2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题-高品质

2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题

1.(2019•湖北黄石•10分)如图，已知抛物线y=L2+fcv+c经过点A(-1,0)、B(5,0).

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；

(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8,求四边形AMBC的面积；

(3)定点D(0,w)在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3

个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的

最小值d(用含机的代数式表示)

【分析】⑴函数的表达式为：(x+1)(x-5),即可求解;

'3

(2)S四边形(yc_yD)＞即可求解；

(3)抛物线的表达式为：y=Xr2,即可求解.

3

【解答】解：(1)函数的表达式为：y=L(x+1)(x-5)=1(?-4x-5)=lr2-

3333

5

3

点M坐标为(2,-3)；

(2)当x=8时，(x+1)(x-5)=9,即点C(8,9),

3

S四边形(yc-yo)——X6X(9+3)=36；

22

(3)y=L(x+1)(x-5)=工(x2-4x-5)(x-2)2-3.

333

抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,

则新抛物线表达式为：＞'=Xr2,

3

则定点D与动点P之间距离PD=1-x4+(l-yin)x2+m2.

♦.•L〉o，P。有最小值，当』=3%-2时，

92

PD最小值"=鼠|=噂百•

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难

度不大.

2.（2019•贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱

贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.己知某种土特产

每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价X（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的

关系如表：

X（元）152030・・・

y（袋）252010・・・

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每

袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价无（元）

的函数关系式即可

（2）利用每件利润X总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可.

【解答】解：

（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y

=kx+b得

（25=15k+b,解得fk-1

l20=20k+blb=40

故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y=-x+40

（2）依题意，设利润为w元，得卬=

（x-10）（-x+40）=-/+50X+4OO整

理得w=-（X-25尹+225

-1<0

...当x=2时，w取得最大值，最大值为225

故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利

润是225元.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润=一件的利润X

销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.

3（2019•山东省滨州市«14分）如图①，抛物线y=-Xr2+Xr+4与y轴交于点4与x

82

轴交于点B,C,将直线A8绕点A逆时针旋转90°,所得直线与x轴交于点D.

（1）求直线A。的函数解析式;

（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点

①当点P到直线A。的距离最大时，求点尸的坐标和最大距离;

【分析】（1）根据抛物线y=-L2+L+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,可以

82

求得点AB.C的坐标，再根据将直线A8绕点A逆时针旋转90°,所得直线与x轴交于

点。，可以求得点。的坐标.从而可以求得直线AO的函数解析式；

（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线

AO的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；

②根据①中关系式和题意，可以求得点尸对应的坐标，从而可以求得sin/PA。的值.

【解答】解（1）当x=0时，y=4,则点A的坐标为（0,4）,

当y=0时，0=-L;2+L+4,解得，用=-4,X2=8,则点8的坐标为（-4,0）,点C

82

的坐标为（8,0）,

：.OA=OB=4,

，NOBA=/OAB=45°,

•.•将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AO,

/.ZBAD=90°,

•,.0X0=45",

：.ZODA=45°,

：.OA=OD,

・••点。的坐标为（4,0）,

设直线的函数解析式为y=kx^b.

尸，得尸,

l4k+b=0lb=4

即直线AD的函数解析式为y=-x+4；

（2）作PNLx轴交直线AO于点N,如右图①所示，

设点P的坐标为"--/2+i/+4）,则点N的坐标为（/,-r+4）,

82

:.PN=（-U+L+4）_（_什4）=-工？+当，

8282

，PN_Lx轴，

，PN〃y轴，

：.4OAD=/PNH=45°,

作Pa_LAO于点H,则/PHN=90°,

亚p『返（-：+当）=国2在二一亚（-6）2+迎

22821614164

.•.当r=6时，尸，取得最大值2返，此时点P的坐标为（6,"），

42

即当点P到直线AO的距离最大时，点P的坐标是（6,反），最大距离是2返;

24

解得,力=2,/2=10,

则P的坐标为（2,1）,尸2的坐标为（10，--）

22

当尸I的坐标为（2,9）,则PA=)2+(1-4)

22

：.smZPiAD=5VS=

434

后

~2~

-素,则尸乂=,（10-0）2+（3一4）2=登

当P2的坐标为（10,

/.sinZP-)AD==V2；

25万

2

由上可得，sin/PAD的值是包画或返.

