福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由复数的运算法则，可得复数，复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.已知复数z的共轭复数满足，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，所以.故选：C.3.已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（）A.若，，则B.若，且，，则C.若，，则D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对于A：若，，则或，故A错误；对于B：当，，，且与相交时，故B错误；对于C：若，，则或与异面，故C错误；对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.故选：D.4.已知向量满足，向量与的夹角为，则（）A.12 B.4 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，向量与的夹角为．所以，所以．故选：C．5.已知向量，则在上的投影向量为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又因为，，所以，所以在上的投影向量为.故选：D.6.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（

）A. B.C.四边形的周长为 D.四边形的面积为〖答案〗D〖解析〗如图可知，四边形的周长为，四边形的面积为.故选：D.7.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，解得或，又，所以，则，所以.故选：C.8.如图，在长方体中，，点B到平面的距离为（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得点到平面距离为三棱锥的高，设点到平面距离为，取中点，连接，因为为长方体，所以，所以，，，，所以，，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的内角所对的边分别为，则下列命题正确的是（）A.若，则一定为等腰三角形B.若，则C.若，则的最大内角为D.若为锐角三角形，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由正弦定理得：，所以一定为等腰三角形，故A正确；对于B，因为，又在时为减函数，所以，故B错误；对于C，因为，所以角为最大角，设，由余弦定理得：，因为，所以，故C正确；对于D，若为锐角三角形，则，即，因为，所以，因为函数在时为增函数，所以，故D正确.故选：ACD.10.在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（）．A.A，C，，四点共面 B.，M，O三点共线C.平面 D.与BD异面〖答案〗ABD〖解析〗由正方体性质，，所以A，C，，四点共面，A正确；∵直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面，为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，平面，且平面，又平面，且平面，面与面相交，则，，在交线上，即三点共线，故选项正确；平面平面，平面，但，所以平面，C错误；平面，面，，所以与BD为异面直线，D正确.故选：ABD.11.如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（）A.直线与直线共面B.C.二面角的平面角余弦值为D.过点，，的平面，截正方体的截面面积为9〖答案〗ABC〖解析〗对于A项，如图①，分别连接，在正方体中，易得四边形是矩形，故有，又分别是棱的中点，则，故，即可确定一个平面，故A项正确；对于B项，如图②，，故B项正确；对于C项，如图③，连接交于，，平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，即是二面角的平面角，又，故，故C项正确；对于D项，如图④，连接易得因平面平面，则为过的平面与平面的一条截线，即过点的平面即平面.由，可得四边形为等腰梯形，故其面积为：，故D项错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为______L（结果精确到0.1，参考数据：；）．〖答案〗〖解析〗圆台型容器的轴截面为等腰梯形，设高为，则，解得，所以圆台型容器的容积.故〖答案〗为：.13.海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为__________m.（计算结果精确到0.1）〖答案〗〖解析〗如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点，过点作于点，则，由题意知，m，m，所以，则，在中，m，又是的外角，即有，所以，在中，m，设m，则m，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得或（舍），所以m，所以m，即海宝塔的高度为m.故〖答案〗为：.14.中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是__________.〖答案〗〖解析〗显然阳马的外接球与直三棱柱的外接球为同一个球，则外接球球心到平面ABC的距离为，由，，，得三角形ABC的外接圆半径，因此外接球半径，而外接球体积，表面积，所以阳马的外接球的体积与表面积之比.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．解：（1）因为，由正弦定理，得，即，即，因为在中，，所以，又因为，所以.（2）因为的面积为，所以，得，由，即，所以.由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为.16.如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将、分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．（1）求证：；（2）在线段MD上是否存在一点F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由．解：（1）由图1可得，，∴，∴，∵，，MD、平面MDQ，∴平面MDQ，∵平面MDQ，∴．（2）当时，平面PQF，理由如下：连BD交PQ于点O，连OF，由图1可得，，即，因为，所以，所以，所以，因为平面，平面，所以平面PQF．17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且．（1）证明：平面；（2）若四棱锥为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比．解：（1）设，在的中点，连接、，因为分别为的中点，所以且，又为线段上一点，且，底面是平行四边形，所以为的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为四棱锥为正四棱锥，且，不妨设，则，连接，则平面，平面，所以，所以，则，所以，因为，所以正四棱锥外接球的球心位于线段上，设球心为，半径为，连接，则，在中，即，解得，所以正四棱锥外接球的体积，所以四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比为.18.如图，在三棱锥中，，是正三角形．（1）求证：平面平面；（2）若，，求与平面所成角正弦值．解：（1）作交PC于，连接，设，由，得，因为是正三角形，所以在中，，所以，所以，故，所以即为二面角的平面角，因为，，则所以，则所以由面面垂直定义可知，平面平面．（2）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，设点到平面的距离为，由，，，则，由余弦定理可得：，在中，，，，所以，则，在中，，，，由余弦定理可得：，所以在中，，取的中点，连接，则，所以，则，根据等体积法可得：，所以，因为，所以与平面所成角的正弦值．19.如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．（1）求证：直线平面；（2）设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；（3）若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．解：（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为AC=BC，为的中点，所