福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习数学试卷一、单选题1.等比数列中，，，记为的前n项和，则（）A. B. C. D.0〖答案〗D〖解析〗设等比数列公比为，则，因为，则，又，故，，，则．故选：D2.已知集合，，若，则（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗C〖解析〗，，若，则，，故．故选：C.3.已知圆的内接四边形中，，，，则（）A.-3 B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗圆的内接四边形中，，则，在中，，在中，，所以．故选：A4.已知复数满足，，则（）A. B.2 C.-2 D.〖答案〗B〖解析〗设复数，，由，得，解得，，∴，∴.故选：B．5.设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、．若，则E的离心率等于（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗设双曲线的方程为，且，则E的两条渐近线方程分别为，．设直线的倾斜角为，则，易得≌，所以，且，从而，所以，故，即，整理，得，故E的离心率等于．故选：C6.数学家泰勒给出如下公式：，，这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．若根据以上公式估算的值，则以下数值中最精确的是（）A.0.952 B.0.994 C.0.995 D.0.996〖答案〗C〖解析〗由题意可得：．故选：C.7.甲、乙、丙、丁四位同学报名参加4项不同的趣味运动项目，每人只能报一项，则在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同有种可能．四位同学所报项目各不相同有种可能．在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率，故选:B．8.函数在的最大值为m，在的最大值为n，则以下命题为假命题的是（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且〖答案〗A〖解析〗A：若，，则，得，所以，故，所以，，得，，所以，矛盾，故A为假命题；B：当时，函数在的最大值为，在上的最大值为，此时，，故，且，故B为真命题；C：当时，函数在最大值为，在上的最大值为，此时，，故，且，故C为真命题；D：当时，函数在的最大值为，在上的最大值为1，此时，，故，且，故D为真命题．故选：A．二、多选题9.已知，，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意，得，，，对于A，，故A正确；对于B，取，，则，故B错误；对于C，取，，则，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：AD10.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则以下说法正确的是（）A.B.的周长的最大值为6C.若，则为正三角形D.若边上的中线长等于，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，，即可得到，又，所以，故A项错误．对于B，由余弦定理，利用基本不等式可知，所以，当且仅当时取等号，此时周长最大值为6，故B项正确．对于C，由B项可知当时，，则，故为正三角形，故C项正确．对于D，设边上的中线为，设，在中，，在中，，联立可解得，则，故D项错误．故选：BC.11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．已知正三棱台中，，棱，的中点分别为，．若该棱台顶点，的曲率之差为，则（）A.B平面C.直线与平面所成角的正弦值等于D.多面体顶点D的曲率的余弦值等于〖答案〗BC〖解析〗正三棱台中，棱，的中点分别为，，延长，相交于P，设O为的中心，棱的中点为E，以过O且平行于的直线为x轴，直线为y轴，直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，∵正三棱台的顶点，的曲率之差为，∴，则，又，∴，，令，则，，，，，，，，．对于A，∵，，，∴与不垂直，故A错误；对于B，∵，，则，同理，，又，平面，∴平面，即平面，故B正确；对于C，∵，，令平面，即平面的法向量为，则，取，得，令直线与平面所成角为，∴，故C正确；对于D，∵，，∴，又多面体顶点D的曲率，∴，故D错误．故选：BC．三、填空题12.菱形中，，，则__________．〖答案〗-3〖解析〗由题意，在菱形中，，，可得，，∴，解得：．故〖答案〗为：-3．13.已知四面体有两个面是边长为2的正三角形，另外两个面是直角三角形，则该四面体的体积等于__________．〖答案〗〖解析〗由题意,作出图象如下图所示，在三棱锥中，，，取的中点，连结，，在和中，由几何知识得，两三角形为等腰直角三角形，∴又平面，平面，，所以平面．故，分别是三棱锥和三棱锥的高，从而．在中，，，，∴．所以．故〖答案〗：14.已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________．〖答案〗〖解析〗如图，设，，则，依题意，四边形为矩形，则，即，所以，即，则，所以顶点的轨迹方程为，故〖答案〗为:．四、解答题15.某公司为了解年研发资金（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程：①；②．（1）求的值；（2）已知①中的残差平方和，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值．参考数据：，，，．参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数．解：（1）根据题意，，，所以样本中心点为，代入经验回归方程，得，解得.所以的值为.（2）设经验回归方程①的决定系数为，由，则，设经验回归方程②的决定系数为，由，则，因为，所以经验回归方程②的拟合效果更好；当时，，所以年研发资金为20亿元时的年产值约为亿元．16.已知函数．（1）当时，若直线与曲线相切，求；（2）若直线与曲线恰有两个公共点，求．解：（1）当时，，，因为直线与曲线相切，设切点为，则切线斜率，可得，解得或，所以或．（2）因为直线与曲线恰有两个公共点，所以方程，即方程有两个不等实根，因为是方程的一个根；当时，方程可化为（*），依题意，方程（*）有不等于的唯一根，因为，若，则（*）即，，满足条件；若，则由，解得：．综上所述，或．17.如图所示的几何体是由圆锥与圆柱组成的组合体，其中圆柱的轴截面是边长为2的正方形，圆锥的高，M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点．（1）求证：∥平面；（2）若，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．（1）证明：连结，，设圆锥的底面所在平面为，则，，所以S，，O三点共线．从而，所以点S，D，C，O共面．又因为，，所以四边形为平行四边形，故，因为M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点，所以平面，又平面，所以平面．（2）解：如图，以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，设，则，即，且，则，，，设平面的法向量，则，即，整理得，令，则．因为，所以，从而，所以．设直线与平面所成角为，则，故．因为，所以，从而，解得，所以直线与平面所成角的正切值的取值范围为．18.设A，B为椭圆C：的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上．（1）求直线，的斜率的乘积；（2）证明：；（3）过右焦点F作x轴的垂线，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．（1）解：不妨设，，设，则直线，的斜率分别为，，所以．又因为，所以，故，即直线，的斜率的乘积为．（2）证明：由椭圆的对称性，不妨设P位于第一象限或长轴右端点，设直线，的倾斜角分别为，，则．由（1）知，，故，从而，当且仅当时等号成立，此时P为C的右顶点．因为，又因为，且，所以．（3）解：设，①当在轴上时，，不妨设，，，，，从而；②当不在轴上时，设，，直线：，由得，所以．由消去，得，因为直线过点，则，从而，（*），又．将（*）式代入上式，得．综上，可得，即，，或，，成等差数列．19.将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、第n块，将前块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为．①比较与的大小；②对于无穷数列，如果存在常数，对任意的正数，总存在正整数，使得，，则称数列收敛于，也称数列的极限为，记为；反之，则称不收敛．请根据数列收敛的定义判断是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．解：（1）依题意，第1块铁块比第2块铁块向桌外伸出部分的最大长度为第1块铁块自身长度的一半，则，由为等差数列，得其首项为，公差，因