2023八年级数学下册 第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数第4课时 分段函数教案 （新版）新人教版

2023八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数第4课时分段函数教案（新版）新人教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是分段函数。学生在学习本节课之前已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，本节课是在此基础上进行的拓展。本节课的主要内容包括：分段函数的定义、分段函数的图像和性质。通过学习本节课，学生能够更深入地理解函数的概念，提高解决实际问题的能力。

本节课的教学内容与学生已有知识的联系：学生在七年级学习了函数的基本概念，八年级上册学习了一次函数的性质，为本节课的学习打下了基础。本节课将在这些已有知识的基础上，进一步引导学生深入理解函数的概念，提高解决实际问题的能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。通过学习分段函数的概念和性质，学生能够将实际问题转化为数学问题，并用数学语言进行表达和分析。同时，通过绘制分段函数的图像，学生能够加深对函数性质的理解，提高直观想象能力。此外，学生在解决实际问题的过程中，能够运用数学知识进行解释和推理，提高数学建模和数学应用的能力。总之，本节课的目标是培养学生对函数概念的深入理解，提高学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学应用等核心素养。重点难点及解决办法重点：1.分段函数的定义与性质；2.分段函数图像的绘制与分析。

难点：1.分段函数在不同区间的解析式变化；2.分段函数图像的绘制与性质的理解。

解决办法：1.通过具体例题引导学生理解分段函数的定义，让学生在实际问题中体会分段函数的性质；2.利用数形结合的思想，让学生通过绘制函数图像，直观地理解分段函数在不同区间的变化规律；3.设计富有挑战性的练习题，让学生在解决实际问题的过程中，加深对分段函数性质的理解和应用。教学方法与手段教学方法：

1.问题驱动法：通过提出实际问题，引发学生的思考，激发学生解决问题的欲望，从而引导学生主动学习分段函数的知识。

2.案例分析法：选取具有代表性的案例，让学生分析和讨论，培养学生运用分段函数解决实际问题的能力。

3.小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作，让学生在讨论中思考，在合作中学习，提高学生的团队协作能力和沟通能力。

教学手段：

1.多媒体教学：利用多媒体课件，生动形象地展示分段函数的图像和性质，帮助学生直观地理解分段函数的概念。

2.在线教学平台：利用在线教学平台，提供丰富的学习资源，方便学生随时随地学习，提高学生的学习自主性。

3.数学软件辅助教学：运用数学软件，如GeoGebra等，让学生亲自动手绘制分段函数的图像，增强学生的实践操作能力。

4.互动式教学：通过课堂提问、讨论等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，提高学生的思维能力和表达能力的。教学流程1.导入新课（5分钟）

通过提出一个实际问题，如“某商场举行打折活动，折扣率与购物金额有关，当购物金额在0-1000元时，折扣率为8折；当购物金额在1000-2000元时，折扣率为7折；当购物金额在2000元以上时，折扣率为6折。请列出折扣率的函数表达式。”让学生思考并引入分段函数的概念。

2.新课讲授（15分钟）

①分段函数的定义与性质（5分钟）：以商场折扣率为例，引导学生理解分段函数的定义，即在不同的区间内，函数的表达式可能不同。并讲解分段函数的性质，如在每个区间内的单调性、最值等。

②分段函数图像的绘制与分析（10分钟）：引导学生利用数形结合的思想，绘制分段函数的图像，并分析图像的特性。例如，通过绘制商场折扣率的图像，让学生观察到在不同区间内，折扣率的取值变化。

3.实践活动（10分钟）

①自主探究（3分钟）：学生自主探究分段函数的性质，如单调性、最值等，并尝试解释实际问题中的分段函数。

②小组合作（4分钟）：学生分组讨论，共同解决实际问题，如“某商品的原价为1000元，根据折扣率函数，求购买该商品的实际支付金额。”

③互动交流（3分钟）：各小组向全班展示解题过程和答案，分享解决实际问题的经验。

4.学生小组讨论（10分钟）

①讨论分段函数在实际问题中的应用（2分钟）：学生举例说明分段函数在实际问题中的应用，如交通限速、温度变化等。

②探讨分段函数图像的绘制方法（2分钟）：学生讨论如何绘制分段函数的图像，并提出绘制图像的技巧。

③分析分段函数的性质（6分钟）：学生分析分段函数在不同区间内的性质，如单调性、最值等，并解释其原因。

5.总结回顾（5分钟）

对本节课的内容进行总结，回顾分段函数的定义、性质和应用。强调分段函数在解决实际问题中的重要性，并鼓励学生在日常生活中发现和应用分段函数。

总用时：45分钟知识点梳理1.分段函数的定义：分段函数是指在定义域的不同区间内，函数的表达式可能不同的函数。一般形式为：

```

f(x)={

g_1(x),x∈D_1,

g_2(x),x∈D_2,

...

g_n(x),x∈D_n

}

```

其中，`g_i(x)`为分段函数在第`i`个区间内的表达式，`D_i`为第`i`个区间的定义域。

2.分段函数的性质：

-单调性：分段函数在各个区间内可能是单调递增或单调递减的，但整个分段函数的单调性取决于各个区间内的单调性。

-连续性：分段函数在各个区间的分界点处可能不连续，但整个分段函数在其定义域内是连续的。

-有界性：分段函数在各个区间内可能是有界的，但整个分段函数在其定义域内可能有界或无界。

3.分段函数的图像：分段函数的图像是由各个区间内函数图像拼接而成的。在绘制分段函数的图像时，需要注意以下几点：

-在每个区间内，函数图像应反映出该区间内函数的单调性、最值等性质。

-在各个区间分界点处，函数图像可能存在断点，需特别标注。

-整个分段函数的图像应体现出各区间图像的拼接关系。

4.分段函数的应用：分段函数在实际问题中的应用非常广泛，如交通限速、商品折扣、温度变化等。在解决实际问题时，需要根据具体情况合理选择分段函数模型，并分析分段函数在不同区间内的性质。

