2025年高考数学一轮复习-教考衔接7-空间直角坐标系的构建策略【课件】

教考衔接7⇒空间直角坐标系的构建策略坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方

法，运用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的

空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结

构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建

系，下面就几种常见的建系方法予以说明.

建系方法类型1

利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系【例1】

（2024·新高考Ⅰ卷18题）如图，在正四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝2，

AA

1＝4.点

A

2，

B

2，

C

2，

D

2分别在棱

AA

1，

BB

1，

CC

1，

DD

1上，

AA

2＝1，

BB

2＝

DD

2＝2，

CC

2＝3.（1）证明：

B

2

C

2∥

A

2

D

2；（2）点

P

在棱

BB

1上，当二面角

P

-

A

2

C

2-

D

2

为150°时，求

B

2

P

.

反思感悟

由题意知，在正四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，三条棱

CD

，

CB

，

CC

1两两互相垂直且交于一点

C

，可考虑以点

C

为原点，三条棱

所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为根据题目中现有的条

件，直接建立空间直角坐标系.类型2

利用线面垂直关系构建空间直角坐标系【例2】

（2021·全国乙卷18题）如图，四棱锥

P

-

ABCD

的底面是矩

形，

PD

⊥底面

ABCD

，

PD

＝

DC

＝1，

M

为

BC

的中点，且

PB

⊥

AM

.

（1）求

BC

；（2）求二面角

A

-

PM

-

B

的正弦值.建系方法

因为

PD

⊥平面

ABCD

，所以

PD

⊥

AD

，

PD

⊥

DC

.

在矩

形

ABCD

中，

AD

⊥

DC

，故可以点

D

为坐标原点建立空间直角坐标系.反思感悟

由条件中的垂直关系

PD

⊥底面

ABCD

，且四边形

ABCD

为矩

形，进而得

PD

，

AD

，

DC

两两垂直且共点于

D

，可建立空间直角坐

标系，此为通过先证明题目中建系的条件，再建立空间直角坐标系.类型3

利用面面垂直关系构建空间直角坐标系【例3】

（2021·新高考Ⅰ卷20题）如图，在三棱锥

A

-

BCD

中，平面

ABD

⊥平面

BCD

，

AB

＝

AD

，

O

为

BD

的中点.（1）证明：

OA

⊥

CD

；（2）若△

OCD

是边长为1的等边三角形，点

E

在棱

AD

上，

DE

＝2

EA

，且二面角

E

-

BC

-

D

的大小为45°，求三棱锥

A

-

BCD

的体积.建系方法由题意知

AO

⊥平面

BCD

，显然

AO

⊥

OB

.

以

O

为坐标原

点，

OB

，

OA

所在直线分别为

x

，

z

轴，在平面

BCD

内，以过点

O

且

与

BD

垂直的直线为

y

轴建立空间直角坐标系.反思感悟

由已知条件平面

ABD

⊥平面

BCD

，结合其他已知证得

AO

⊥平面

BCD

，选取

OB

，

OA

所在的直线分别为

x

，

z

轴后，

y

轴就可由以下

三个限制条件确定：①必须在平面

BCD

内且过点

O

；②必须垂直于

OB

；③方向必须符合右手直角坐标系.类型4

利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系【例4】已知正四棱锥

V

-

ABCD

中，

E

为

VC

的中点，正四棱锥的底

面边长为2

a

，高为

h

，若

BE

⊥

VC

，则∠

DEB

的余弦值为

.建系方法如图所示，以

V

在底面

ABCD

内的投影

O

为坐标原点建立

空间直角坐标系，其中

Ox

∥

BC

，

Oy

∥

AB

.

反思感悟

解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面中心与正棱

锥的高所在的直线构建空间直角坐标系.类型5

利用底面正三角形构建空间直角坐标系【例5】如图，在正三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

AA

1＝2，点

P

，

Q

分别为

A

1

B

1，

BC

的中点.（1）求异面直线

BP

与

AC

1所成角的余弦值；（2）求直线

CC

1与平面

AQC

1所成角的正弦值.

反思感悟

底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线和与

底边中线垂直的直线作为建立的空间直角坐标系的

x

轴，

y

轴，再结

合其他条件确定

z

轴.类型6

不规则图形的建系【例6】

（2024·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥

A

-

BCD

中，

DA

＝

DB

＝

DC

，

BD

⊥

CD

，∠

ADB

＝∠

ADC

＝60°，

E

为

BC

的中点.（1）证明：

BC

⊥

DA

；

又

AE

⊥

BC

，

BC

⊂平面

BCD

，

DE

⊂平面

BCD

，

BC

∩

DE

＝

E

，

所以

AE

⊥平面

BCD

，所以可分别以

ED

，

EB

，

EA

所在的直线为

x

轴，

y

轴，

z

轴建立空间直角坐标.反思感悟

若题目中给出的几何体不是简单的空间几何体，而是不规则

的几何图形，应先根据已知条件证明出共点的三线两两垂直，再

建立空间直角坐标系.一般原点选取在某线段的中点或互相垂直的

两线段的交点处.综上六类常见几何图形的建系特征，即从直接利用具有公共顶点的

三条棱构建空间直角坐标系，到利用线面垂直、面面垂直构建空间直

角坐标系，再到利用立体图形的对称性等构建空间直角坐标系，有些

题目可直接建立空间直角坐标系，而有些题目需先证明存在垂直关系

后，再建立空间直角坐标系.无论利用哪种关系建系，都应遵循与求解

问题相关的元素尽可能在坐标轴上或坐标平面上，这样便于计算点的

坐标（空间向量的坐标），减少运算量.

高考还可这样考

（2）点

M

在棱

PC

上，且直线

BM

与底面

ABCD

所成角为45°，求二

面角

M

-

AB

-

D

的余弦值.

2.如图，已知

ABCD

和

CDEF

都是直角梯形，

AB

∥

DC

，

DC

∥

EF

，

AB

＝5，

DC

＝3，

EF

＝1，∠

BAD

＝∠

CDE

＝60°，二面角

F

-

DC

-

B

的平面角为60°.设

M

，

N

分别为

AE

，

BC

的中点.