3410

【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答.

4.(2019,四川成都，12分)如图，抛物线丫=加+/»+。经过点八(-2,5),与x轴

相交于B(-1,0),C(3,0)两点，

(1)抛物线的函数表达式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将^BCD沿沿直线BD翻折得到

△BC'D,若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；

(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当ACPQ为等边

三角形时，求直线BP的函数表达式。

4a-2Z>+r=5{a=1

解：”）由题意坤.6+r=0,解得，力二一2

9a+36+r=0c=-3

故抛物线的函数表达式为］•二./一21-3：

«2):胞物线与x轴的交点为8(-1.0).C(3.0).

/.5C=4.怩物找的时你轴为直线x=1.

设抛物线,的对称轴与文于点〃.则//点的坐除为(1.0).BH=2.

由翻折得C'8=C3=4.

在RiABHC'中,由勾股定理.PtC'H==V4:-2'=243.

.•.点C，的坐标为(1.2>/3).lanNC'B，：一

BH

二60。

由耕析件ZDBH=；NC'34=30。.

在RtABHD中.D^=B/7tauZD5//=2tau3O0--

・••点。的坐林为

<3»取，2)中的点C'.D,HHCC.

1.BC'^BC.ZC'BC=60°.

/.SC'CB为等边三角射.

分臭讨论如下：

①当点尸在X轴上方时.点Qilx轴上方.

连接BQ,C'P.

•••AFC。.SC'CB为等边三角舫

；.CQ=CP、BC=C'C./LPCQ=ZC'CB=60°.

ZfiCg>=ZC'CP.

SBCQ^C'CP.

；.BQ=C'P.

•.•点0在用物”.的时称轴上.

/.BQ^CQ

:CP=CQ=CP.

BC'=BC.

：.BP

由翻折可加80垂克平分CC'

.•.点O在直线8P上.

G

Q=-k+b3

议克馍8P的晶敦表达式为v=kx+b.则26L.G

-----二k+bT

3

「・宜找3尸的画数表达式为

②当点尸在x轴下方时.点0在x轴下方.

・・・\QCP.AC'CB为等边三第戏.

：.CP=CQ,BC=CC，.NCCB二NQCP:NUCB=60。.

•・・ZBCP=NUCQ

・•・MCP9AC'CQ

：.4CBP二乙CC'Q

・；BC=CUCHtBC

・・NCU0二！CUB二30°

・•.ZCBP=30。

设3尸与.i,林柏文于点E.

aR\SBOE中,OE=O8tau/CBP=Q5tau30°=lx二=二

33

・・・点E的叟惊为O.一年，

造直线8P的函敢表达式为J・=KK+6'.

b

T

!

<立

-b&

-一

k3-T

:,近及8尸的品数表达式为r=--V-—

J3V3，3J：

综上所述,直找BP的函数表达式为r——x4------A.v---------x------

.33,33

5.（2019•湖南长沙・10分）已知抛物线y=-2?+（6-2）x+（c-2020）（b,c为常数）.

（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1）,求6,c的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数〃（〃?<〃），当wWxW”时，恰好一

2irrFly+2

c，求〃2,〃的值.

