0,由①得：/⑴=_/(l)n/Q=0nb=2,所以〃力=-2/+2.

因为/(x+1)是奇函数，所以/(x+1)图象关于(0,0)对称，

+/(X)所以/(X)关于(1,0)对称，得：

/(T)=—/(2+X)…⑴

因为/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)图象关于》=0对称；

/(X+2)横怖向右平移2个单位>/1),所以/(x)关于X=2对称，得：

/(—x)=/(4+x)…(2)：综合(1)(2)得到：

f(x+4)=—/(x+2)=/(x+2)=-f(x)得到7=4

所以/(2=/(；)，再利用/(T)=—/(2+X)…⑴令x=-g代入：/(^)=-/(|)=|

故选：D.

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直

接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.

三、针对训练举一反三

1.(2008・湖北•高考真题(文))已知/(x)在R上是奇函数，且/(x+4)=/(x),当xe(0,2)

时，f(x)=2x2,则/(7)=

A.-2B.2C.-98D.98

2.(2021♦全国•模拟预测(文))已知定义在R上的偶函数/(x),对VxeR,有

/(x+6)=/(x)+/(3)成立，当0VxV3时，/(x)=2x-6,则〃2021)=()

A.0B.-2C.-4D.2

3.(2021・江西,三模(理))已知函数/。)的图象关于原点对称，且满足/(»1)+/(37)=0,

且当xe(2,4)时，/(x)=-k)gjx-l)+m,若“2021)-1=〃_]),则加=()

22

4.(2021•四川•石室中学模拟预测(理))己知定义域为R的奇函数/(》)满足

/(x+4)-/(x)=/(2),当xe(0,2)时，/(x)=2xz-3x+l,则函数y=/(x)在［T,4］上零点的

个数为()

5.(2021•广西玉林•模拟预测(文))已知定义在R上的偶函数/(幻满足/(x+3)=/(3-x),

且当xe(0,3),/(x)=xe‘，则下面结论正确的是()

19

A./(In3)</</(e)B./(e)</(ln3)</

19

</(e)</(In3)D./(In3)</(e)</

6.(2021•黑龙江•佳木斯一中三模(理))已知》=/(x)为奇函数且对任意xeR,

/(x+2)=/(-%),若当xe[0,l]时，/(x)=k>g2(x+“)，则”2021)=()

7.(2021•浙江•瑞安中学模拟预测)己知函数/(x)是定义在R上的奇函数，满足

/(x+2)=/(-x),且当xe[0,l]时，/(x)=log2(x+l),则函数y=的零点个数是

8.(2021•陕西•模拟预测(文))已知定义在R上的奇函数f(x)满足/(x)=/(2-x).当

14x42时,/(x)=Iog2(x+7),则/(2021)=()

B.-3

9.(2021•全国•模拟预测)已知〃x)是定义在R上的偶函数，且VxeR,

/(4-x)+/(x)=0.若/⑴-/(3)=6,则/⑵)=.

10.(2021•陕西•二模(理))已知定义在R上的奇函数y=/(x)满足/(x+8)+/(x)=0,

且/(5)=5,贝I1/(2019)+/(2024)=.

专题06函数图象的对称性

一、结论

已知函数/(x)是定义在R上的函数.

⑴若f(x+a)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=-对称,特别地,

若f(a+x)=/(a-x)恒成立,则y=/(%)的图象关于直线x=a对称；

最常逆应用：若歹=/(x)关于x=。对称：可得到如下结论中任意一个:

〃a+x)=/("x)

</(x)=/(2"x)；

/(-x)=/(2a+x)

周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.

(2)若/(a+x)=—/。―x)+c,则y=/(x)的图象关于点(一,今对称.

特别地,若/(«+x)=-x)+2b恒成立,则y=/(x)的图象关于点(a,b)对称.

特别地，若八a+x)=-f{a-x)恒成立,则y=/(x)的图象关于点(a,0)对称.

