初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习4.2 指数函数（教师版）

4.2指数函数【知识梳理】知识点一指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数知识点三解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．知识点四指数型函数的单调性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．【基础自测】1．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则()A．a＝1或－1 B．a＝1C．a＝－1 D．a>0且a≠1【答案】C【详解】因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,2－a>0，,2－a≠1，))解得a＝－1.2．函数y＝eq\r(2x－1)的定义域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)【答案】C【详解】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.3．若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】【分析】任意指数函数一定过定点，根据该性质求解.【详解】令，得，所以，所以函数的图像恒过定点．故答案为：4．已知f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象如图，则f(3)＝________.【答案】3eq\r(3)－3【详解】由题意知，f(x)的图象过点(0，－2)和(2,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0＋b＝－2，,a2＋b＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)a＝－\r(3)舍，,b＝－3.))所以f(x)＝(eq\r(3))x－3，所以f(3)＝(eq\r(3))3－3＝3eq\r(3)－3.5．函数的定义域是____________，值域是____________．【答案】

（0，1]

【分析】由指数函数的定义域以及单调性得出其定义域和值域【详解】函数的定义域为，由，得出，即，故值域为【例题详解】一、指数函数的概念例1(1)（多选）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD.(2)下列函数中是指数函数的是_________.(填序号).①；②；③；④；⑤；⑥.【答案】①④⑤【分析】利用指数函数的定义直接判断.【详解】对于②为幂函数.根据指数函数的定义可以判断：①，④，⑤，所以①④⑤都是指数函数.对于③，⑥不是指数函数.故答案为：①④⑤跟踪训练1(1)（多选）下列函数中，是指数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可.【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合；对于B，且，故符合.故选：BC(2)若p：函数是指数函数，，则q是p的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可.【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2，∴q是p的必要不充分条件.故选：C．二、求指数函数的解析式、函数值例2(1)设函数满足，则

（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】由求出a，再求的值.【详解】∵

，，∴，又，∴

，∴，∴，故选：D.(2)已知指数函数的图象经过点，则______．【答案】【分析】设（且），根据函数过点，求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得.【详解】解：设（且），则，所以，即，所以.故答案为：跟踪训练2(1)已知函数，则的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据分段函数解析式计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A(2)已知，则f（3）等于（

