2020中考数学真题二次函数（一）

2020年中考数学卷二次函数汇总(一)

选择题(共9小题)

1.已知y=ax，bx+c(aWO)的图象如图所示，对称轴为直线x=2.若x］，X2是一元二次方程ax，bx+c

=0(a#0)的两个根，且Xi〈X2,-1<X1<O,则下列说法正确的是()

2

A.Xi+x2<0B.4<X2<5C.b-4ac<0D.ab>0

2.如图，抛物线y=ax，bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,与y轴交于点B(0,-2),点A(-l,

m)在抛物线上，则下列结论中错误的是()

C.a=W%D.点B(t,y,),P2(t+1,y2)在抛物线上，当实数t>工时，y,<y2

33

3.函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中n>0.以

下结论正确的是()

①abc>0；

②函数y=ax?+bx+c(a=0)在x=l和x=-2处的函数值相等；

③函数y=kx+l的图象与y=ax°+bx+c(a#0)的函数图象总有两个不同交点；

④函数y=ax?+bx+c(aWO)在-3WxW3内既有最大值又有最小值.

A.①③B.①②③C.①④D.②③④

4.把二次函数y=ax，bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y=-a(x

-1)，+4a,若(m-1)a+b+cWO,则m的最大值是()

A.-4B.0C.2D.6

5.如图，已知二次函数y=ax-+bx+c的图象与x轴相交于A(-2,O)、B(1,0)两点.则以下结论:

①ac>0；②二次函数y=ax?+bx+c的图象的对称轴为x=-1；③2a+c=0；④a-b+c>0.其中正

确的有()个.

6.如图是二次函数y=ax，bx+c(aWO)图象的一部分，对称轴为x=工，且经过点(2,0).下列说

2

法：①abcVO；②-2b+c=0；③4a+2b+cV0；④若(-5,y,),(5,y2)是抛物线上的两点，则

22

yi<y2;@Ab>m(am+b)(其中其中说法正确的是()

42

A.①②④⑤B.①②④C.①④⑤D.③④⑤

7.如图，现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值，所找点P的个数，三人

的说法如下，

甲：若b=5,则点P的个数为0；乙：若b=4,则点P的个数为1；

丙：若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是()

A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对

8.已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），

点B、C、F共线，AABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合.设运动时间为t,运动过程

中两图形重叠部分的面积为S,则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）

9.如图，已知抛物线y=ax°+bx+c（a#0）的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C,

其中A、C两点的横坐标分别为-1和1,下列说法错误的是（）

A.abc<0B.4a+c=0C.16a+4b+c<0D.当x>2时，y随x的增大而减小

二.填空题（共4小题）

10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（4,2）.若抛物线y=-2（x

2

-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=」AB,则k的值为.

11.某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2

表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元.

图2

12.将双曲线y=2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线丫=

X

kx-2-k（k>0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a,另一个点的纵坐标为b,则（a-l）（b+2）

13.已知抛物线yi=-x?+4x（如图）和直线y?=2x+b.我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函

数值分别为yi和丫2.若yi#y?,取力和y?中较大者为M；若yi=y?,记乂=丫|=丫2.①当x=2时，

M的最大值为4；②当b=-3时，使M>y?的x的取值范围是-l〈x<3；③当b=-5时，使M=

3的x的值是为=1,X2=3；④当bel时，M随x的增大而增大.上述结论正确的是.（填

写所有正确结论的序号）

三.解答题（共27小题）

14.如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（NB=NE=30°）,若将三角板

ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点

B、F、C、E在同一条直线上，如图（2）,AB与DF、DE分别交于点P、M,AC与DE交于点Q,其中

AC=DF=«,设三角板ABC移动时间为x秒.

（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；

（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-Jix'bx+S与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,

22

0),过点A作垂直于x轴的直线1.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为巾，过点P作PQ_L1

于点Q,M是直线1上的一点，其纵坐标为-m+旦.以PQ,QM为边作矩形PQMN.

2

(1)求b的值.

(2)当点Q与点M重合时，求m的值.

(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值.

(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值

范围.

16.若二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x150),N(x2,0)(0<Xi<x2),且经过点

A(0,2).过点A的直线1与x轴交于点C,与该函数的图象交于点B(异于点A).满足4ACN是

等腰直角三角形，记aAMN的面积为Si,ZXBMN的面积为S2,且$2=至5.