2n+l

【分析】(1)利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y=-2x+(b-2)x+(c-2020)

可知，y=-2(x-1)2+l,易得B.c的值；

(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(即，加)，(-刈，-%)，

代入函数解析式，经过化简得到。=2%和2020,易得c22020；

(3)由题意知，抛物线为y=-2?+4x-1=-2(x-1)2+1,则户1.利用不等式的性

质推知：-<y<--易得由二次函数图象的性质得到：当x=m时，y最大值

nin

222

=-2m+4m-1.当x=n时，y域小值=-2/+4〃-1.所以l=-2/z?+4m-1f—=-2n+4n

m'n

-1通过解方程求得m.n的值.

【解答】解(1)由题可知，抛物线解析式是：y=-2(x-1)2+1=-2r2+4x-1.

/fb-2=4

**lc-2020=-l

A/?=6,c=2019.

(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(沏，和)，(-刈，-州),

代入解析式可得：fy0=-2x02+(b-2)XQ+(c-2O2O)•

-yg=-2xg^-(b-2)XQ+(C-2020)

工两式相加可得:-W+2(c-2020)=0.

・・・c=2x2+2020,

o

・・・c22020；

(3)由(1)可知抛物线为y=-2X2+4X-1=-2(x-1)2+l.

•'.yWl.

\90<m<n,当ni^x^n时，恰好———W―-—M———,

2irrl-ly+22n+l

•••1/1

・••工工.

nin

•\—1,即“21.

ID

・・•抛物线的对称轴是x=l,且开口向下,

・•・当〃时，y随x的增大而减小.

/.当x=m时，y最大值=-2trT+4m-1.当x=n时，y最小值=-2n2+4n-1.

又工

nm

fi9

—=-2n+4nT①

n

.L=-2m2+4mT②

•*IID・

将①整理，得2〃3-4/?+”+l=0,

变形，得2J(n-1)-(2/1+1)(«-1)=0.

，(n-1)(2n2-2n-1)=0.

：.2n-2n-1=0.

解得川=上区(舍去)，〃2=上巫.

22

同理，由②律孤(w-1)(2nr-2m-1)=0.

"/1

：.2m-2m-1=0.

解得〃“=1，加2=士亚■(舍去)，〃[3=(舍去).综上所述，，"=1,〃=1+近.

222

【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标

特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元

二次方程的解法.该题计算量比较大，需要细心解答.难度较大.

6.(2019•湖南怀化・14分)如图，在直角坐标系中有RtZXAOB,。为坐标原点，08=1,tan

NAB0=3,将此三角形绕原点。顺时针旋转90°,得到RtZXCOC,二次函数y=-7+以+c

的图象刚好经过A,B,C三点.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

(2)过定点。的直线/：y=fcr-A+3与二次函数图象相交于M,N两点.

①若S&PMN=2,求上的值；

②证明：无论我为何值，恒为直角三角形；

③当直线/绕着定点。旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛

物线的表达式.

【分析】(1)求出点ABC的坐标分别为(0,3)、(-1,0)、(3,0),即可求解;

XXI

（2）@S^PMN=—PQX（2-）,则X2-X\=4,即可求解；②＞心*」,一7?

2x2-lXj-1

y1y2-4（y1+y2）+16

1,即可求解；③取MN的中点H,则点H是/\PMN外接

-

X[X24（XJX2）+1

圆圆心，即可求解.

【解答】解(1)OB=l,tanZABO=3,则。4=3,OC=3,

即点A.B.C的坐标分别为(0,3)、(-1,0)、(3,0),

则二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)=a(x2-2x-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故函数表达式为：y=-x+2x+3,

点尸(1,4)；

(2)将二次函数与直线/的表达式联立并整理得：

x-(2-k)x-k=0,

设点M、N的坐标为（xi，yi）、（12，”），

则Xl+X2=2-hX\X2=~k,

则：y\^yi=k（xi+%2）-2k+6=6-产，

同理：yij2=9-4产，

®y=kx-k+3,当x=l时，y=3,即点。（1,3）,

S"MN=2=丫QX（X2-xi）,贝（JX2-xi=4,

仅2-%11={（x]+x2）2-4x]