）A． B．- C． D．【答案】A【分析】通过列方程进行求解即可.【详解】令，因此有，故选：A(3)已知指数函数，求.【答案】【分析】根据指数函数的概念，列出方程求得，得到函数的解析式，即可求解的值.【详解】由题意，函数为指数函数，可得，解得或（舍），所以，所以.三、指数函数的图象及应用例3(1)函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．(2)若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，当时，的图象如图所示，由已知得，；当时，的图象如图所示，由已知可得，，结合可得无解，综上可知，的取值范围为，故选：C(3)函数（且）的图象恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令指数为零，求出的值，代入函数解析式可得出函数图象所过定点的坐标.【详解】对于函数，则，可得，则，所以，函数（且）的图象恒过定点坐标为.故选：C.(4)（多选）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图像，结合图像即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图像，如图所示，由图像知，当时，，故选项A正确；做出直线，当时，若，则，故选项B正确；当时，若，则，故选项C正确；当时，易得，则，故选项D错误.故选：ABC.跟踪训练3(1)函数（）的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合指数函数的性质，分和两种情况求解即可.【详解】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；当时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．(2)已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函数图象，结合图象判断AB，再由讨论去掉绝对值号化简可判断CD．【详解】由图示可知，的符号不确定，，故A、B错；，如上图，满足，故C不一定成立，当时，由得，则，所以，故D正确．故选：D(3)已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】求出函数的图象所过的定点坐标，由此建立的关系，再利用均值不等式“1”的妙用求解作答.【详解】函数中，当，即时，恒有，则点，依题意，，即，又，因此，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.故选：D四、指数型函数的定义域和值域例4(1)函数的定义域是________．【答案】【分析】根据分母不为零，且偶次方根的被开方数为非负数得到不等式，解得即可.【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：(2)函数在上的最小值为___________.【答案】/【分析】分析函数在上的单调性，即可求得该函数在上的最小值.【详解】函数在上单调递增，所以，.故答案为：.(3)函数在区间［-1，1］上的最大值为___________.【答案】7【分析】利用换元法，令，即可求出最大值.【详解】令，则.所以即为.因为对称轴为，所以在.上单调递增，所以当时，为最大值.故答案为：7跟踪训练4(1)若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分和两种情况，由函数的单调性结合函数的最大值为4，求出的值，从而可求出函数的解析式，进而可求出函数的最小值.【详解】时，在上单调递增，则，解得，此时，.当时，在上单调递减，所以，解得，此时，.综上，m的值为或，故选：D.(2)函数的定义域为___________【答案】【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.【详解】由题，即，即，因为为单调递增函数，所以，即故答案为：(3)函数的最小值为___________.【答案】【分析】利用基本不等式可直接求得结果.【详解】，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故答案为：.五、比较大小例5(1)设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数的运算及指数函数的单调性即可求解.【详解】由题意可知，，，，又函数在上是单调递增函数，因为，所以，故，故选:C．(2)已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.【详解】，又因为通过计算知，所以，即，又，所以，所以.故选：B(3)已知函数，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的解析式以及单调性的性质可得函数在上单调递增，再利用指数函数、幂函数、构造函数研究自变量大小关系即可．【详解】解：函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，因为函数在上单调递减，所以；又函数在上单调递增，所以；构造，易知在单调递增，且，，，所以，故，又因为在上递增，所以.故选：D.跟踪训练5(1)已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通过化同指数比较和的大小，再通过化同底数比较和的大小.【详解】先比较和的大小：，，，，.然后比较和的大小：，，综上，.故选：D.(2)（多选）已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】将c改写成，利用和的单调性，分别与a，b比较大小.【详解】因为，，又，是减函数，所以，即，故A正确；因为，又，是增函数，所以，即，故B不正确；由于，所以，故C正确；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正确.故选：ACD.(3)（多选）若正数满足，则下列关系正确的是是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】构造函数，根据函数单调性得到，再依次判断每个选项即可.【详解】，故，函数单调递增，故，，故.对选项A：，正确；对选项B：若，则，即，错误；对选项C：若，则，错误；对选项D：若，则，正确.故选：AD六、简单的指数不等式的解法例6(1)设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】分别解不等式和，根据小范围推大范围，分析判断即可.【详解】若，解得，即解集；若，注意到在定义域内单调递增，解得；故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.(2)已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别求集合A、B，再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得，则，故.故选：C.(3)不等式的解集为______．【答案】【分析】先化为同底数的指数型函数，利用单调性可求答案.【详解】原式可化为，因为为减函数，所以，即，解得或，所以原不等式的解集为.故答案为：.跟踪训练6(1)已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解绝对值不等式、指数不等式求集合，再应用交运算求集合即可.【详解】由题设，，所以.故选：C(2)写出使“不等式对一切实数都成立”的的一个取值______．【答案】（答案不唯一）【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质，可得所求取值．【详解】解：当时，在上单调递增，由，可得；当时，在上单调递减，由，可得．因为不等式对一切实数都成立，所以，所以的取值可为．故答案为：（答案不唯一）．(3)解不等式(，且).【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【分析】根据已知不等式分和两种情况求不等式的解集.【详解】当时，等价于，解得;当时，等价于，解得.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.七、指数型函数的单调性例7(1)函数单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复合函数同增异减，即可判断出单调递增区间．【详解】由，设，则为减函数，求的单调递增区间，等价于求的单调递减区间，因为在单调递减，所以函数的单调递增区间是，故选：C．(2)（多选）设，，则（