2

(1)抛物线的开口方向(填“上”或"下”)；

(2)求直线1相应的函数表达式；

(3)求该二次函数的表达式.

片

-AT_*

17.在平面直角坐标系xOy中，等腰直角aABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A,B在x轴上,

且AB=4,抛物线经过A,B,C三点，如图1所示.

(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.

(2)过原点任作直线1交抛物线于M,N两点，如图2所示.

①求aCMN面积的最小值.

②已知Q(l,-3)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P,使得点P与点Q关于直线1对

2

称，若存在，求出点P的坐标及直线1的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.

图1图2

18.抛物线y=x?+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐

标为(0,-3).点P为抛物线y=x?+bx+c上的一个动点.过点P作PD_Lx轴于点D,交直线BC

于点E.

(1)求b、c的值；

(2)设点F在抛物线y=x?+bx+c的对称轴上，当4ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；

(3)在第一象限，是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存

在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由.

19.已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求且每小时可获得

利润60(-3t+l+l)元.

t

(1)某人将每小时获得的利润设为y元，发现t=l时，y=180,所以得出结论：每小时获得的

利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；

(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天(按8小时计算)可生产

该产品多少千克；

(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利

润.

20.如图(1),在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+4(aWO)与y轴交于点A,与x轴交于点C

(-2,0),且经过点B(8,4),连接AB,B0,作AMLOB于点M,将RtaOMA沿y轴翻折，点M

的对应点为点N.解答下列问题：

(1)抛物线的解析式为,顶点坐标为;

(2)判断点N是否在直线AC上，并说明理由；

(3)如图(2),将图(1)中Rt^OMA沿着0B平移后，得到RtaDEF.若DE边在线段0B上，点

F在抛物线上，连接AF,求四边形AMEF的面积.

图⑴图⑵

21.如图，两条抛物线弘=-x，4,y2=-Lx2+bx+c相交于A,B两点，点A在x轴负半轴上，且为

5

抛物线丫2的最高点.

(1)求抛物线y?的解析式和点B的坐标；

(2)点C是抛物线力上A,B之间的一点，过点C作x轴的垂线交加于点D,当线段CD取最大值

22.在平面直角坐标系中，函数y=x?-2ax-l(a为常数)的图象与y轴交于点A.

(1)求点A的坐标.

(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时

x的取值范围.

(3)当xWO时，若函数y=x2-2ax-l(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2,

求a的值.

(4)设a<0,RtAEFG三个顶点的坐标分别为E(-1,-1)、F(-1,a-1)、G(0,a-1).当

函数y=xz-2ax-1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴

的垂线，与此函数图象的另一个交点为P'(P'与P不重合)，过点A作y轴的垂线，与此函数图

象的另一个交点为A'.若AA'=2PP’,直接写出a的值.

23.平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax，bx+c(0VaV12)过点A(1,c-5a),B(x153),C

(x2,3).顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E,设AOBE的面积为Si,AOCE的面积为S2,

Si=Sz+旦.

2

(1)用含a的式子表示b；

(2)求点E的坐标：

(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为2+3,求y=ax?+bx+c在l<x<6时的取值

a

范围(用含a的式子表示).

24.如图，抛物线y=ax?-3ax-4a的图象经过点C(0,2),交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，

连接BC,直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,与BC上方的抛物线交于点E,与BC交于点F.

(1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标；

(2)里是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

DF

25.已知抛物线y=a(x-2)4c经过点A(-2,0)和点C(0,—),与x轴交于另一点B,顶点为

4

D.

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

(2)如图，点E,F分别在线段AB,BD±(点E不与点A,B重合)，且NDEF=NDAB,DE=EF,

直接写出线段BE的长.

26.如图，在直角坐标系中，四边形0ABC是平行四边形，经过A(-2,0),B,C三点的抛物线y=

ax2+bx+—(a<0)与x轴的另一个交点为D,其顶点为M,对称轴与x轴交于点E.

3

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)已知R是抛物线上的点，使得4ADR的面积是00ABC的面积的3,求点R的坐标；

4

(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得NPQE=45°,求点

备用图

27.如图，二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,

抛物线过点C(1,0),且顶点为D,连接AC、BC、BD、CD.

