2025年高考数学一轮复习-第一板块-微专题(三)解三角形综合问题【课件】

微专题(三)解三角形综合问题命题点(一)利用正弦、余弦定理解三角形(1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形．(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[典例]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sinA＋sinB＋sinC)＝6S.(1)求角B的大小；(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cosA，cosC的值．1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.法二：因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.[关键点拨]切入点(1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，cosB的方程组，解出cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；(2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长隐藏点B＋D＝π⇒cosD＝cos(π－B)＝－cosB在余弦定理中的应用平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．(2022·济宁二模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD·sinD＝2CD·sinB．(1)求证：BC＝2CD；(2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积．命题点(三)解三角形中的最值与范围问题(1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的最值或范围．(2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式、二次函数等．三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法(1)利用基本不等式求得最大值或最小值；(2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．[关键点拨]切入点把所求边放入三角形中求解迁移点求解第二空时设△AMD的外心为O，连接OC交AD于点O1，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径求解解三角形实际应用问题的步骤2．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角；推动自行车来测距离(轮子滚动一周为1.753米)．该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的