统考版2025届高考数学全程一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例学生用书

第三节平面对量的数量积与平面对量应用举例·最新考纲·1．理解平面对量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面对量的数量积与向量投影的关系．3．驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题．6．会用向量方法解决简洁的力学问题与其他一些实际问题．·考向预料·考情分析：平面对量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面对量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过平面对量数量积的计算及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记5个学问点1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则________就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b________；若θ＝180°，则a与b________；若θ＝90°，则a与b________．[提示]只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．2．平面对量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量________叫做a与b的数量积，记作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积3.平面对量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔________．(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.特殊地，a·a＝________或者|a|＝________．(4)cosθ＝________．(5)a·b≤________．4．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝________＝________．(3)安排律：(a＋b)·c＝________．5．平面对量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则数量积a·b＝________模|a|＝________夹角cosθ＝________向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔________二、必明5个常用结论1．求平面对量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x22．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两个向量的数量积是一个向量．()(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(二)教材改编2．[必修4·P107例6改编]设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为()A．－4B．4C．327D．－3．[必修4·P108习题T6改编]已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为()A．π6B．C．2π3D．(三)易错易混4．(不理解向量的几何意义致误)已知AB＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量AB在CD方向上的投影为________；向量CD在AB方向上的投影为________．5．(向量数量积的性质不熟致误)若平面四边形ABCD满意AB+CD＝0，(AB-AD)·(四)走进高考6．[2024·全国乙卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一平面对量数量积的运算[基础性]1．[2024·河南高三月考]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则(a－3b)·(2a＋b)＝()A．－8B．－5C．2D．192．[2024·定远县育才学校高三开学考试]正四面体ABCD棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B．12a2C．14a2D．33．已知向量a，b满意a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为()A．55B．－55C．－24．已知正方形ABCD的边长为2，点P满意AP＝12(AB+AC)，则|PD反思感悟计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可干脆运用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.考点二平面对量数量积的应用[综合性]角度1平面对量的模[例1](1)[2024·苏州中学高三月考]已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝()A．12B．1C．2(2)[2024·福建南平市监测]已知单位向量e1，e2的夹角为2π3，则|e1－λe2A．22B．12C．3反思感悟1．求向量模长的方法利用数量积求模是数量积的重要应用，要驾驭此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·(2)|a±b|＝a±b2(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2．求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；(3)利用肯定值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(取值范围)．角度2平面对量的夹角[例2](1)[2024·全国卷Ⅲ]已知向量a，b满意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A．－3135B．－1935C．17(2)[2024·山西省八校高三联考]已知向量a＝(－1，2)，单位向量b满意b·(a＋5b)＝52，则向量a，b的夹角θ听课笔记：反思感悟求向量夹角问题的方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝a·(2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2+y(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．角度3平面对量的垂直[例3](1)已知平面对量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与b垂直，则λ＝()A．－1B．1C．－2D．2(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB+AC，且AP⊥BC，则实数听课笔记：反思感悟有关平面对量垂直的两类题型【对点训练】1．[2024·合肥市第六中学高三模拟]若单位向量a，b满意(a－2b)·(a＋b)＝－12，则|a－bA．1B．2C．3D．22．[2024·河北武强中学高三月考]已知非零向量a，b满意|a|＝2|b|，且(a－b)·b＝0，则a与b的夹角为________．3．[2024·四川遂宁市高三模拟]已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，且kb－a与a垂直，则k＝________．考点三平面对量的综合应用[综合性]角度1平面对量与三角函数[例4][2024·湖北高三月考]已知向量a＝(3sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)．(1)若a∥b，且x∈(－π，0)，求x的值；(2)若函数f(x)＝2a·b－1，且fx2＝13，求sin听课笔记：反思感悟平面对量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．角度2平面对量与解三角形[例5]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sinB，2－cos2B)，n＝2sin2π4+(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．听课笔记：反思感悟本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决．第(2)小题突出了余弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注意了分类探讨思想的考查．【对点训练】1．[2024·河北武强中学高三月考]已知向量a＝(cosα，3)，b＝(sinα，－4)，a∥b，则3sinA．－12C．－43D．2．