福建省福州市八县协作校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市八县协作校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.6 B.12 C.24 D.42〖答案〗D〖解析〗.故选：D.2.的展开式中，常数项是（）A.81 B.32 C.24 D.8〖答案〗C〖解析〗展开式的通项公式为，令，解得，则，即展开式的常数项为24.故选：C3.某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，，，由全概率公式可得,由对立事件的概率公式可得，故选：B.4.已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，解得，所以，所以.故选：B5.已知随机变量的概率分布如下表x124P则（）A.1 B. C.11 D.15〖答案〗D〖解析〗由，故，则.故选：D.6.吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（）种排列方式.A.6 B.8 C.10 D.12〖答案〗C〖解析〗把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，有种方法，所以香烟和口香糖的不同排列方式有（种）.故选：C7.正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（）A.、 B.、C.、 D.、〖答案〗D〖解析〗设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D表示此人感冒，则,，则，因为来自高二年级概率最大，所以,即,即，即，即，故选：D.8.若曲线有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，设切点为，则，所以切线方程为，又该切线过原点，所以，整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故，解得.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若随机变量X服从两点分布且，则B.若随机变量满足，，则C.若随机变量，则D.设随机变量，若恒成立，则的最大值为12〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为随机变量X服从两点分布且，所以，所以，故A错误；对于B，因为随机变量满足，，所以，所以，故B正确；对于C，因为随机变量，所以，故C错误；对于D，因为随机变量，恒成立，所以恒成立，所以，所以，故D正确.故选：BD.10.关于函数及其导函数，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若函数为奇函数，则D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗A：由，得，所以，故A正确；B：由，得，所以，则，故B错误；C：由为奇函数，得，等式两边同时取导数，得，即，故C正确；D：由，且定义域，可构造函数，则，所以为R上的增函数，则，则，故D正确.故选：ACD11.2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的G处.下列说法正确的是（）A.张同学到陈同学家最短路径条数为6条B.在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为C.张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条D.张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分（路口除外），则.〖答案〗AB〖解析〗对于A：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A正确；对于B：在张同学去人民广场选择的最短路径中，总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法，到F处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种，则概率为，B正确；对于C：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀，①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，③先从走到，再走到有种走法，综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法，则欣赏灯光秀有种走法，C错误；对于D：，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种〖答案〗240〖解析〗根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案.故〖答案〗为：.13.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为______．〖答案〗1.2〖解析〗由题意知随机变量X服从超几何分布，其中，，，于是次品件数X的期望，故〖答案〗为：1.214.若函数有零点，则实数的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，又，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又时，时，又函数有零点，所以，即，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15.在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法?（用数字作答）.（1）既有内科医生，又有外科医生；（2）至少有1名主任参加；（3）既有主任，又有外科医生.解：（1）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去人，得选派种数为：；（2）分两类：一是选1名主任有种方法；二是选2名主任有种方法；故至少有1名主任参加的选派方法共种；（3）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法；.（也可以直接法：+=65）故既有主任，又有外科医生的选派种数为.16.在的展开式中，（1）求展开式中所有项的系数和；（2）求二项式系数最大的项；（3）系数的绝对值最大的项是第几项?解：（1）令，可得展开式中所有项的系数和为；（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，的展开式的通项为：，故；（3）由的展开式的通项为：，设第项系数的绝对值最大，显然，则，整理得，即，解得，而，则或，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求值;（2）以频率估计概率，完成下列问题.（i）若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；（ii）若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率.解：（1）依题意可得，解得；（2）（i）由（1）可得高度在的频率为，所以，所以，，，，，所以的分布列为：所以；（ii）在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件，则，，所以.18.某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；附：若，则．（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．解：（1）由题意，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额在内的人数为；（2）设事件“顾客中龙腾奖”，事件“顾客中旺旺奖”，事件“顾客获得乙奖品”，由题意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，2点，2点”，三类情况，共有种；（ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”，“2点，5点，5点”，“2点，4点，6点”，“3点，4点，5点”，“3点，3点，6点”，“4点，4点，4点”，六类情况，共有种；（iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有，①由全概率公式可得，即顾客获得乙奖品的概率为；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.19.已知函数.（1）