广东省广州市越秀区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市越秀区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的实部是（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因为，所以复数的实部是.故选：B.2.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以，即，即，即，解得.故选：A.3.在中，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，又，所以.故选：C.4.为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度〖答案〗A〖解析〗为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度.故选：A.5.从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（）A.在有放回简单随机抽样方式下，B.在不放回简单随机抽样方式下，C.在按性别等比例分层抽样方式下，D.在按性别等比例分层抽样方式下，〖答案〗D〖解析〗记3名男生为，3名女生为，对于选项A，有放回简单随机抽样的样本空间为：123abc1(1，1)(1，2)(1，3)(1，a)(1，b)(1，c)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，a)(2，b)(2，c)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，a)(3，b)(3，c)a(a，1)(a，2)(a，3)(a，a)(a，b)(a，c)b(b，1)(b，2)(b，3)(b，a)(b，b)(b，c)c(c，1)(c，2)(c，3)(c，a)(c，b)(c，c)共36个样本点，事件有9个样本点，所以，故选项A错误；对于选项B，不放回简单随机抽样的样本空间为：123abc1×(1，2)(1，3)(1，a)(1，b)(1，c)2(2，1)×(23)(2，a)(2，b)(2，c)3(3，1)(3，2)×(3，a)(3，b)(3，c)a(a，1)(a，2)(a，3)×(a，b)(a，c)b(b，1)(b，2)(b，3)(b，a)×(b，c)c(c1)(c，2)(c，3)(c，a)(c，b)×共30个样本点，事件有18个样本点，所以，故选项B错误；对于选项C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以，故选项C错误；对于选项D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间为，共有9个样本点，事件，所以，故选项D正确.故选：D.6.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.中位数为，众数为 B.平均数为，中位数为C.中位数为，极差为 D.平均数为，标准差为〖答案〗C〖解析〗对于A：当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，所以A不可以判断；对于B：当掷骰子出现的结果为1，1，3，4，6时，满足平均数为3，中位数为3，可以出现点6，所以B不能判断；对于C：因为中位数为，极差为，则最大数不超过，故一定不会出现，故C正确；对于D，若平均数为，且出现点数为，则其余个数的和为，即均为，所以其标准差为，故D错误.故选：C．7.三棱锥中，，，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（）A.3 B.4 C.6 D.12〖答案〗B〖解析〗因为，，，平面，所以平面，平面，所以，则，所以，又，所以，，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.故选：B.8.在四棱锥中，，，则下列结论中不成立的是（）A.平面内任意一条直线都不与平行B.平面内存在无数条直线与平面平行C.平面和平面的交线不与底面平行D.平面和平面的交线不与底面平行〖答案〗D〖解析〗因为，，所以四边形为梯形，且、不平行，对于A：若平面内存在直线与平行，又平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，与、不平行矛盾，所以平面内任意一条直线都不与平行，故A正确；对于B：因为平面和平面的一个交点为，故二者存在过点的一条交线，在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，故B正确；对于C：若平面和平面的交线与底面平行，设平面和平面的交线为，则平面，因为平面平面，平面，所以，同理可得，所以，与、不平行矛盾，所以平面和平面的交线不与底面平行，故C正确；对于D：因为，平面，平面，所以平面，设平面和平面的交线为，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，故平面和平面的交线与底面平行，故D错误.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号为2”，事件“第二次摸出球的标号为3”，事件“两次摸出球的标号之和为4”，事件“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A.事件与互斥 B.事件与相互独立C.事件与互斥 D.事件与相互独立〖答案〗CD〖解析〗设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个，事件发生包含的基本事件有：，，有个，事件发生包含的基本事件有：，，有个，事件发生包含的基本事件：，有个，事件发生包含的基本事件：，，，有个，显然当出现时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误；事件与不可能同时发生，即事件与互斥，故C正确；又，，，事件与不可能同时发生，即事件与互斥，则，故事件与不独立，故B错误；事件发生包含的基本事件：有个，所以，因为，所以与相互独立，故D正确.故选：CD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期是 B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以的最小正周期，故A错误；，所以的图象关于点对称，故B正确；因，所以的图象关于直线对称，故C正确；若，则，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：BCD.11.