5.分段函数的求解方法：求解分段函数的关键在于正确找出各个区间内的函数表达式，并运用相应的求解方法。常见的求解方法有：

-解析法：根据分段函数的定义，直接写出各个区间内的函数表达式，并求解。

-图像法：绘制分段函数的图像，通过观察图像找出关键点，从而求解。

-数值法：利用数值计算方法，如插值、迭代等，求解分段函数。教学反思在今天的课堂上，我讲授了分段函数的相关知识，通过问题驱动法引入新课，引导学生从实际问题中抽象出分段函数的概念。在讲授过程中，我注重与学生的互动，鼓励他们积极参与课堂讨论，提出问题和观点。我发现学生在理解分段函数的性质和绘制图像方面存在一定的困难，因此在课堂中我多次举例解释，并引导学生通过小组合作解决问题。

在实践活动环节，我给予了学生足够的自主探究时间，让他们通过实际操作来加深对分段函数的理解。同时，我也组织了小组讨论，让学生相互交流思路和方法，提高了他们的合作能力。通过这一环节，我发现学生在解决实际问题时的运用能力有所提高，但仍有部分学生在绘制图像方面存在困惑，这需要在今后的教学中进一步加强指导。

在教学过程中，我充分利用了多媒体教学手段，通过展示分段函数的图像和实际问题，帮助学生直观地理解分段函数的概念和性质。同时，我也引导学生利用数学软件进行实际操作，提高了他们的实践能力。然而，我发现部分学生对数学软件的操作不熟悉，影响了他们在实践活动中的表现，这需要在今后的教学中加强学生的计算机操作能力的培养。

在总结回顾环节，我让学生回顾了本节课所学的内容，并鼓励他们在日常生活中发现和应用分段函数。通过这一环节，我希望学生能够巩固所学知识，并将其运用到实际生活中。

总体来说，今天的教学过程比较顺利，学生对分段函数的概念和性质有了初步的认识。但在教学过程中，我也发现了一些问题，如部分学生在理解分段函数的性质和绘制图像方面存在困难，以及部分学生对数学软件的操作不熟悉。在今后的教学中，我将继续关注这些问题，并采取相应的措施进行改进，以提高学生的学习效果。典型例题讲解1.例题一：已知分段函数

f(x)={

x,x∈[-1,1],

2x-3,x∈(1,3],

-x+5,x∈(3,5]

}

求f(2)和f(-2)。

答案：f(2)=1，f(-2)=-1。

解析：此题主要考查分段函数的定义和求值。根据分段函数的定义，当x∈[-1,1]时，f(x)=x；当x∈(1,3]时，f(x)=2x-3；当x∈(3,5]时，f(x)=-x+5。因此，f(2)=2×2-3=1，f(-2)=-(-2)+5=-1。

2.例题二：已知分段函数

g(x)={

-x^2+2x+1,x∈[-1,1],

x^2-4x+3,x∈(1,3]

}

画出g(x)的图像。

答案：见附图。

解析：此题主要考查分段函数图像的绘制。根据分段函数的定义，当x∈[-1,1]时，g(x)=-x^2+2x+1；当x∈(1,3]时，g(x)=x^2-4x+3。根据这两个表达式，我们可以分别画出两个区间的函数图像，然后将它们拼接起来，得到g(x)的完整图像。

3.例题三：已知分段函数

h(x)={

|x-2|,x∈[-1,2],

|x+1|,x∈(2,4]

}

求h(3)和h(-3)。

答案：h(3)=2，h(-3)=4。

解析：此题主要考查分段函数的定义和求值。根据分段函数的定义，当x∈[-1,2]时，h(x)=|x-2|；当x∈(2,4]时，h(x)=|x+1|。因此，h(3)=|3-2|=1，h(-3)=|-3+1|=2。

4.例题四：已知分段函数

p(x)={

x^3-2x^2+x,x∈[-1,1],

-x^2+4x-3,x∈(1,3]

}

求p(x)在区间[-1,3]上的单调性。

答案：当x∈[-1,1]时，p(x)单调递增；当x∈(1,3]时，p(x)单调递减。

解析：此题主要考查分段函数的单调性。根据分段函数的定义，当x∈[-1,1]时，p(x)=x^3-2x^2+x，求导得p'(x)=3x^2-4x+1，令p'(x)=0，解得x=1/3。当x∈(1,3]时，p(x)=-x^2+4x-3，求导得p'(x)=-2x+4，令p'(x)=0，解得x=2。根据导数与单调性的关系，可以得出p(x)在区间[-1,1]上单调递增，在区间(1,3]上单调递减。

5.例题五：已知分段函数

q(x)={

(x-1)^2,x∈[-1,1],

-(x-1)^2,x∈(1,3]

}

求q(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

答案：最大值为2，最小值为-2。

解析：此题主要考查分段函数的最值。根据分段函数的定义，当x∈[-1,1]时，q(x)=(x-1)^2，当x∈(1,3]时，q(x)=-(x-1)^2。可以分别求出两个区间的最大值和最小值，然后比较它们的大小。当x∈[-1,1]时，q(x)的最大值为0，最小值为1；当x∈(1,3]时，q(x)的最大值为2，最小值为-1。因此，q(x)在区间[-1,3]上的最大值为2，最小值为-2。板书设计①重点知识点：分段函数的定义、分段函数的性质、分段函数的图像、分段函数的应用。

板书设计：以表格的形式列出分段函数的定义、性质、图像和应用，用不同的颜色标注关键词，如“分段函数”、“定义”、“性质”、“图像”、“