最常逆应用：若y=/(x)关于x=a对称：可得到如下结论中任意一个：

f(a+x)=-f(a-x)

<〃x)=-/(2"x)

f(-x)=-f(2a+x)

二、典型例题

1.(2021•四川雅安•模拟预测(文))已知函数/(x)是定义域为R的奇函数，且/(x+1)是

偶函数.当0<xWl时，/(X)=X2-8X+15,则/⑺=()

A.-16B.-8C.8D.16

【答案】B

【解析】

由/(x+1)是偶函数可知"X)对称轴为x=l,故〃-x)=〃2+x)…(1),

又函数/(x)为奇函数，故/(-x)=-/(x)…(2),综合(1)(2)得:

/(x+2)=—/(x)可得到函数最小正周期为7=4,所以〃7)=/(-1)=-/(1)=-(1-8+15)=-8.

故选：B

【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考

查函数的性质，如本例中“X)对称轴为工=1，可以得到很多结论，比如：/(I-x)=/(I+x),

/(x)=/(2—x),/(-x)=/(2+x)等，那么在解题时如何取舍呢，选哪个结论能更快的

解题？对于这个疑问，需同时兼顾本例中/(x)是定义域为R的奇函数，可得到

/(-x)=-/W，纵观整体，可以看出对于/(x)对称轴为x=l得到的结论中选取

〃-x)=/(2+x)从而进行快速求出周期.

2.(2021•全国•模拟预测(文))已知定义在R上的奇函数“X)满足/(x+l)=-/(-l+x),

且在区间［1,2］上/(x)是增函数，令a=s吟/>=siny,c=s吟，则〃a),f(h),/(c)

的大小关系为.

【答案】/(«)>/(c)>/(/»)

【解析】

/(x)是定义在R上的奇函数，可得到：/(-x)=-/(x)①

“X+1)=-/(-I+x)=f(x+2)=-/'«(2)

联立①@得f(x+2)=/(-x)所以/(x)关于x=1对称.

由于〃力在［1,2］上递增,所以f(x)在［0,1］递减.

.5兀.(2兀、.2兀

c=sin—=sin兀---=sin—,

7I7J7

八sinx在(0,胃上递增，所以a<c<6,

所以f(a)>f(c)>f(6).

故答案为：/(a)>/(c)>/(6)

【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考

查函数的性质，本例中，用数学符号/(-x)=-/(x)表示出/(X)是定义在R上的奇函数，

通过化简〃工+1)=-/(-1+%)=/0+2)=_/(》)再联立，可得到：/(x+2)=/(—x)这样

就得到了：/(x)关于*=1对称.这也是周期性，奇偶性，对称性常考的形式.解题时注意利

用已知条件，尤其是对称性的逆应用.

三、针对训练举一反三

1.(2021•黑龙江♦哈尔滨市第六中学校二模(理))已知定义域为R的函数/(x)在［2,+8)

单调递减，且〃4-x)+/(x)=0,则使得不等式/(x2+x)+〃2x)<0成立的实数x的取值

范围是()

A.-4<x<1B.或x>3

C.%<-3或%>1D.或x>1

2.(2021•宁夏六盘山高级中学一模(理))已知函数/⑴是R上的满足/(1+工)=/(-1-x),

且/(X)的图象关于点(1,0)对称，当xe［0,1］时，/(%)=2-2\则

〃0)+/⑴+〃2)+…+”2021)的值为()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2021•全国•二模(理))已知/(X)是定义域为火的奇函数，/(1+工)=/。7),当0d

时，f(x)="-l,则24x43时，"X)的解析式为()

A.f(x)=l-ex-2B./(x)=^-2-l

C.f(x)=l-ex-'D.〃x)=e'T-l

4.(2021•山东滨州•一模)定义在R上的偶函数/(x)满足〃2+x)=/(2-x),当xe［-2,0］时,

f(x)=x+2,设函数Mx)=e+T(-2<x<6)(e为自然对数的底数),则〃x)与九⑺的图

象所有交点的横坐标之和为()

