2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十一直线与圆

专题强化练(十一)直线与圆1．(2024·惠州模拟)已知圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．eq\f(5,2) B．9C．4 D．8解析：圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标为(－1，－2)，由圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)对称，所以直线ax＋by＋1＝0过圆心，即－a－2b＋1＝0，所以a＋2b＝1，而a>0，b>0，可得eq\f(2b,a)>0，eq\f(2a,b)>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))·1＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))·(a＋2b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝5＋4＝9，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝b，与a＋2b＝1联立，可得a＝b＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为9.故选B.答案：B2．(2024·广东模拟)已知⊙P经过点(4，0)，半径为1，若直线kx－y＋k＝0是⊙P的一条对称轴，则k的最大值为()A．0 B．eq\f(1,4)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(6),12)解析：因为直线kx－y＋k＝0是圆P的一条对称轴，所以圆心P在直线kx－y＋k＝0上，设圆心为P(a，ka＋k)，因为⊙P经过点(4，0)，半径为1，所以(a－4)2＋(ka＋k)2＝1，即(1＋k2)a2＋(2k2－8)a＋k2＋15＝0，Δ＝(2k2－8)2－4(k2＋15)(1＋k2)≥0，解得－eq\f(\r(6),12)≤k≤eq\f(\r(6),12)，故k的最大值为eq\f(\r(6),12).故选D.答案：D3．(2024·潮州模拟)过圆x2＋y2＝4上一点P作圆O：x2＋y2＝m2(m>0)的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝eq\f(π,3)，则实数m＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．2解析：依据题意，如图：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径R＝2，即|OP|＝2，圆O：x2＋y2＝m2，圆心为(0，0)，半径r＝m，则|OA|＝|OB|＝m，若∠APB＝eq\f(π,3)，则∠OPA＝eq\f(π,6)，又由OA⊥AP，则|OP|＝2|OA|，则m＝1.故选C.答案：C4．(2024·广州荔湾区校级模拟)经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．eq\r(3)C．1 D．eq\r(5)解析：依据题意，圆x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，其圆心为(2，0)，半径r＝1，设点M(2，0)，P为直线y＝2x＋1上随意一点，当直线MP与直线y＝2x＋1垂直时，|MP|最小，此时切线长最小，此时|MP|的值就是点M到直线y＝2x＋1的距离，故|MP|min＝d＝eq\f(|4＋1|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，且切线长的最小值为eq\r(d2－r2)＝2.故选A.答案：A5．(2024·茂名二模)已知平面xOy内的动点P，直线l：xsinθ＋ycosθ＝1，当θ改变时点P始终不在直线l上，点Q为⊙C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上的动点，则|PQ|的取值范围为()A．(eq\r(17)－2，eq\r(17))B．(eq\r(17)－2，eq\r(17)＋2]C．[eq\r(17)－2，eq\r(17)＋2)D．(eq\r(17)－2，eq\r(17)＋2)解析：由原点O到直线l：xsinθ＋ycosθ＝1的距离为d＝eq\f(|0＋0－1|,\r(cos2θ＋sin2θ))＝1，可知直线l是⊙O：x2＋y2＝1的切线，又动直线始终不经过点P，所以点P在圆O内，因为点Q为⊙C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上的动点，且C(4，1)，r＝1，所以|OC|－2<|PQ|<|OC|＋2，|OC|＝eq\r(（4－0）2＋（1－0）2)＝eq\r(17)，所以|PQ|的取值范围为(eq\r(17)－2，eq\r(17)＋2)．故选D.答案：D6．(2024·湛江二模)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq\r(3))，则圆C的直径为()A．2 B．2或eq\f(14,3)C．eq\f(7,4) D．eq\f(7,4)或eq\f(16,3)解析：因为直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x的倾斜角为30°，所以圆心在两切线所成角的角平分线上y＝eq\r(3)x上，设圆心C(a，eq\r(3)a)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－eq\r(3)a)2＝a2，将点P(2，eq\r(3))代入圆的方程，得(2－a)2＋(eq\r(3)－eq\r(3)a)2＝a2，整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝eq\f(7,3)，所以圆C的直径为2或eq\f(14,3).