(1)填空：b=；

(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1,直线PC交直线BD于点Q.若NCQD=NACB,

求点P的坐标；

(3)点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F,点F关于直线BC对称的点为G,连接AG.当

点F在x轴上时，直接写出AG的长.

(备用图)

28.已知抛物线y=ax?-2ax+c过点A(-1,0)和C(0,3),与x轴交于另一点B,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

(2)如图1,E为线段BC上方的抛物线上一点，EF1BC,垂足为F,EMJ_x轴，垂足为M,交BC

于点G.当BG=CF时，求△EFG的面积；

(3)如图2,AC与BD的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使N0PB=NAHB?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

29.已知二次函数y=x~+bx+c(aWO)的图象与x轴的交于A、B(l,0)两点，与y轴交于点C(0,

-3),

(1)求二次函数的表达式及A点坐标；

(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标;

(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以M、N、B、0为顶点

的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标(不写求解过程).

30.抛物线ynx'+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧.

①如图1,过点P作PD_Lx轴于点D,作PEJ_y轴于点E,当PD=2PE时，求PE的长；

②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得NACP=NOCB?若存在，请求出所有点P的坐标：若不

存在，请说明理由.

图1图2备用图

31.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0),B(0,6),

CD=5,抛物线y=ax?-至x+c(aWO)过B,C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的

4

速度沿D-A-B-C的方向运动到达C点后停止运动.动点N从点0以每秒4个单位长度的速度沿

0C方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达0点后，又立即返回，依此在线段

0C上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)当点M,N同时开始运动时，若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,0,N为顶点的三角

形相似，求t的值；

(4)过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q,将线段BA沿过点B的直线翻折，点A

的对称点为A',求A'Q+QN+DN的最小值.

32.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x，kx-2k的顶点为N.

(1)若此抛物线过点A(-3,1),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，若抛物线与y轴交于点B,连接AB,C为抛物线上一点，且位于线段AB

的上方，过C作CD垂直x轴于点D,CD交AB于点E,若CE=ED,求点C坐标；

(3)已知点M(2-2返，0),且无论k取何值，抛物线都经过定点H,当NMHN=60°时，求抛

3

备用图

33.如图1,在平面直角坐标系中，直线L：y=x+l与直线k：x=-2相交于点D,点A是直线k

上的动点，过点A作ABLL于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC.设点A的纵坐标为t,

△ABC的面积为s.

(1)当t=2时，请直接写出点B的坐标;

32m小，［《I或t>5,其图象如图2所示，结合图］、2

(2)s关于t的函数解析式为$=

a(t+1)(t_5),

的信息，求出a与b的值;

(3)在L上是否存在点A,使得aABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和aABC

的面积；若不存在，请说明理由.

图2

34.如图，已知抛物线：yi=-x?-2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)直接写出点A,B,C的坐标；

(2)将抛物线力经过向右与向下平移，使得到的抛物线也与x轴交于B,B'两点(B'在B的右侧),

顶点D的对应点为点D',若NBD'B'=90°,求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；

(3)在(2)的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线力或％上是否存在点P,使以B',C,Q,

P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说

明理由.

35.如图，抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P(m,n)是抛物线上的动点，当-3VmV0时，试确定m的值，使得APAC的面积最大；

(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D,满足DA2-DC?=6,若存在，请求出点D的坐标；若不

存在，请说明理由.

36.如图1,抛物线y=ax-+bx+3(aWO)与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.已

知直线y=kx+n过B,C两点.

(1)求抛物线和直线BC的表达式；

(2)点P是抛物线上的一个动点.

①如图1,若点P在第一象限内，连接PA,交直线BC于点D.设aPDC的面积为S”AADC的面积

为s”求出的最大值；

$2

②如图2,抛物线的对称轴1与x轴交于点E,过点E作EFLBC,垂足为F.点Q是对称轴1上的

一个动点，是否存在以点E,F,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P,Q的坐

标；若不存在，请说明理由.

（图1）（图2）(备用图)

37.如图1,抛物线y=-Lx,bx+c经过点C（6,0）,顶点为B,对称轴x=2与x轴相交于点A,D

4

（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP,以点M为中心，将逆时针旋转

90°,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y=-Lx'+bx+c只有一个交

4

点时，求点M的坐标.

（3）AMPC在（2）的旋转变换下，若PC=y（如图2）.

