新教材适用2024-2025学年高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第1课时余弦定理素养作业新人教A版必修第二册

第六章6.46.4.3第1课时A组·素养自测一、选择题1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(\r(6),3)，b＝2eq\r(2)，c＝eq\r(3)，则a＝(D)A．2 B．eq\r(2)C．3 D．eq\r(3)[解析]由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，得a＝eq\r(3).故选D．2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，则c的值为(C)A．4 B．8C．4或8 D．无解[解析]由3a＝eq\r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq\r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.3．假如等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(D)A．eq\f(5,18) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(7,8)[解析]设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cosA＝eq\f(4x2＋4x2－x2,2·2x·2x)＝eq\f(7,8)，故选D．4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)[解析]∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，即b＝eq\r(2)a，由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).5．(2024·平顶山高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)[解析]因为c＝2acosA，由余弦定理可得c＝2a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，将a＝3，b＝5代入整理得c＝2eq\r(6)，所以cosA＝eq\f(c,2a)＝eq\f(\r(6),3).故选D．二、填空题6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2<c2，且sinC＝eq\f(\r(3),2)，则C＝eq\f(2,3)π.[解析]由a2＋b2－c2<0知cosC<0，所以C为钝角．故C＝eq\f(2,3)π.7．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，AB＝2，则BC＝3eq\r(2).[解析]由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB，又因为B＝45°，AC＝eq\r(10)，AB＝2，所以(eq\r(10))2＝BC2＋22－2×BC×2×cos45°，整理，得BC2－2eq\r(2)BC－6＝0，所以(BC－3eq\r(2))(BC＋eq\r(2))＝0，解得BC＝3eq\r(2)或BC＝－eq\r(2)(舍去)，所以BC边的长为3eq\r(2).8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，a2＋c2－ac＝9，则角B＝eq\f(π,3).[解析]因为b＝3，a2＋c2－ac＝9，即a2＋c2－ac＝b2，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).故答案为eq\f(π,3).三、解答题9．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角．[解析]由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c是最大边，其所对角C为最大内角．由余弦定理推论得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°，即最大内角为120°.10．在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.[解析]在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，即72＝82－2bc＋bc，∴bc＝15.又b＋c＝8，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝5，,c＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝5.))B组·素养提升一、选择题1．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于(D)A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉，由向量模的定义和余弦定理可以得出|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(1,4).故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).2．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝(A)A．4eq\r(2) B．eq\r(30)C．eq\r(29) D．2eq\r(5)[解析]cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC，所以AB2＝1＋25－2×1×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，所以AB＝4eq\r(2).3．(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(AC)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)[解析]由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得eq\f(a2＋c2－b2sinB,\f(a2＋c2－b2,2ac))＝ac，∴sinB＝eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π.故选AC．二、填空题4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满意(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝eq\f(4,3).[解析]因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos60°，即c2＝a2＋b2－ab.①又因为(a＋b)2－c2＝4，所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝eq\f(4,3).5．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为eq\f(π,3).[解析]∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).三、解答题6．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试推断△ABC的形态．[解析](1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，与①联立，解得bc＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC为等边三角形．C组·探究创新