解得：仁士2«；

②点M、N的坐标为（xi,yi）、（九2,”）、点P（L4）,

则直线PM表达式中的心值为：y1Y,直线PN表达式中的依值为：y2-4,

乂2-1

y4

力,t_2_yi-4_y1y2-4(y1+y2)+i6_

为：k\K2-----------------------2----r-----1,

-_

x2lXj-1XjX24(XJX2)+1

散PMLPN,

即：△PMN恒为直角三角形；

③取MN的中点H,则点”是外接圆圆心,

设点〃坐标为(x,y),

则尸卫至=1」，

22

(yi+j2)——(6-铲)，

22

整理得：-Zr2+4x+l,

即：该抛物线的表达式为：y=-27+4x+l.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达

定理处理复杂数据，是本题解题的关键.

7.(2019•甘肃武威•12分)如图，抛物线y=o?+法+4交工轴于A(-3,0),B(4,0)两

点，与y轴交于点C,连接AC,BC.点、P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的

横坐标为m.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点P作轴，垂足为点M,交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，

是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此

时点。的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点P作PNLBC,垂足为点M请用含机的代数式表示线段*V的长，并求出当

，"为何值时PN有最大值，最大值是多少？

【分析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解;

(2)分AC=AQ、AC=CQ,CQ=AQ三种情况，分别求解即可；

(3)由PN=PQsinNPQN=®(-Lttf+Lm+^+tn-4)即可求解.

233

【解答】解(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12),

即：-12a=4,解得：a—--,

3

则抛物线的表达式为)，=-Xx2+lr+4；

33

(2)存在，理由：

点AB.C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),

则AC=5,AB=1,BC=4®,/OBA=45°,

将点8C的坐标代入一次函数表达式：)=丘+6并解得：y=-x+4…①，

同理可得直线AC的表达式为：丫=幺+4,

3

设直线AC的中点为M(一旦，4),过点M与C4垂直直线的表达式中的出值为-W,

24

同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=-旦"工…②，

48

①当AC=A。时，如图1,

则AC=AQ=5,

设：QM=MB=〃,则AM=1-n,

由勾股定理得：(7-〃)2+/=25,解得：〃=3或4(舍去4),

故点Q(1,3)；

②当AC=C。时，如图1,

CQ=5,则BQ=BC-CQ=4&-5,

则QM=MB=空^

故点。(且2,空述)；

22

③当CQ=AQ时，

联立①②并解得：X=争(舍去)；

故点。的坐标为：Q(1，3)或(殳巨，互述)；

22

(3)设点尸(，"，-Lffl2+L〃+4),则点Q(〃?，-m+4),

33

VOB=OC,.,.NA8C=NOC8=45°-ZPQN,

PN=PQs'nNPQN=（-L7p+L%+4+〃？-4）=-2m,

23366

•••一返<0,，PN有最大值，

6

当机=工一时，PN的最大值为：啰返.

224

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要

会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长

度，从而求出线段之间的关系.

8.（2019•湖北十堰TO分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元

/kg.设第x天的销售价格为y（元/版），销售量为m（kg）.该超市根据以往的销售经验

得出以下的销售规律：①当lWx<30时，>'=40；当31Wx<50时，y与x满足一次函数

关系，且当x=36时，y=37；x=44时，yF^-^^您的x的关系为，〃=5x+50.

（1）当31Wx<50时，y与x的关系式为一_；

（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在

当天销售价格的基础上涨a元/依，求a的最小值.

【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题.

0依据题意利用待定系数法，易得出当31WxW50时，y与x的关系式为：产工+55,

2

0根据销售利润=销售量X（售价-进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x

（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润.