）A．为偶函数 B．值域为C．在上是减函数 D．在上是增函数【答案】AC【分析】依题意，根据函数奇偶性的定义可判断A正确，当时，，结合指数函数的性质判断CD，根据的值域为判断B错误.【详解】函数定义域为，，所以函数为偶函数，故A正确；当时，，结合指数函数的性质知在上是减函数，故C正确，D错误，由的值域为，得函数的值域为，故B错误.故选：AC(3)已知函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】依题意可得，则问题转化为，再判断函数的单调性，即可将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为，所以，则，∴可化为，则，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以函数在上单调递增，∴，∴，∴原不等式的解集为.故选：D跟踪训练7(1)（多选）已知函数，则下列叙述正确的是（

）A．当时，函数在区间上是增函数B．当时，函数在区间上是减函数C．若函数有最大值2，则D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是【答案】BCD【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可.【详解】对于AB选项：当时，，因为在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确；对于C选项：若有最大值2，显然不成立，则函数有最小值，所以，解得，故C正确；对于D选项：若函数在上是增函数，则在是减函数，当时，显然成立，当时，由二次函数的性质可得，解得，所以的取值范围为，故D正确；故选：BCD(2)函数的单调递增区间为__________.【答案】【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可.【详解】设，则，对称轴为，当，即，即，即时，为减函数，函数为增函数，则为减函数，即函数单调减区间为；当，即，即，即时，为减函数，函数为减函数，则为增函数，即函数单调增区间为.故答案为：【课堂巩固】1．下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.【详解】解：为奇函数，，为偶函数，但在单调递增，所以在单调递减，而为偶函数且在单调递增.故选：A2．设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合A，B中元素范围，然后再求即可.【详解】，，.故选：C.3．若函数的图像不过第一象限，则a，b所满足的条件是（

）A．a>1，b<-1 B．0<a<1，b≤-1C．0<a<1，b<-1 D．a>1，b≤-1【答案】B【分析】根据指数型函数的单调性，结合指数运算的性质进行求解即可.【详解】当时，，因为的图像不过第一象限，所以有，故选：B4．已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示：由图象知，当时，，所以选项正确；作出直线，当时，若，则，所以选项正确；当时，若，则，所以选项正确．所以不可能成立的是，故选：．5．已知，，，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解.【详解】由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，所以.故选:B.6．（多选）设，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】结合选项及条件逐个判定，把代入可得A正确，利用指数函数单调性可得B错误，利用基本不等式可得C正确，利用1的代换及基本不等式可得D错误.【详解】对于A，，且，，解得，故A正确；对于B，，即，，故B错误；对于C，，且，，当且仅当时等号成立，，故C正确；对于D，，且，，当且仅当，即时等号成立，，，故D错误.故选：AC.7．（多选）若，则下列选项错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】将变为，即可设，并判断其单调性，从而得，结合指数函数的性质，一一判断各选项，即得答案.【详解】由题意可得，令，即为R上的单调增函数，故由可得，由于为R上的单调增函数，故，A错误；由于为R上的单调减函数，故，B错误；由于，故，，C错误，D正确；故选：8．若函数（，且）是指数函数，则________．【答案】8【分析】根据指函数的定义求解即可.【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以．故答案为：8.9．函数，则_________.【答案】【分析】根据给定条件变形，直接计算即可作答.【详解】因，于是得，所以.故答案为：10．函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为.故答案为：.11．已知，，，则a，b，c三者的大小关系______．【答案】【分析】根据函数的单调性比较大小．【详解】解：，，构造函数，为R上的递增函数，，．故答案为：．12．若关于x的方程有负根，则实数a的取值范围____________．【答案】【分析】关于x的方程有负根可转化为指数函数与在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a的取值范围．【详解】关于x的方程有负根等价于指数函数与在第二象限有交点，则当时，与在第二象限有交点，所以实数a的取值范围．故答案为：．13．函数的单调递增区间是______．【答案】【分析】利用二次函数和指数函数的单调性判断指数复合函数的单调性即可.【详解】由，即上递增，上递减，又在定义域上递增，所以上递增，上递减，故递增区间为.故答案为：14．已知在上恒成立，则实数m的最小值是_________．【答案】【分析】将不等式等价转化为，求出右端函数在上的最小值即可.【详解】因为在上恒成立，也即，因为在上单调递减，所以，也即，所以，则，所以实数的最小值为，故答案为：.15．已知指数函数经过点.(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数，的值域.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求得的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.（2）结合指数函数以及二次函数的知识求得正确答案.【详解】（1）依题意（负根舍去），，在上递增，在区间上递减，在区间上递增，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是.（2），.16．已知函数，．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)若，求函数的单调区间．【答案】(1)(2)函数的单调递增区间为，单调递减区间【分析】（1）若恒成立，则函数的最小值大于1，利用换元法，结合指数函数和二次函数的图象和性质，求解可得实数的取值范围；（2）若，令，，结合复合函数的单调性和指数函数的单调性，可得函数的单调区间．【详解】（1）令，，则，，的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，故当时，即时，函数取最小值，若恒成立，则，解得.（2）若，则，令，，则，，由的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，故在上为减函数，在上为增函数，又由为增函数，且时，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间【课时作业】1．若，则函数与的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解.【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为故只有A项正确．故选：A.2．已知集合，，则（）A．{0，1} B．{－1，0}C．{－1，0，1} D．{－2，－1，0，1，2}【答案】C【分析】根据指数函数的单调性求解出的解集为，然后根据集合的交集运算即得.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选：C.3．函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数性质判断题设函数所过的定点坐标.【详解】由题设，当，即时，，所以函数过定点.故选：B4．已知函数的图象关于直线对称，则a＝（