故选B.答案：B7．(2024·香洲区校级模拟)已知圆M：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，点A(t，0)，若圆M上存在两点B，C，使得△ABC是等边三角形，则实数t的取值范围是()A．[－3，1] B．[－5，1]C．[－3，－1] D．[－4，0]解析：由题知，圆M和正△ABC组成的图形关于直线AM对称，若存在点B，C满意题意等价于存在点B使得∠BAM＝30°，过点A作圆M的切线，切点为T，连接MT，则∠TAM≥30°，∠TAM<90°，所以sin∠TAM≥sin30°，eq\f(|TM|,|AM|)≥eq\f(1,2)，|AM|≤2eq\r(2)，(t＋2)2＋(0－2)2≤8，解得－4≤t≤0，所以实数t的取值范围为[－4，0]．故选D.答案：D8．(多选题)(2024·深圳龙岗区校级一模)圆M：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，记点P(a，b)，下列结论正确的是()A．点P的轨迹方程为x－y－3＝0B．以PM为直径的圆过定点Q(2，－1)C．|PM|的最小值为6D．若直线PA与圆M切于点A，则|PA|≥4解析：由圆M：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心M(－1，2)，半径R＝eq\r(2)，由圆M：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以M在直线2ax＋by＋6＝0上，所以2a(－1)＋b×2＋6＝0所以a－b－3＝0，所以点P的轨迹方程为x－y－3＝0，故A正确；以PM为直径的圆N的方程为(x＋1)(x－a)＋(y－2)·(y－b)＝0，把点Q(2，－1)代入圆的方程的左边，有3(2－a)－3(－1－b)＝9－3a＋3b＝－3(a－b－3)＝0，所以点Q在圆N上，故B正确；|PM|的最小值为点M到直线x－y－3＝0的距离，又d＝eq\f(|－1－2－3|,\r(1＋1))＝3eq\r(2)，故C错误；因为|PA|＝eq\r(|PM|2－2)≥eq\r(18－2)＝4，故D正确．故选ABD.答案：ABD9．(多选题)(2024·广东模拟)若直线l：3x＋4y＋n＝0(n∈N*)与圆C：(x－2)2＋y2＝aeq\o\al(2,n)(an>0)相切，则下列说法正确的是()A．a1＝eq\f(7,5)B．数列{an}为等比数列C．数列{an}的前10项和为23D．圆C不行能经过坐标原点解析：由圆C的方程：(x－2)2＋y2＝aeq\o\al(2,n)(an>0)可知，圆C的圆心为(2，0)，半径r＝an，由直线l：3x＋4y＋n＝0(n∈N*)与圆相切得，eq\f(3×2＋n,5)＝an，an＝eq\f(1,5)n＋eq\f(6,5)，所以a1＝eq\f(7,5)，an＋1－an＝eq\f(1,5)(n＋1)＋eq\f(6,5)－eq\f(1,5)n－eq\f(6,5)＝eq\f(1,5)，所以{an}是首项为eq\f(7,5)，公差为eq\f(1,5)的等差数列，前10项和为S10＝10×eq\f(7,5)＋eq\f(10×9,2)×eq\f(1,5)＝23；令(0－2)2＋02＝(eq\f(6＋n,5))2，解得n＝4，此时圆C经过坐标原点．综上所述，A、C选项正确，B、D选项错误．故选AC.答案：AC10．(多选题)(2024·潍坊模拟)已知点P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2上一点，A(－1，0)，B(1，0)，则以下说法正确的是()A．若直线AB与圆C相切，则r＝4B．若以A，B为直径的圆与圆C相切，则r＝4C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则4≤r≤6D．当r＝1时，|PA|2＋|PB|2的最小值为34解析：对于A，由A(－1，0)，B(1，0)，则直线AB的方程为lAB∶y＝0，所以圆C的圆心(3，4)到直线AB的距离为d＝4，又直线AB与圆C相切，所以r＝4，故A正确；对于B，由4(－1，0)，B(1，0)，则以A，B为直径的圆方程为：x2＋y2＝1，所以圆C的圆心(3，4)到圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)的距离为5，当圆x2＋y2＝1，与C外切时，有r＋1＝5，得r＝4，当圆x2＋y2＝1，与C内切时，有r－1＝5，得r＝6，故B不正确；对于C，设P点的坐标为(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x)×(1－x)＋y2＝0，即x2＋y2＝1，所以圆C与x2＋y2＝1有交点，所以结合选项B可得4≤r≤6，故C正确；对于D，设P点的坐标为(3＋sinα，4＋cosα)(α为参数)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－4－sinα，－4－cosα)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－sinα，－4－cosα)，所以|PA|2＋|PB|2＝12sinα＋16cosα＋54＝20sin(α＋θ)＋54，其中tanθ＝eq\f(4,3)，所以当sin(α＋θ)＝－1时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，且最小值为34，故D正确．故选ACD.答案：ACD11．(多选题)(2024·临沂一模)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0，4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则()A．线段AP长的最大值为6B．当直线AP与圆C相切时，|AP|＝2eq\r(6)C．