0要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴=一生

2a

235,求得〃即可

【解答】解：

（1）依题意，当x=36时，y=37；x=44时，y=33,

当31WxW50时，设y^kx+b,

则有（37=36k+b,解得（上

l33=44k+b

K-2

上=55

与x的关系式为：y=-Xx+55

2

(2)依题意,

r(40-18)-(51+50),(l<x<30)

"W=，(^-x+55)(5x+50),(31<x<50)

^llOx+UOO,(l<x<30)

整理得，w=、

592

-yX+160x+1850,(31<x<50)

：W=(y-18)•加

当KW30时,

随x增大而增大

，x=30时，取最大值W=30X110+1100=4400

当31Wx近50时,

W=V+i6Qx+1850=-i-(x-32)2+4410

■:工(。

・••犬=32时，W取得最大值，此时W=4410

综上所述，x为32时，当天的销售利润W(元)最大，最大利润为4410元

(3)依题意，

W=(y+a-18)•〃产号x+(160+5a)x+1850+50w

•.•第31天到第35天的日销售利润W(元)随x的增大而增大

.•.对称轴x=一旦=-160+/25,得0三3

2a2X(,1)

故a的最小值为3.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选

择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).

9(2019•湖北十堰T2分)已知抛物线y=a(x-2)?+c经过点A(2,0)和C(0,卷)，

与x轴交于另一点B,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式，并写出。点的坐标;

(2)如图，点E,尸分别在线段AB,BD上(E点不与A,8重合)，且NDEF=NA,

则△OEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

(3)若点尸在抛物线上，且答亚=机，试确定满足条件的点P的个数.

^ACBD

【分析】(1)利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题.

(2)可能.分三种情形①当OE=O尸时，②当。E=E尸时，③当。尸=EF时，分别求

解即可.

(3)如图2中，连接BD,当点P在线段BD的右侧时，作DHLAB于H,连接PD,

PH,PB.设？[〃，-立-(〃-2)2+3],构建二次函数求出△PBQ的面积的最大值，再根

16

据对称性即可解决问题.

【解答】解:(1)由题意：(16a+c=0,

4a+c0

__3_

解得&-下，

c=3

•••抛物线的解析式为y=-旦(x-2)2+3,

-16

.••顶点。坐标(2,3).

(2)可能.如图1,

图1

VA(-2,0),D(2,3),B(6,0),

：.AB=8,AD=BD=5,

①当OE=O尸时，NDFE=NDEF=/ABD,

：.EF//AB,此时E与B重合，与条件矛盾，不成立.

②当OE=EF时，

又,：ABEFSAAED,

：./\BEF^^AED,

：.BE=AD=5

③当£>F=EF时，NEDF=NDEF=/DAB=ZDBA,

△FDESADAB,

.EF=DE

"BDAB"

•里=幽=旦

"DEABT

■:/XAEF^^BCE

•EB=EF=5_

,*ADDE百，

：.EB=^AD=^-,

88

答：当BE的长为5或空时，△(：下£为等腰三角形.

8

(3)如图2中，连接BD,当点P在线段BD的右侧时，作DHLAB于H,连接PD,

2+3],

则SAPBO=SAPBH+SZ\PDH-SABDH=LX4X[--2)2+3]+1X3X(n-2)--X4

21622

X3=-S(”-4)2+S,

82

■:-3<o,

8

.,.〃=4时，△PB。的面积的最大值为W,

2

S/kCBD

得A

...当点P在B力的右侧时，机的最大值=&=正

5

观察图象可知：当0〈加＜①寸，满足条件的点P的个数有4个，

10

当机=3时，满足条件的点P的个数有3个，

10

当"＞必寸，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）.

10

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相

似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨

论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属

于中考压轴题.

10.(2019•浙江金华T0分)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4,边OA,

OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横，纵坐标均为整数的

点称为好点，点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点。

(1)当m=0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数。

(2)当m=3时，求该抛物线上的好点坐标。

(3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)给好存在8个好点，求m

的取值范围，

【答案】(1)解：：m=0,

二次函数表达式为：y=-x2+2,画出函数图像如图1,

图1

,当x=0时，y=2；当x=l时，y=l；

.••抛物线经过点(0,2)和(1,1),

，好点有：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0)和(1,1),共5个.