①求证:EA=ED.

②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长.

38.已知抛物线y=ax~+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y铀交于点C(0,3).顶

点为点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若过点C的直线交线段AB于点E,且S^ACE：S△侬=3：5,求直线CE的解析式；

(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时，

求点P的坐标；

(4)已知点H(0,至)，G(2,0),在抛物线对称轴上找一点F,使HF+AF的值最小.此时，在

8

抛物线上是否存在一点K,使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

39.如图，抛物线y=』x，bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.直线y

2

=—x-2经过B、C两点.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M.PN

1BC,垂足为N.设M（m,0）.

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）.请

直接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P,使APNC与AAOC相似.若存在，求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（第24题图）（备用图）

40.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-ax'+2ax+3a(a>0)的图象交x轴于点A、B,交y轴于

点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD〃x轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,

交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.

(1)点E的坐标为：；

(2)当△HEF是直角三角形时，求a的值；

(3)HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由.

(备用图)+

2020年中考数学卷二次函数汇总（一）

参考答案与试题解析

选择题（共9小题）

1.已知y=ax?+bx+c（aWO）的图象如图所示，对称轴为直线x=2.若x"X2是一元二次方程ax?+bx+c

=0（aWO）的两个根，且&VX2,-l<x,<0,则下列说法正确的是（）

2

A.x,+x2<0B.4<X2<5C.b-4ac<0D.ab>0

【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案.

【解答】解：..,xi,X2是一元二次方程ax'bx+cn。的两个根，

二.Xi、X2是抛物线与x轴交点的横坐标，

•抛物线的对称轴为x=2,

二土曰=2,即不+整=4>0,故选项A错误；

2

\'xi<x2,-1<XI<0,

2

解得：4<X2<5,故选项B正确；

..•抛物线与x轴有两个交点，

/.bJ-4ac>0,故选项C错误；

•..抛物线开口向下，

?.a<0,

•抛物线的对称轴为x=2,

-旦=2,

2a

/.b=-4a>0,

.,.ab<0,故选项D错误；

故选：B.

【点评】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x轴交点

的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

2.如图，抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,与y轴交于点B(0,-2),点A(-l,

m)在抛物线上，则下列结论中错误的是()

A.ab<0

B.一元二次方程ax、bx+c=O的正实数根在2和3之间

C.

3

D.点R(t,力)，P2(t+1,y2)在抛物线上，当实数t>工时，yi<y2

3

【分析】由抛物线开口方向得到a>0,利用抛物线的对称轴方程得到b=-2aV0,则可对A选项

进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，

则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B(0,-2),A(-1,m)和b=-2a代

入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断.

【解答】解：•••抛物线开口向上，

.\a>0,

•..抛物线的对称轴为直线x=-且=1,

2a

.,.b=-2a<0,

.,.ab<0,所以A选项的结论正确；

•.•抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的一个交点坐标在(0,0)与(-1,0)之间，

二抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，

二一元二次方程ax?+bx+c=O的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；

把B(0,-2),A(-1,m)代入抛物线得c=-2,a-b+c=m,

而b=-2a,

a+2a-2=m,

.•.a=》2,所以C选项的结论正确；

3

1,点Pi(t,y,),P2(t+1,y2)在抛物线上，

二当点Pi、B都在直线x=l的右侧时，y,<y2,此时tel；

当点Pi在直线x=l的左侧，点P2在直线x=l的右侧时，y,<y2,此时OVtVl且

即kt<l,

2

.•.当_L<tVl或时，yi<y2,所以D选项的结论错误.

2

故选:D.

【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x

轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根.也考查了二次函数的性质.

3,函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中n>0.以

下结论正确的是()

①abc>0；

②函数y=ax?+bx+c(a#0)在x=l和x=-2处的函数值相等；

③函数y=kx+l的图象与y=ax，bx+c(aWO)的函数图象总有两个不同交点；

④函数y=ax"+bx+c(aWO)在-3WxW3内既有最大值又有最小值.

A.①③B.①②③C.①④D.②③④

【分析】根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解.

【解答】解：依照题意，画出图形如下：

二•函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中n>0.

