广西专版2024-2025学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.1函数的零点与方程的解课后训练新人教A版必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解课后·训练提升基础巩固1.(多选题)下列说法中正确的是()A.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)B.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1C.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标答案BD解析依据函数零点的定义,可知f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.因此BD正确.2.下列图象表示的函数中没有零点的是()答案A解析B,C,D中图象均与x轴有公共点,故对应函数均有零点,A中图象与x轴没有公共点,故对应函数没有零点.3.函数f(x)=4x-x2的零点所在的大致区间是()A.(-1,12) B.(-1C.(0,12) D.(1答案A解析∵函数f(x)的图象是连绵不断的曲线,且f(-1)f12=-34×74<0,f-12f(0)=14×1>0,f(0)f12=1×74>0,∴由零点存在定理可得函数f(x)在区间(-1,12)内存在零点4.依据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间为()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.(-1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2)答案D解析由题中表格内的数据可知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,∴f(1)f(2)<0,且f(x)的图象是连绵不断的曲线,∴由零点存在定理可得,f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).5.已知函数f(x)=3x-1(xA.a≤2 B.a<2 C.a≥2 D.a>2答案C解析当x<1时,函数f(x)有一个零点x=13当x≥1时,令2x2-ax=0,得x=a2(x=若要使函数f(x)有两个不同的零点,则只需a2≥1,解得a≥26.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0答案B解析(方法一)由f(x)=0,得2x+11-∴2x=1x在同一平面直角坐标系中,作出函数y1=2x,y2=1x当x1∈(1,x0)时,y1<y2;当x2∈(x0,+∞)时,y1>y2,∴f(x1)<0,f(x2)>0.(方法二)∵函数y=2x,y=11-x在区间(1,∴函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,∴由x1∈(1,x0),f(x0)=0,得f(x1)<f(x0)=0,由x2∈(x0,+∞),f(x0)=0,得f(x2)>f(x0)=0.7.若函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是.

答案(1,+∞)解析f(0)=-1,要使函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,需f(1)=m-1>0,即m>1.8.已知函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为1,则它的另一个零点为.

答案-3解析设函数f(x)的两个零点分别为x1,x2,则由f(x)=ax2+2ax+c=0(a≠0),得x1+x2=-2aa=-又x1=1,所以x2=-3.9.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.

答案(1,+∞)解析函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a的图象的交点的个数,如图,当a>1时,两函数图象有两个交点;当0<a<1时,两函数图象有一个交点.故a>1.10.求函数f(x)=2-x解当x≤0时,令2-x-4=0,得x=-2,满意要求;当x>0时,令lgx=0,得x=1,满意要求.所以函数f(x)的零点是-2,1.11.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点?(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.解(1)函数零点的个数,等价于对应方程-3x2+2x-m+1=0实数解的个数.由Δ=4+12(1-m)>0,可解得m<43由Δ=0,可解得m=43由Δ<0,可解得m>43故当m<43当m=43当m>43时,函数无零点(2)由题意知0是对应方程的根,故有1-m=0,可解得m=1.实力提升1.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于()A.1 B.-1C.0 D.不能确定答案C解析因为奇函数的图象关于原点对称,所以若f(x)有三个零点,则其和必为0.2.若函数f(x)=(12)x-log2x与函数g(x)=(12)x-log12x的零点分别为x1,x2,则x1xA.(0,1) B.(1,+∞)C.(1,2) D.[1,+∞)答案A解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=(12)x,y=log2x,y=log1如图所示,可以发觉,0<x2<1,1<x1<2.又(12)

x1=log2x1,(12)

x2=log12x2=-log2x2,则(12)

x1-(12因而x1x2∈(0,1).故选A.3.(多选题)已知函数f(x)=-x2-2x,x≤0,|log2x|,x>0,若x1<x2<x3<x4,且f(A.x1+x2=-1 B.x3x4=1C.1<x4<2 D.0<x1x2x3x4<1答案BCD解析画出函数f(x)的大致图象如图所示,得出x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,则x3x4=1,故A中结论错误,B中结论正确;由图可知1<x4<2,故C中结论正确;因为-2<x1<-1,x1x2=x1(-2-x1)=-x12-2x1=-(x1+1)2+1∈(0,1),所以x1x2x3x4=x1x2∈4.函数f(x)=(x-1)答案1解析令f(x)=0,即(x-1)lnxx-3=0,则x-1=0或ln5.函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是.

答案2解析函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数,即函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象的交点个数.在同一平面直角坐标系内分别作出函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象,如图所示.由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2.6.已知函数f(x)=ax-a-1,g(x)=x2-ax+1(a为实数).若f(x)在区间(2,3)内有零点,则a的取值范围是;若关于x的方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,则a的取值范围是.

答案(12,1)解析f(x)在区间(2,3)内有零点,则a=0不满意,当a≠0时,f(x)在R上为单调函数.f(x)在区间(2,3)内有零点,由零点存在定理有f(2)f(3)<0;即(2a-a-1)(3a-a-1)<0,解得12<a<1,故a的取值范围为(12方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,即方程x2-2ax+a+2=0有两个大于1的相异实根.设h(x)=x2-2ax+a+2.则函数h(x)图象的对称轴为直线x=a,且a>1,Δ=4a2-4(a+2)>0,且h(1)=1-2a+a+2>0,解得2<a<3.故a的取值范围为(2,3).7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则实数k的取值范围是.

答案1解析画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,由图可知12<k<18.已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R.(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无公共点,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求a的取值范围.解(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无公共点,则方程f(x)=0的根的判别式Δ<0,即16-4(a+3)<0,解得a>1.故a的取值范围为a>1.(2)因为函数f(x)=x2-4x+a+3的图象的对称轴是直线x=2,所以y=f(x)在区间[-1,1]上单调递减.又函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,所以f(1)≤0,故a的取值范围为-8≤a≤0.9.设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-a2(1)求证:函数g(x)有两个零点;(2)证明函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.证明(1)∵g(1)=a+b+c=-a2∴3a+2b+2c=0,∴c=-32a-b∴g(x)=ax2+bx-32a-b∴Δ=b2-4a-32a-b=(2a+b)2∵a>0,∴Δ>0恒成立,故函数g(x)有两个零点.(2)由题意得g(0)=c,g(2