以线段AP为直径的圆不行能过原点OD.eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为20解析：依据题意可知圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3，0)，半径r＝1，如右图所示：易知|AP|≤|AC|＋|CP|＝eq\r(32＋42)＋1＝6，当且仅当A，C，P三点共线(且C点在中间)时，等号成立，即A正确；当直线AP与圆C相切时，由勾股定理可得|AP|＝eq\r(|AC|2－|CP|2)＝eq\r(25－1)＝2eq\r(6)，所以B正确；若以线段AP为直径的圆过原点O，由直径所对圆周角为直角可得∠AOP＝90°，易知当P在x轴上时，满意题意；所以以线段AP为直径的圆可能过原点O，即C错误；设点P(x0，y0)，易知x0∈[2，4]，y0∈[－1；1]，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝(0，－4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0－4)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝16－4y0≤16－4×(－1)＝20，即eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值为20，即D正确．故选ABD.答案：ABD12．(2024·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，动点P到点A(1，0)的距离是到点B(1，3)的距离的2倍，则△PAB的面积的最大值为________．解析：设P(x，y)，由题意得eq\f(\r(（x－1）2＋y2),\r(（x－1）2＋（y－3）2))＝2，两边平方并整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，故点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4；即P在以点C(1，4)为圆心，2为半径的圆上，又直线AB的方程为x＝1，|AB|＝3，点C在直线AB上，故△PAB的面积的最大值为eq\f(1,2)×3×2＝3.答案：313．(2024·深圳罗湖区校级模拟)定义两个点集S，T之间的距离集为d(S，T)＝{|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表示两点P，Q之间的距离．已知k，θ∈R，S{(x，y)|y＝kx＋eq\r(5)tanθ，x∈R}，T＝{(x，y)|y＝eq\r(4x2＋1)，x∈R}，d(S，T)＝(1，＋∞)，则θ的一个可能值为________________．解析：y＝eq\r(4x2＋1)，即y2－4x2＝1，y≥0，故集合T表示双曲线y2－4x2＝1上支的点，集合S表示直线y＝kx＋eq\r(5)tanθ上的点，d(S，T)＝(1，＋∞)，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即tanθ<0，且与渐近线的距离为1.双曲线的渐近线为y＝±2x，不妨取2x＋y＝0，则2x＋y－eq\r(5)tanθ＝0，平行线的距离d＝eq\f(|\r(5)tanθ|,\r(1＋4))＝1，故tanθ＝－1，θ＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z.答案：－eq\f(π,4)(可填θ＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z中任何一个)14．(2024·惠州模拟)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，3)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________________．解析：圆的方程x2＋y2－2x－6y＝0化为标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)半径r＝eq\r(10)，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即AC⊥BD，且|AC|＝2eq\r(10)，圆心和E点之间的距离为1，故|BD|＝2eq\r(（\r(10)）2－12)＝6，所以四边形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)|AC||BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×6＝6eq\r(10).答案：6eq\r(10)15．(2024·佛山南海区校级模拟)若直线l1：x＋my－2＝0与l2：mx－y＋2＝0(m∈R)相交于点P，过点P作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1的切线，切点为M，则|PM|的最大值为________．解析：由直线l1：x＋my－2＝0，可得直线l1恒过定点A(2，0)，由直线l2：mx－y＋2＝0，可得直线l1恒过定点B(0，2)，又易得直线l1与直线l2相互垂直，故点P轨迹是以AB为直径的圆，从而可得P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心为D(1，1)，半径为eq\r(2)，由圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，可得圆心C(－2，－2)，半径为1，由题意|PM|＝eq\r(|PC|2－|MC|2)＝eq\r(|PC|2－1)，又|PC|max＝|CD|＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，所以|PM|max＝eq\r(32－1)＝eq\r(