.,.a<0,c>0,对称轴为x=-±-=-1,

2a

/.b=2a<0,

/.abc>0,故①正确，

•对称轴为x=-1,

...x=l与x=-3的函数值是相等的，故②错误；

...顶点为(-1,n),

.•.抛物线解析式为；y=a(x+1)2+n=ax2+2ax+a+n,

联立方程组可得：',

,y=ax+2ax+a+n

可得ax'(2a-k)x+a+n-1=0,

(2a-k)'-4a(a+n-1)=k--4ak+4a-4an,

...无法判断△是否大于0,

,无法判断函数y=kx+l的图象与y=ax2+bx+c(aWO)的函数图象的交点个数，故③错误；

当-3WxW3时，

当x=-1时，y有最大值为n,当x=3时，y有最小值为16a+n,故④正确，

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，

二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题

的关键.

4.把二次函数y=ax?+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y=-a(x

-1)2+4a,若(m-1)a+b+cWO,则m的最大值是()

A.-4B.0C.2D.6

【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为(1,-4a),即可得出原二

次函数为y=a(x-1)°-4a=ax?-2ax-3a,和y=ax?+bx+c比较即可得出b=-2a,c=-3a,

代入(m-1)a+b+cWO,即可得到m<6.

【解答】解：.••把二次函数y=ax?+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析

式为y=-a(x-1)2+4a,

二原二次函数的顶点为(1,-4a),

原二次函数为y=a(x-1)2-4a=ax'_2ax-3a,

/.b=-2a,c=-3a,

■:(m-1)a+b+cWO,

(m-1)a-2a-3aW0,

Va>0,

/.m-1-2-3W0,即mW6,

.".m的最大值为6,

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，作关于x轴的对称的点的坐标特征，二次函数

的图象与几何变换，得到b=-2a,c=-3a是解题的关键.

5.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-2,0)、B(1,0)两点.则以下结论:

①ac>0；②二次函数y=ax'+bx+c的图象的对称轴为x=-1；③2a+c=0；④a-b+c>0.其中正

确的有()个.

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足

的关系综合判断即可.

【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故a<0,与y轴的交点在y的正半轴，故c>0,故ac

<0,因此①错误；

对于②:二次函数的图象与x轴相交于A(-2,0)、B(l,0),由对称性可知，其对称轴为：*二

22

因此②错误；

对于③：设二次函数y=ax、bx+c的交点式为y=a(x+2)(x-1)=ax2+ax-2a,比较一般式与交

点式的系数可知：b=a,c=-2a,故2a+c=0,因此③正确；

对于④：当x=-1时对应的y=a-b+c,观察图象可知x=-1时对应的函数图象的y值在x轴上

方，故a-b+c>0,因此④正确.

,只有③④是正确的.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的

图象性质是解决此类题的关键.

6.如图是二次函数y=ax，bx+c(aWO)图象的一部分，对称轴为x=」，且经过点(2,0).下列说

2

法：

①abcVO；②-2b+c=0；③4a+2b+cV0；④若(-5,yl,($,y2)是抛物线上的两点，则y,

22

<y.>；(5)Ab>m(am+b)(其中mW工).

-42

其中说法正确的是()

A.①②④⑤B.①②④C.①④⑤D.③④⑤

【分析】①根据抛物线开口向下，可得aVO,根据抛物线对称轴为x=-旦=工，可得b=-a>0,

2a2

根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c>0,进而可以判断；

②根据对称轴为x=l,且经过点（2,0）,可得抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,可得5=

2a

-1X2=-2,即c=-2a,进而可以判断；

③根据抛物线经过（2,0）,可得当x=2时，y=0,即4a+2b+c=0,进而可以判断；

④根据点（-5,y.）离对称轴要比点（§,yz）离对称轴远，可得力Vy2,进而可以判断；

22

⑤根据抛物线的对称轴乂=上,可得当x=2时,y有最大值，即工+上b+cAam'+bm+c（其中mW』）.根

22422

据2=-也即可进行判断.

【解答】解：①•••抛物线开口向下，

/.a<0,

••.抛物线对称轴为x=-旦=工，

2a2

/.b=-a>0,

:抛物线与y轴的交点在x轴上方，

?.c>0,

，abc<0,

所以①正确；

②,对称轴为x=工，且经过点（2,0）,

2

...抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,

.♦.£=-1X2=-2,

a

「・c=-2a,

1・-2b+c=2a-2a=0

-所以②正确；

③二.抛物线经过（2,0）,

当x=2时，y=0,

.二4a+2b+c=0,

所以③错误；

④•.•点（-5,力）离对称轴要比点（互，y?）离对称轴远,

22

•'•yi<y2»

所以④正确；

⑤•••抛物线的对称轴x=L,

2

.,.当x=工时，y有最大值，

2

/..la+Ab+c>am2+bm+c（其中mW」）.