(2)解：Vm=3,

y

图2

•••二次函数表达式为；y=-(X-3)2+5,画出函数图像如图2,

•.•当x=l时,y=l；当x=2时，y=4；当x=4时，y=4；

二抛物线上存在好点,坐标分别是(1,1),(2,4)和(4,4)。

(3)解：•抛物线顶点P(m,m+2),

•••点P在直线y=x+2上，

•••点P在正方形内部，

."-0<m<2,

如图3,E(2,1),F(2,2),

••・当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点(点F

除外)，

当抛物线经过点E(2,1)时，

-(2-m)2+m+2=l,

解得：m尸5一113m2=5+-13(舍去)，

2-2~~

当抛物线经过点F(2,2)时，

(2-m)2+m+2=2,

解得：m3=l,m4=4(舍去)，

当5WmVl时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点.

【考点】二次函数的其他应用

【解析】【分析】(1)将m=0代入二次函数解析式得y=-x2+2,画出函数图像，从图像上可

得抛物线经过点(0,2)和(1,1),从而可得好点个数.

(2)将m=3代入二次函数解析式得y=-(x-3)2+5,画出函数图像，由图像可得抛物线上

存在好点以及好点坐标.

(3)由解析式可得抛物线顶点P(m,m+2),从而可得点P在直线y=x+2上，由点P在

正方形内部，可得0<m<2；结合题意分情况讨论：①当抛物线经过点E(2,1)时，②当

抛物线经过点F(2,2)时，将点代入二次函数解析式,解之即可得m值，从而可得m范

围.

11.(2019•浙江宁波•10分)如图，已知二次函数y=x?+ax+3的图象经过点P(-2,3).

(1)求a的值和图象的顶点坐标.

(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.

①当m=2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.

【分析】(1)把点P(-2,3)代入y=x?+ax+3中，即可求出a；

(2)①把m=2代入解析式即可求n的值；

②由点Q至1Jy轴的距离小于2,可得-2<m<2,在此范围内求n即可；

【解答】解：(1)把点P(-2,3)代入y=x?+ax+3中，

••a=2,

/.y=x2+2x4-3,

顶点坐标为(-1,2)；

(2)①当m=2时，n=ll,

②点Q到y轴的距离小于2,

・•・-2<m<2,

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键.

12(2019•浙江衢州•10分)某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的

房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元，

240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：

X（元）190200210220

y(间)65605550

.y（间）

70

60

50

40

（F^TTO—i90—210—230—25^x兀

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。

（2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.

（3）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元

时。客房的日营业额最大？最大为多少元？

【答案】（1）解：如图所示：

（元）

把(200,60)和(220,50)代入,

200斤+6=60

得,解得

7.7M+h=S01/>=160

y=—得x+160(170<x<240)

(—Jx+160)=—4x2+160x.

(3)解:w=x・y=x・

__L=160,

・・・对称轴为直线x=

2/7

Va=-^<0,

.•.在170WXW240范围内，w随x的增大而减

小.故当x=170时，w有最大值，最大值为

12750元

【考点】二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】(1)根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.(2)

设y与X的函数表达式为丫=1«+1),再从表中选两个点(200,60),(220,50)代入函数解

析式，得到一个关于k、b的二元一次方程组，解之即可得出答案，由题意即可求得自变量取

值范围.(3)设日营业额为w,由亚=*丫==-\x2+160x,再由二次函数图像性质即可求得答

案.

13(2019,山东淄博，9分)如图，顶点为M的抛物线)=以2+法+3与x轴交于A(3,0),8

(-1,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)问在y轴上是否存在一点P,使得为直角三角形？若存在，求出点P的坐标;

若不存在，说明理由.

