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2025年高考数学一轮复习-第十一章-第三节成对数据的统计分析-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.下列有关线性回归的说法,不正确的是()A.具有相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有线性回归方程2.在线性回归模型中,变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y=12x+1上,R2=1-∑i=1nA.14B.C.1D.53.某医院医疗小组在一项试验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据,将其整理得到如图所示的散点图,以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是()A.y=kt2B.y=log2tC.y=t3D.y=(2)t4.(多选)(2024·江苏苏州)已知变量x,y的5对样本数据为A1(1,1),A2(2,3),A3(2.5,3.5),A4(3,4),A5(4,6),用最小二乘法得到线性回归方程l1:y=1.6x+a,过点A2,A3的直线方程为l2:y=mx+n,则()A.变量y和x之间具有正相关关系B.a>nC.样本数据A2(2,3)的残差为-0.3D.∑i=15(yi-1.6xi-a)2≤∑i=15(yi-5.已知变量y与x的一组数据如表所示,根据数据得到y关于x的回归方程为y=ebx-1.x1234ye2e3e5e6若y=e13,则x等于()A.6B.7C.8D.96.(多选)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名志愿者,对其身高(单位:cm)和臂展(单位:cm)进行了测量,这10名志愿者身高和臂展的折线统计图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm,根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的线性回归方程为u=1.2v-34,则下列结论正确的是()A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据线性回归方程可估计身高为160cm的人的臂展为158cm7.某智能机器人的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表所示:广告费用x(万元)2356销售额y(万元)28314148根据此表可得回归直线方程为y=5x+a,据此模型预测广告费用为8万元时销售额为万元.8.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,6)都在曲线y=bx2-13附近波动.经计算∑i=16xi=11,∑i=16yi=13,∑9.(2024·江苏连云港)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位:cm)与体重y(单位:kg)的关系,从该班随机抽取10名女生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其线性回归方程为y=bx+a.已知∑i=110xi=1600,∑i=110yi=460,b=10.(2024·江苏南京)某网络电视剧已开播一段时间,其每日播放量有如下统计表:开播天数x(单位:天)12345当天播放量y(单位:百万次)335910(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明.(2)假设开播后的两周内(除前5天),当天播放量y与开播天数x服从(1)中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益,且每开播一天需支出1万元的广告费,估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.参考公式:r=∑i=1n(xi-x)(yi参考数据:∑i=15xiyi=110,∑i=15xi2=注:①一般地,相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.②利润=收益-广告费.[B组能力提升练]11.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x7,y7)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,7)都在曲线y=aln(x-1895)+12.15附近波动,经计算∑i=17(xi-1895)=210.77,∑i=17yi=73.50,∑i=17ln(A.-0.5B.0.5C.-1D.112.(多选)2023年6月18日,很多商场都在搞促销活动.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查,得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程是y=-0.32x+a,相关系数r=-0.9923,则下列说法正确的有()A.变量x与y负相关且相关性较强B.a=40C.当x=85时,y的估计值为13D.相应于点(105,6)的残差为-0.413.某化工厂产生的废气经过过滤后排放,以模型Y=p0e-kX去拟合过滤过程中废气的污染物浓度Ymg/L与时间Xh之间的一组数据,为了求出回归方程,设z=lnY,其变换后得到回归直线方程为z=-0.5X+2+ln300,则当经过6h后,预报废气的污染物浓度为()A.300e2mg/LB.300emg/LC.300e2mg/LD.14.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山,为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑i=110xi2=0.038,∑i=110y(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01).(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r=∑i=1n(15.某抽奖系统中,抽得的物品可分为5星、4星和3星,其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下:物品类别5星4星3星基础概率0.600%5.100%94.300%基础概率:在没有任何其他机制的影响下,单次抽奖抽中指定类别奖品的概率.