[2024·河南洛阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a－2b)sinA＝(c＋b)(sinC－sinB)，设D是AB的中点，若CD＝1，则△ABC面积的最大值是()A．2－1B．2＋1C．3－22D．3＋223．[2024·福建泉州模拟]已知函数f(x)＝d·e，其中d＝(2cosx，－3sin2x)，e＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．微专题23平面对量与三角形的“四心”逻辑推理三角形的“四心”：设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝a2(2)O为△ABC的重心⇔OA+(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(4)O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.类型1平面对量与三角形的“重心”问题[例1][2024·山东莱州一中高三开学考试]O是平面上肯定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满意OP＝OA＋λ(AB+AC)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹肯定通过△A．外心B．垂心C．内心D．重心解析：令D为BC的中点，则OP＝OA＋λ(AB+AC)＝OA＋2λ于是有AP＝2λAD，∴点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心．答案：D类型2平面对量与三角形的“内心”问题[例2]在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，则动点PA．1063C．43D．62解析：依据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则12bcsinA＝12(a＋b＋c)r，解得r＝所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2答案：B类型3平面对量与三角形的“垂心”问题[例3]已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满意OP＝OA＋λ(ABABcosB+ACACcosC)，λA．重心B．垂心C．外心D．内心解析：因为OP＝OA＋λ(ABAB所以AP＝OP-OA＝λ(所以BC·AP＝BC·λ(ABABcosB+ACACcosC)＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，所以BC⊥AP，所以点P在答案：B类型4平面对量与三角形的“外心”问题[例4]已知在△ABC中，AB＝1，BC＝6，AC＝2，点O为△ABC的外心，若AO＝xAB＋yAC，则有序实数对(x，y)为()A．45，C．-45解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则OM⊥AB，ON⊥AC，OM＝AM-AO＝12AB－(xAB＋yAC)＝12-xAB－yAC，ON＝AN-由OM⊥AB，得12-xAB2－yAC由ON⊥AC，得12-yAC2－x又因为BC2＝(AC-AB)2＝AC2－2AC·AB+AB2，所以AC把③代入①、②得1-2x+y=0，解得x＝45，y＝3故实数对(x，y)为45答案：A类型5平面对量与三角形的“四心”问题[例5]已知向量OP1，OP2，OP3满意条件OP1+证明：由已知条件可得OP1+OP2同理OP2·O即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，∴|P1P2|＝|P从而△P1P2P3是正三角形．第三节平面对量的数量积与平面对量应用举例积累必备学问一、1．(1)∠AOB(3)同向反向垂直2．|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3．(2)a·b＝0(3)|a|2a·a(4)a·bab(5)|a||4．(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c5．x1x2＋y1y2x1x1x2+y1y2x12三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．解析：因为a·b＝5×(－6)－7t＝－2，所以t＝－4.答案：A3．解析：cosθ＝a·bab＝-632×6＝－32答案：D4．解析：由点C(2，0)，D(3，－1)，得CD＝(1，－1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝AB·CDCD＝－322，向量CD在AB方向上的投影为|CD答案：－3225．解析：由四边形ABCD满意AB+CD＝0知，四边形ABCD为平行四边形．又由(AB-AD)·AC＝0，即DB·AC＝0，可知该平行四边形的对角线答案：菱形6．解析：因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得，3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35答案：3提升关键实力考点一1．解析：∵a·b＝1×2×-1∴(a－3b)·(2a＋b)＝2|a|2－5a·b－3|b|2＝2×1－5×(－1)－3×4＝－5.答案：B2．解析：因为点E，F分别是BC，AD的中点，所以AE·AF＝12(AB+AC)·12AD＝14(a·a·cosπ3＋a·a·cosπ3)＝1答案：C3．解析：由a＝(1，2)，可得|a|＝5，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影为a·ba答案：D4．解析：方法一如图，在正方形ABCD中，由AP＝12(AB+AC)得点P为BC的中点，∴|PD|＝5，PB·PD＝PB·(PC+CD)＝PB方法二∵AP＝12(AB+AC)，∴P为BC的中点，以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝2-02+1-22答案：5－1考点二例1解析：(1)因为非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，所以a·b＝|a|·|b|cos60°＝12|a又因为|2a－b|＝1，所以(2a－b)2＝1，即4a2＋b2－4a·b＝1，所以4|a|2＋|b|2－4×12|a|＝1，整理可得：4|a|2－2|a|＝0，因为|a|≠0，解得：|a|＝1(2)因为e1·e2＝|e1||e2|cos2π3＝－12，所以|e1－λe2|2＝e12+λ2e22－2所以|e1－λe2|≥32答案：(1)A(2)C例2解析：(1)由题意得cos〈a，a＋b〉＝a＝a＝25-65×25+36-12＝解析：(2)由b·(a＋5b)＝52得a·b+5b2＝52，∵|b|＝1，∴a·b＝－52，又|a|＝5，∴cosθ＝－12答案：(1)D(2)2π3例3解析：(1)由已知得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，因为λa－b与b垂直，所以(λa－b)·b＝0,即(λ－4，－3λ＋2)·(4，－2)＝0，所以4λ－16＋6λ－4＝0，解得λ＝2，故选D.(2)因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0.又AP＝λAB+AC，BC＝AC-AB，所以(λAB+AC)·(AC-AB)＝0，即(λ－所以(λ－1)|AC||AB|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×2×3×-12－9λ＋4＝0.解得λ＝答案：(1)D(2)7对点训练1．解析：因为a，b为单位向量，所以(a－2b)·(a＋b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝－a·b－1＝－12，所以a·b＝－1所以|a－b|＝a-b2＝a答案：C2．解析：由题意，设|a|＝2|b|＝2t(t＞0)，又(a－b)·b＝0⇒a·b＝b2＝t2，设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝a·bab＝t22t答案：π3．解析：∵a＝(2，1)，b＝(－3，－1)，∴kb－a＝(－3k－2，－k－1)，∵kb－a与a垂直，∴(－3k－2)×2＋(－k－1)×1＝0，解得k＝－57答案：－5考点三例4解析：(1)由a∥b，得3sinxcosx－cos2x＝0，即cosx(3sinx－cosx)＝0，所以cosx＝0或3sinx－cosx＝0.当cosx＝0时，x∈(－π，0)，则x＝－π2当3sinx－cosx＝0时，得tanx＝33，x∈(－π，0)，则x＝－5π综上，x的值为－π2或－5π(2)f(x)＝2a·b－1＝23sinxcosx＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2(32sin2x＋12cos2x)＝2sin由fx2＝2sinx+π6＝13，得sin所以sin2x-π6＝sin2x+π6-π＝2sin2x+π6－1＝2×136例5解析：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，所以2sinB·2sin2π4+B2＋(2－cos2B)·(－1)＝0.所以2sinB·1-co