已知为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为〖答案〗AC〖解析〗对于A：若，即，所以，故A正确；对于B：因为，所以，而，故B错误；对于C：设、在复平面内对应的向量为、，则且，所以，即，解得，所以，即，故C正确；对于D：设，由，即，所以，所以复数在复平面内对应的点在如图所示的圆环内（不含边界）圆心为坐标原点，半径分别为、，所以复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为，故D错误.故选：AC.12.在中，，将分别绕边，，所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为，，，体积分别记为，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为，所以其体积，其侧面积；将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥，其底面半径是，母线长为，高为，所以其体积，其侧面积；将绕边（）所在的直线旋转一周形成的几何体是两个底面重合的圆锥，其底面半径是，母线长分别为和，高之和为，所以其体积，其侧面积，对于A：，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，而，所以，故C错误；对于D：，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又，所以，解得，所以，则，，所以在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：性别人数平均数方差男生10017218女生6016430根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差______.〖答案〗〖解析〗根据题意，在样本中，男生有人，女生有人，则其平均数，其方差.故〖答案〗为：．15.如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于扇形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为______.〖答案〗〖解析〗如图，连接，因为，所以，又因为矩形ABCD，，所以，从而可得，所以，，且，为等边三角形，，又因为矩形ABCD，，，过点B作的垂线，垂足为N，设，，，，在中，，，，，，当，即时，矩形面积最大，且最大值为故〖答案〗为：16.已知四边形ABCD是正方形，将沿AC翻折到的位置，点G为的重心，点E在线段BC上，平面，.若，则______，直线GB与平面所成角的正切值为______.〖答案〗23〖解析〗如图所示：空1：延长交于点，连接，则为中点，如下图所示：因为平面，平面，平面平面，所以，因为点G为的重心，所以，所以.空2：取中点，连接，则，设正方形ABCD边长为2，因为，，所以，又则为中点，所以，中，，同理可得，，因为，所以，又，所以平面，则为在平面内的投影，所以或其补角为直线GB与平面所成角，中，，.故〖答案〗为：23.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准（单位：），使得用户月均用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费.通过随机抽样，获得了该市户居民生活月均用水量（单位：）的数据，整理得到如下的频率分布直方图.（1）求这户居民生活月均用水量在区间内的频率；（2）若该市政府希望的居民生活月均用水量不超过标准，试估计的值，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图可知内的频率为.（2）因为，又，，则，依题意可得，解得.所以要使的居民生活月均用水量不超过标准，则居民生活用水量标准为.18.如图是函数在一个周期上的图象，点是函数图象与轴的交点，点，分别是函数图象的最低点与最高点，且.（1）求的最小正周期；（2）若，求的〖解析〗式.解：（1）设的最小正周期为，依题意设，则，，所以，，所以，即，解得或（舍去）.（2）由（1）可得，解得，所以，又，即，即，所以，所以，解得，又，所以，所以.19.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，乙先发球，两人又打了个球该局比赛结束.（1）求事件“”的概率；（2）求事件“且乙获胜”的概率.解：（1）依题意若，则甲连赢球或甲连输球，所以.（2）若且乙获胜，则在前个球中乙赢一个、输一个，而后乙连赢球，记且乙获胜为事件，所以.20.如图，在直三棱柱中，.（1）证明：平面平面；（2）若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并说明理由.解：（1）证明：在直三棱柱中，易知，又，，且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）过作垂直于点，连接，由（1）可知平面平面，又平面平面，所以平面，垂足为，则是直线与平面所成的角，即，由（1）可知平面，所以，又，所以是二面角的平面角，即，在中，，在中，又，得，又，，所以.21.已知内角、、的对边分别为、、，且.（1）求；（2）若点在边上，且，，求.解：（1）因为，正弦定理可得，即，即，因为、，则，所以，，即，所以，，因为，所以，，故.（2）因为点在边上，且，，则，则，即，所以，，①由余弦定理可得，又因为，所以，，②联立①②可得.22.如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且.（1）设平面，求证：；（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；（3）当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.解：（1）连接，因为且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以.（2）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，设，连接，由为的中点，得为的中点，，所以平面即为平面，因为为的中点，所以为的中点，所以平