(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足D4=QA,过。作。G_Lx轴于点G,

设△AOG的内心为/,试求C/的最小值.

备用图

【分析】(1)用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式.

②用配方法求抛物线顶点M,求AA?,设点尸坐标为(0,p),用。表示AP?和MP2.△

PA”为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论.确定直角即确定斜

边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标.

®由点/是△AOG内心联想到过点/作△AOG三边的垂线段IE.IF、IH,根据内心到

三角形三边距离相等即有/E=/F=/H.止匕时以点/为圆心、/E为半径长的即为△AOG

内切圆，根据切线长定理可得AE=AF,DF=DH,EG=HG.设点/坐标为(m,n),可

用含m.n的式子表示AG、DG的长，又由DA=OA^3,即可用勾股定理列得关于〃八

n的方程.化简再配方后得到式子：(m-3)2+(/3)2=9,从图形上可理解为点/

222

(m,〃)与定点Q(3,-1)的距离为3返，所以点/的运动轨迹为圆弧.所以当点

222

/在CQ连线上时，C7最短.

【解答】解(1)•.•抛物线丫=0^+汝+3过点A(3,0),8(-1,0)

...19a+3b+3=0解得：卜=-1

la-b+3=0lb=2

.•.这条抛物线对应的函数表达式为)，=-?+2x+3

（2）在y轴上存在点P,使得△以例为直角三角形.

：y=-/+2X+3=-（x-1）2+4

二顶点M（1,4）

AAAf2=（3-1）2+42=20

设点P坐标为（0,p）

.,.AP2=32+p2=9+p2,MP2=12+（4-p）2=17-8p+p2

若NPAM=90。，则AM2+AP1=MP1

.*.20+9+/?2=17-8p+，

3,

解得：p=-~2

:.p（o,-3）

2

②若NAPM=90。，则AP2+MP1=AM2

.,.9+/+17-8p+p"=20

解得：pi=l,P2=3

：.P（0,1）或（0,3）

③若NA例P=90°,则AM2+MP2=AP2

/.20+17-8p+/=9+p2

解得：p=—

2

：.P（0,工）

2

综上所述，点尸坐标为（0,-3）或（0,1）或（0,3）或（0,—）时，△PAM为直

22

角三角形.

(3)如图，过点/作轴于点E,于点F,/HLOG于点”

•••0GL:轴于点G

：.ZHGE=ZIEG=ZIHG=90°

・・・四边形/EGH是矩形

・・•点/为aAOG的内心

：.IE=lF=IHfAE=AF,DF=DH,EG=HG

・・・矩形/EG"是正方形

设点/坐标为(相，77)

：.OE=m,HG=GE=IE=n

：.AF=AE=OA-OE=3-m

工AG=GE+AE=〃+3-m

\9DA=OA=3

：.DH=DF=DA-AF=3-(3-m)=m

:・DG=DH+HG=m+n

\9DG2+AG2=DA2

/.(m+n)2+(〃+3-〃2)2=32

・••化简得：m-3m+n2+3n=0

配方得：2+(n+l)2=

22—

...点/(，〃，n)与定点Q(3,-3)的距离为3^2

2

...点/在以点Q(S,-3)为圆心，半径为盟2的圆在第一象限的弧上运动

222

...当点/在线段CQ上时，C7最小

//3\2,c3、23VT5

•；CQ=V份)+(3+y)--2~

：.Cl=CQ-/Q=2/出

2

，C/最小值为盟1031.

2

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心

的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程.第

(3)题的解题关键是由点/是内心用内心性质和切线长定理列式求得点/坐标的特征式

子，转化到点/到定点。的距离相等，再转化到点和圆的位置关系.

14.(2019•江苏连云港•12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Li：y=x+bx+c

过点C(0,-3),与抛物线七：y=-L2-3+2的一个交点为A,且点A的横坐标为

22

2,点P、。分别是抛物线