保底机制:现假定玩家α从未进行过抽奖,则玩家抽取5星(或4星)的概率会随着未抽中5星(或4星)的次数增加而改变,相关机制如下表所示:连续未抽中4星的次数i[0,7)[8,+∞)下一次抽中4星的概率5.100%min{5.100%+51.000%(i-7),100.000%}连续未抽中5星的次数i[0,73)[73,+∞)下一次抽中5星的概率0.600%min{0.600%+6.000%(i-7),100.000%}注:①min{a,b}表示a,b中的最小值.②抽中4星的概率和抽中5星的概率的增加值从抽中3星的概率中等量扣除.③若发现下一次抽奖中,抽中4星的概率和抽中5星的概率的和大于1,则下一次抽奖抽中5星的概率等于表中的值(记为p),而抽中4星的概率为(1-p).现记玩家α获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为N.(1)统计10名玩家α抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示:玩家序号12345678910总次数y30786480857955836681四星个数x4879986989计算得:∑i=1nxiyi=5643,∑i=1nxi2=617,x=7.7,y=70.1,已知y与x之间存在很强的线性相关关系,求出其线性回归方程,并求出使得|y-N|最小的(2)若玩家α恰好在第0.2N次抽到了第1个5星物品,且总共抽到了2个4星物品,记玩家α在第ai次抽中第i个4星奖品,记集合A={a1,a2},求A的所有可能的个数.参考公式:线性回归方程y=bx+a斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=∑i=1n(xi-2025年高考数学一轮复习-第十一章-第三节成对数据的统计分析-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.下列有关线性回归的说法,不正确的是()A.具有相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有线性回归方程答案:D解析:根据两个变量具有相关关系的概念,可知A正确;散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度,且回归直线最能代表它们之间的相关关系,所以B、C正确;具有线性相关关系的样本数据才有线性回归方程,所以D不正确.2.在线性回归模型中,变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y=12x+1上,R2=1-∑i=1nA.14B.C.1D.5答案:C3.某医院医疗小组在一项试验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据,将其整理得到如图所示的散点图,以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是()A.y=kt2B.y=log2tC.y=t3D.y=(2)t答案:B解析:由题图可知,散点几乎落在一条曲线周围,图象单调递增且增长的速度越来越缓慢,结合选项中的函数的图象,函数y=kt2,y=t3和y=(2)t的图象单调递增,但是增长速度越来越快,故排除,而函数y=log2t的图象单调递增且增长速度越来越缓慢,所以选项B符合题意,最能拟合y与t之间的关系.4.(多选)(2024·江苏苏州)已知变量x,y的5对样本数据为A1(1,1),A2(2,3),A3(2.5,3.5),A4(3,4),A5(4,6),用最小二乘法得到线性回归方程l1:y=1.6x+a,过点A2,A3的直线方程为l2:y=mx+n,则()A.变量y和x之间具有正相关关系B.a>nC.样本数据A2(2,3)的残差为-0.3D.∑i=15(yi-1.6xi-a)2≤∑i=15(yi-答案:AD解析:对于A项,根据线性回归方程,可知变量y和x之间具有正相关关系,故A项正确;对于B项,由已知可得,x=1+2+2.5+3+45=2.5,y=1+3+3.5+4+65=3.5,根据线性回归方程,可知3.5=1.6×2.5根据已知,可求出kA2A3=3.5-32.5-2=1,则直线A2A3方程为y-3=x-2,整理可得y对于C项,由B知,经验回归方程为y=1.6x-0.5,样本数据A2(2,3)的预测值为1.6×2-0.5=2.7,所以样本数据A2(2,3)的残差为3-2.7=0.3,故C项错误;对于D项,根据最小二乘法的意义,可知∑i=15(yi-1.6xi-a)2≤∑i=15(yi-mxi-n5.已知变量y与x的一组数据如表所示,根据数据得到y关于x的回归方程为y=ebx-1.x1234ye2e3e5e6若y=e13,则x等于()A.6B.7C.8D.9答案:B解析:由y=ebx-1,得lny=bx-1,令z=lny,则z=bx-1,由题意知,x=1+2+3+44=2.5,z=2+3+5+64=因为(x,z)满足z=bx-1,所以4=b×2.5-1,解得b=2,所以z=2x-1,所以y=e2x-1,令e2x-1=e13,解得x=7.6.(多选)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名志愿者,对其身高(单位:cm)和臂展(单位:cm)进行了测量,这10名志愿者身高和臂展的折线统计图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm,根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的线性回归方程为u=1.2v-34,则下列结论正确的是()A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据线性回归方程可估计身高为160cm的人的臂展为158cm答案:AD解析:对于选项A,因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值,而臂展的最小值小于身高的最小值,所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差,故A正确;对于选项B,因为1.2>0,所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系,故B错误;对于选项C,因为这10名志愿者身高的平均值为176cm,所以这10名志愿者臂展的平均值为1.2×176-34=177.2(cm),故C错误;对于选项D,若一个人的身高为160cm,则由线性回归方程u=1.2v-34,可得这个人的臂展的估计值为158cm,故D正确.7.某智能机器人的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表所示:广告费用x(万元)2356销售额y(万元)28314148根据此表可得回归直线方程为y=5x+a,据此模型预测广告费用为8万元时销售额为万元.