422

Va=-b,

（am+b）（其中mWL）,

42

所以⑤正确.

所以其中说法正确的是①②④⑤.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关

键是掌握二次函数的图象和性质.

7.如图，现要在抛物线y=x（4-x）上找点P（a,b）,针对b的不同取值，所找点P的个数，三人

的说法如下，

甲：若b=5,则点P的个数为0；

乙：若b=4,则点P的个数为1；

丙：若b=3,则点P的个数为1.

下列判断正确的是（）

A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对

【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2,4）,由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行

判断，即可得出结论.

【解答】解：y=x（4-x）=-x2+4x=-（x-2）2+4,

...抛物线的顶点坐标为（2,4）,

...在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,

二甲、乙的说法正确；

若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个，

二丙的说法不正确；

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函

数图象上点的坐标特征是解题的关键.

8.已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），

点B、C、F共线，AABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合.设运动时间为t,运动过程

中两图形重叠部分的面积为S,则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）

【分析】分点A在D点的左侧、点A在DG上、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达

式即可求解.

【解答】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a,

当点A在D点的左侧时，

设AC交DE于点H,

贝”CE=t,HE=ETtanACB=tX73=V3t,

2

则S=SACEH=^XCEXHE=lxtxV3t=^lt,图象为开口向上的二次函数；

222

当点A在DG上时，

同理可得：5=返£-返(a-t)2=返(--+2at),图象为开口向下的二次函数；

222

点C在EF的中点右侧时，

Q\

EBFC

2

同理可得：S=SABFH=—XBFXHF=AX(t-a)X5/g(t-a)=返(t-a),图象为开口向上的

222

二次函数.

故选：A.

【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应

关系，进而求解.

9.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C,

其中A、C两点的横坐标分别为-1和1,下列说法错误的是()

A.abc<0

B.4a+c=0

C.16a+4b+c<0

D.当x>2时，y随x的增大而减小

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足

的关系综合进行判断即可.

【解答】解：抛物线开口向下，因此aVO,对称轴为x=l,即-旦=1,也就是2a+b=0,b>0,

2a

抛物线与y轴交于正半轴，于是c>0,

/.abc<0,因此选项A不符合题意；

由A(-1,0)、C(1,0)对称轴为x=l,可得抛物线与x轴的另一个交点B(3,0),

，a-b+c=O,9a+3b+c=0,3a+c=0,因此选项B符合题意；

当x=4时，y=16a+4b+c<0,因此选项C不符合题意；

当x>l时，y随x的增大而减小，因此选项D不符合题意；

故选:B.

【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的位置与系数a、b、c之间的关系是正确

解答的关键.

二.填空题（共4小题）

10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（4,2）.若抛物线y=-2（x

2

-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=2AB,则k的值为_Z_.

【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线，即可得到k

的值，本题得以解决.

【解答】解：•.•点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（4,2）,

，AB=4,

•抛物线y=-3（x-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=2AB=2,

22

二设点C的坐标为（c,2）,则点D的坐标为（c+2,2）,h=2si2_=c+l,

2

抛物线2=-3[c-（c+1）]2+k,

2

解得，k=z.

2

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，

利用二次函数的性质解答.

11.某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2

表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是1800元.

【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用分类讨论的方法，可以求得最大日销售利润，从而

可以解答本题.

【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kx,

30k=60,得k=2,

即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t,

当0VtW20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w=at,

20a=30,得a=1.5,

即当0VtW20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=l.5t,

当20VtW30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=30,

设日销售利润为W元，

当0<tW20时，W=l.5tX2t=3t2,

故当t=20时，W取得最大值，此时W=1200,

当20VtW30时，W=30X2t=60t,

故当t=30时，W取得最大值，此时W=1800,

综上所述，最大日销售利润为1800元，

故答案为：1800.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结

合的思想解答.

12.将双曲线y=2向右平移1个单位长度，再向下平移2