2022年湖南省长沙市长郡湘府中学高三数学第一学期期末监测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A． B．C． D．3．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．4．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．5．已知函数（）的部分图象如图所示.则（）A． B．C． D．6．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是()A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.7．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A． B． C． D．8．若实数、满足，则的最小值是（）A． B． C． D．9．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（）A． B． C． D．10．为计算，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）A． B． C． D．11．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．12．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为．14．数据的标准差为_____．15．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.16．已知函数，若，则的取值范围是__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．（1）求证：平面ACD；（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．18．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.（1）证明:点在轴的右侧;（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率19．（12分）已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.20．（12分）在锐角中，，，分别是角，，所对的边，的面积，且满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．21．（12分）设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．22．（10分）设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若点在线段上，求的最小值；（Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点．记，则过原点作的切线，设切点为，则切线方程为，又切线过原点，即，将，代入解得．所以切线斜率为，所以或．故选：C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.2、B【解析】

甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．3、D【解析】

由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意得，，得，解得，得.当时，；当时，，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.4、D【解析】

，，得解．【详解】，，，所以，故选D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．5、C【解析】

由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.【详解】依题意，，即,解得；因为所以，当时，.故选:C.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.6、D【解析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.7、A【解析】

列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.8、D【解析】

根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，可得点，由得，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．9、D【解析】

由得，分别算出和的值，从而得到的值.【详解】∵，∴，∴，当时，，∴，当时，，∴，∴，故选：D.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10、A【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．故选：A．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．11、D【解析】

根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.12、C【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.14、【解析】

先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】解：样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为：【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.15、【解析】

设，，，根据勾股定理得出，而由椭圆的定义得出的周长为，有，便可求出和的关系，即可求得椭圆的离心率.【详解】解：由已知，的三边长，，成等差数列，设，，，而，根据勾股定理有：，解得：，由椭圆定义知：的周长为，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴离心率.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.16、【解析】

根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.【详解】当时，，，当时，，所以，故的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2），最大值．【解析】

（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴，．∵平面ABC，平面ABC，∴．∵AB是圆O的直径，∴，且，平面ADC，∴平面ADC．∵，∴平面ADC．（2）解∵平面ABC，，∴平面ABC．在中，，．在中，∵，∴，∴，∴．∵，当且仅当，即时取等号，∴当时，体积有最大值．【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率．【详解】（1）由题意，得，直线（）设，，联立消去，得，显然，，则点的横坐标，因为，所以点在轴的右侧．（2）由（1）得点的纵坐标．即．所以线段的垂直平分线方程为：．令，得；令，得．所以的面积，的面积．因为与的面积相等，所以，解得．所以当与的面积相等时，直线的斜率．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19、（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】

（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、A【解析】

由正弦定理化简得，解得，进而得到，利用正切的倍角公式求得，根据三角形的面积公式，求得，进而化简，即可求解.【详解】由题意，在锐角中，满足，由正弦定理可得，即，可得，所以，即，所以，所以，则，所以，可得，又由的面积，所以，则.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.21、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）当时，将所求不等式变形为，然后分、、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可证得结论.【详解】（1）当时，不等式为，且.当时，由得，解得，此时；当时，由得，该不等式不成立，此时；当时，由得，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）由，得，即或，不等式的解集为，故，解得，，，，，当且仅当，时取等号，．【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算