A.5B.6C.7D.8

5.(2021・河南•二模(文))已知定义域为R的函数/(X)在［2,物)单调递减，且

/(4-x)+/(x)=0,则使得不等式/卜2+"+/。+1)<0成立的实数x的取值范围是

()

A.-3<x<1B.x<-l或x>3C.x<-3或x>lD.x#-l

6.(2021•黑龙江肇州•模拟预测(文))已知/(x)是定义在R上的函数，且对任意xeR都

有/(x+2)=/(2—x)+4/(2),若函数y=/(x+l)的图象关于点(-1,0)对称，且/⑴=3,则

/(2021)=()

A.6B.3C.0D.-3

7.(2021・广西•模拟预测(文))已知/(x)是定义在R上的奇函数，满足/(l+x)=/(l-x),

/⑴=2,则〃2)+/(3)+〃4)=()

A.0B.-2C.2D.6

8.(2021•全国全国•模拟预测)请写出一个同时满足条件①②③的函数/卜)=.

①VxeR,/(l-x)=/(l+x);②函数/(x)的最小值为1；③函数/(x)不是二次函数.

9.(2021•江西•新余市第一中学模拟预测(文))已知定义在R上的奇函数/(x),满足

f(x+2)=-F(x),且当xw［0,1］时，="2+*+sinx,若方程f(x)=〃?(〃?>0)在区间［T,4］

上有四个不同的根玉,》2，毛户4,则玉+占+与+鼻的值为.

10.(2021・江西上饶•三模(理))己知函数/(X)定义域为/?,满足/(x)=/(2-x),且对任

意;1V占＜%,,则不等式〃2》-1)-/(3-》)20解集为

均有扃泉T。

专题07经典超越不等式

一、结论

(1)对数形式：x21+Inx(x〉0),当且仅当x=1时,等号成立.

⑵指数形式：ev>x+l(xeR),当且仅当x=0时,等号成立.

进一步可得到一组不等式链：，>x+l>x>l+lnx(x>0且XH1)

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：

X2x"eOx,

ex=l+x+—+-■-+—+——xn+,；

2!n\(〃+l)!

r2p+1,

ln(l+x)=x-----1-----,•+(—1)"------o(x"+l)；

23M+1

截取片段：

ex>x+l(xe7?)

ln(l+x)<x(x>-l),当且仅当x=0时，等号成立；

进而：lnx4x—l(x〉0)当且仅当x=l时，等号成立

二、典型例题

1.(2022•江苏苏州•高三期末)己知a>b+l>l则下列不等式一定成立的是()

A.a|>bB.<7H—>b-\—

ab

h

b+le,LL,

C.----<----D.a+\nb<b+\na

a-\Ina

【答案】C

【解析】

取a=10,6=8,贝"6〈6,故A选项错误；

取a=3,b=-,a+,=b+1,则B选项错误；

3ab

取a=3,b=l,贝ija+lnb=3,b+lna=1+ln3<1+ln»=3，即a+ln6>6+lna,

故D选项错误；

关于C选项，先证明一个不等式：eA>x+1>令y=e'-x-l,y=e'—1，

于是x>0时y'>0,y递增；x<0时y'<0,了递减；

所以x=0时，y有极小值，也是最小值e°-0-l=0,

于是y=e*-x-120,当且仅当x=0取得等号，

由e'2x+l,当x>-lH寸，同时取对数可得，x>ln(x+1),

再用x-1替换x,得到x-lNlnx,当且仅当x=l取得等号，

由于a>b+l>l,得到e〃>b+l，\翌〉1>里,即

Inaea-\上。

C选项正确.

故选：C.

【反思】对于指数形式：/2x+l(xeR),当且仅当x=0时,等号成立，该不等式是可以变

形使用的：

，Nx+l(xeR)—^^~>0-2一x+1,即々21—1—x

e'生一、一_L

.1-x

注意使用时X的取值范围；

同样的还可以如下处理：e'2x+l(xw&)两边同时取对数：X>ln(x+1)(x>-l),同样