）A．1 B．2 C．0 D．-2【答案】B【分析】根据的对称性，结合函数图象平移得到关于直线对称的函数式，即可确定参数a的值.【详解】函数的图象关于y轴对称，将函数的图象向右平移2个单位长度可得函数的图象，所以函数的图象关于直线对称，故．故选：B5．若，，且满足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性判断即可.【详解】由，可得.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.综上，.故选：C6．若，则，，的大小关系是（

）A． B．；C．； D．．【答案】B【分析】直接感觉指数函数与幂函数的单调性进行比较大小即可.【详解】，，，，，得，.，在上单调递减..综上所述：.故选：B7．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用不等式的性质与指数函数的单调性证得充分性，再举反例排除必要性，从而得解.【详解】证充分性：因为，所以，，则，所以，故是的充分条件；排除必要性：令，则，，满足，但不满足，所以不是的必要条件；综上：“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8．设，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，，，由，即可得大小，即可得答案.【详解】解：因为，，，又因为，所以，所以.故选：D.9．若，则下列各选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用特值法可判断AB；用幂函数的性质可判断C；用指数函数的性质可判断D【详解】对于A：取，则，故A错误；对于B：取，则，故B错误；对于C：函数在上单调递增，又，所以，故C正确；对于D：函数在上单调递增，又，所以，所以，故D错误；故选：C10．设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】参变分离，换元后得到（），要想方程有实数解只需与有交点，根据单调性求出，从而得到，求出a的取值范围.【详解】因为，所以，令（），则（），要想方程有实数解只需与有交点即可；设，当时，单调递增，所以，即时，解得：，故a的取值范围是为：.故选：C.11．（多选）若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据函数(且)的图像经过第一、二、三象限，判断a，b的范围，再由指数函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为函数(且)的图像经过第一、二、三象限，所以，，所以是增函数，是减函数，则，，故选：BC.12．（多选）函数，存在实数使得，则下列关系式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】作出函数图象，得关系，对每个选项逐一判断【详解】作出函数的图象如图所示：存在实数使得，由图可知：，即，A正确；函数在上为增函数，则，，B正确；，C错误；，D错误．故选：AB．13．（多选）下列结论中，正确的是（

）A．函数是指数函数B．若，则C．函数的值域是D．函数的图像必过定点【答案】CD【分析】对于A项,根据指数函数的定义求解；对于B项，当时验证；对于C项，根据的范围求解即可；对于D项，根据求解.【详解】对于A项，函数的指数位置不符合指数函数，故A不正确.对于B项，当时，时，，故B不正确.对于C项，，，故函数的值域是所以C正确.对于D项，因为，函数的图像必过定点,故D正确.故选：CD14．