答案:57解析:由表格,得x=2+3+5+64=4,y=28+31+41+484=所以37=5×4+a,即a=17,所以预测当广告费用为8万元时,销售额为5×8+17=57(万元).8.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,6)都在曲线y=bx2-13附近波动.经计算∑i=16xi=11,∑i=16yi=13,∑答案:5解析:令t=x2,则曲线的回归方程变为线性的回归方程,即y=bt-13,此时t=∑i=16xi26=72,y=∑i=16yi6=136,代入y=b9.(2024·江苏连云港)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位:cm)与体重y(单位:kg)的关系,从该班随机抽取10名女生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其线性回归方程为y=bx+a.已知∑i=110xi=1600,∑i=110yi=460,b=答案:54.5解析:x=110∑i=110xi=160,y=1故46=0.85×160+a,解得a=-90,故线性回归方程为y=0.85x-90,则当x=170时,y=0.85×170-90=54.5(kg).10.(2024·江苏南京)某网络电视剧已开播一段时间,其每日播放量有如下统计表:开播天数x(单位:天)12345当天播放量y(单位:百万次)335910(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明.(2)假设开播后的两周内(除前5天),当天播放量y与开播天数x服从(1)中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益,且每开播一天需支出1万元的广告费,估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.参考公式:r=∑i=1n(xi-x)(yi参考数据:∑i=15xiyi=110,∑i=15xi2=注:①一般地,相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.②利润=收益-广告费.解:(1)由题意得x=15(1+2+3+4+5)=3,y=15(3+3+5+9+10所以b=∑=6+3+3+8(1-所以a=y-bx=6-2×3=0所以线性回归方程为y=2x.相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi所以每日的播放量和开播天数线性相关性较强.(2)设利润为p,则p=[30+2(6+7+8+9+10+11+12+13+14)]×0.7-14=133,所以估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为133万元.[B组能力提升练]11.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x7,y7)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,7)都在曲线y=aln(x-1895)+12.15附近波动,经计算∑i=17(xi-1895)=210.77,∑i=17yi=73.50,∑i=17ln(A.-0.5B.0.5C.-1D.1答案:A解析:因为17∑i=17ln(xi-1895)=23.107=3.3,所以10.5=3.3a+12.15,解得a=-0.5.12.(多选)2023年6月18日,很多商场都在搞促销活动.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查,得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程是y=-0.32x+a,相关系数r=-0.9923,则下列说法正确的有()A.变量x与y负相关且相关性较强B.a=40C.当x=85时,y的估计值为13D.相应于点(105,6)的残差为-0.4答案:ABD解析:对于A,由回归直线可得变量x,y线性负相关,且由相关系数|r|=0.9923可知相关性强,故A正确;对于B,由题可得x=15(90+95+100+105+110)=100,y=15(11+10+8+6+5)=8,故回归直线恒过点(100,8),故8=-0.32×100+a,即a=40,故对于C,当x=85时,y=-0.32×85+40=12.8,故C错误;对于D,相应于点(105,6)的残差e=6-(-0.32×105+40)=-0.4,故D正确.13.某化工厂产生的废气经过过滤后排放,以模型Y=p0e-kX去拟合过滤过程中废气的污染物浓度Ymg/L与时间Xh之间的一组数据,为了求出回归方程,设z=lnY,其变换后得到回归直线方程为z=-0.5X+2+ln300,则当经过6h后,预报废气的污染物浓度为()A.300e2mg/LB.300emg/LC.300e2mg/LD.答案:D解析:当X=6时,z=-1+ln300=ln300e所以Y=ez=300e14.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山,为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑i=110xi2=0.038,∑i=110y(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01).(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r=∑i=1n(解:(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为x=0.610=0.06(m平均一棵的材积量为y=3.910=0.39(m(2)样本相关系数r=∑=∑=0=0.01340.即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.(3)设这种树木的根部横截总面积为Xm2,总材积量为Ym3,则XY=xy,则Y=X·yx所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.15.某抽奖系统中,抽得的物品可分为5星、4星和3星,其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下:物品类别5星4星3星基础概率0.600%5.100%94.300%基础概率:在没有任何其他机制的影响下,单次抽奖抽中指定类别奖品的概率.保底机制:现假定玩家α从未进行过抽奖,则玩家抽取5星(或4星)的概率会随着未抽中5星(或4星)的次数增加而改变,相关机制如下表所示:连续未抽中4星的次数i[0,7)[8,+∞)下一次抽中4星的概率5.100%min{5.100%+51
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