2025年高考数学一轮复习-第十一章-第三节 成对数据的统计分析-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第十一章-第三节成对数据的统计分析-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.下列有关线性回归的说法，不正确的是（）A.具有相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有线性回归方程2.在线性回归模型中，变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝12x＋1上，R2＝1－∑i=1nA.14B.C.1D.53.某医院医疗小组在一项试验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是（）A.y＝kt2B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝（2）t4.（多选）（2024·江苏苏州）已知变量x，y的5对样本数据为A1（1，1），A2（2，3），A3（2.5，3.5），A4（3，4），A5（4，6），用最小二乘法得到线性回归方程l1：y＝1.6x＋a，过点A2，A3的直线方程为l2：y＝mx＋n，则（）A.变量y和x之间具有正相关关系B.a＞nC.样本数据A2（2，3）的残差为－0.3D.∑i=15（yi－1.6xi－a）2≤∑i=15（yi－5.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的回归方程为y＝ebx－1.x1234ye2e3e5e6若y＝e13，则x等于（）A.6B.7C.8D.96.（多选）某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm）和臂展（单位：cm）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线统计图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm，根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的线性回归方程为u＝1.2v－34，则下列结论正确的是（）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据线性回归方程可估计身高为160cm的人的臂展为158cm7.某智能机器人的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表所示：广告费用x（万元）2356销售额y（万元）28314148根据此表可得回归直线方程为y＝5x＋a，据此模型预测广告费用为8万元时销售额为万元.8.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，6）都在曲线y＝bx2－13附近波动.经计算∑i=16xi＝11，∑i=16yi＝13，∑9.（2024·江苏连云港）为了研究高三（1）班女生的身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y＝bx＋a.已知∑i=110xi＝1600，∑i=110yi＝460，b＝10.（2024·江苏南京）某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：开播天数x（单位：天）12345当天播放量y（单位：百万次）335910（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明.（2）假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.参考公式：r＝∑i=1n（xi－x)(yi参考数据：∑i=15xiyi＝110，∑i=15xi2＝注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.②利润＝收益－广告费.[B组能力提升练]11.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x7，y7）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，7）都在曲线y＝aln（x－1895）＋12.15附近波动，经计算∑i=17（xi－1895）＝210.77，∑i=17yi＝73.50，∑i=17ln（A.－0.5B.0.5C.－1D.112.（多选）2023年6月18日，很多商场都在搞促销活动.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程是y＝－0.32x＋a，相关系数r＝－0.9923，则下列说法正确的有（）A.变量x与y负相关且相关性较强B.a＝40C.当x＝85时，y的估计值为13D.相应于点（105，6）的残差为－0.413.某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型Y＝p0e－kX去拟合过滤过程中废气的污染物浓度Ymg/L与时间Xh之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝lnY，其变换后得到回归直线方程为z＝－0.5X＋2＋ln300，则当经过6h后，预报废气的污染物浓度为（）A.300e2mg/LB.300emg/LC.300e2mg/LD.14.（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑i=110xi2＝0.038，∑i=110y（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）.（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数r＝∑i=1n（15.某抽奖系统中，抽得的物品可分为5星、4星和3星，其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下：物品类别5星4星3星基础概率0.600％5.100％94.300％基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率.保底机制：现假定玩家α从未进行过抽奖，则玩家抽取5星（或4星）的概率会随着未抽中5星（或4星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示：连续未抽中4星的次数i[0，7）[8，＋∞）下一次抽中4星的概率5.100％min{5.100％＋51.000％（i－7），100.000％}连续未抽中5星的次数i[0，73）[73，＋∞）下一次抽中5星的概率0.600％min{0.600％＋6.000％（i－7），100.000％}注：①min{a，b}表示a，b中的最小值.②抽中4星的概率和抽中5星的概率的增加值从抽中3星的概率中等量扣除.③若发现下一次抽奖中，抽中4星的概率和抽中5星的概率的和大于1，则下一次抽奖抽中5星的概率等于表中的值（记为p），而抽中4星的概率为（1－p）.现记玩家α获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为N.（1）统计10名玩家α抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示：玩家序号12345678910总次数y30786480857955836681四星个数x4879986989计算得：∑i=1nxiyi＝5643，∑i=1nxi2＝617，x＝7.7，y＝70.1，已知y与x之间存在很强的线性相关关系，求出其线性回归方程，并求出使得｜y－N｜最小的（2）若玩家α恰好在第0.2N次抽到了第1个5星物品，且总共抽到了2个4星物品，记玩家α在第ai次抽中第i个4星奖品，记集合A＝{a1，a2}，求A的所有可能的个数.参考公式：线性回归方程y＝bx＋a斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝∑i=1n（xi－2025年高考数学一轮复习-第十一章-第三节成对数据的统计分析-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.下列有关线性回归的说法，不正确的是（）A.具有相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有线性回归方程答案：D解析：根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B、C正确；具有线性相关关系的样本数据才有线性回归方程，所以D不正确.2.在线性回归模型中，变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝12x＋1上，R2＝1－∑i=1nA.14B.C.1D.5答案：C3.某医院医疗小组在一项试验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是（）A.y＝kt2B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝（2）t答案：B解析：由题图可知，散点几乎落在一条曲线周围，图象单调递增且增长的速度越来越缓慢，结合选项中的函数的图象，函数y＝kt2，y＝t3和y＝（2）t的图象单调递增，但是增长速度越来越快，故排除，而函数y＝log2t的图象单调递增且增长速度越来越缓慢，所以选项B符合题意，最能拟合y与t之间的关系.4.（多选）（2024·江苏苏州）已知变量x，y的5对样本数据为A1（1，1），A2（2，3），A3（2.5，3.5），A4（3，4），A5（4，6），用最小二乘法得到线性回归方程l1：y＝1.6x＋a，过点A2，A3的直线方程为l2：y＝mx＋n，则（）A.变量y和x之间具有正相关关系B.a＞nC.样本数据A2（2，3）的残差为－0.3D.∑i=15（yi－1.6xi－a）2≤∑i=15（yi－答案：AD解析：对于A项，根据线性回归方程，可知变量y和x之间具有正相关关系，故A项正确；对于B项，由已知可得，x＝1+2+2.5+3+45＝2.5，y＝1+3+3.5+4+65＝3.5，根据线性回归方程，可知3.5＝1.6×2.5根据已知，可求出kA2A3＝3.5－32.5－2＝1，则直线A2A3方程为y－3＝x－2，整理可得y对于C项，由B知，经验回归方程为y＝1.6x－0.5，样本数据A2（2，3）的预测值为1.6×2－0.5＝2.7，所以样本数据A2（2，3）的残差为3－2.7＝0.3，故C项错误；对于D项，根据最小二乘法的意义，可知∑i=15（yi－1.6xi－a）2≤∑i=15（yi－mxi－n5.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的回归方程为y＝ebx－1.x1234ye2e3e5e6若y＝e13，则x等于（）A.6B.7C.8D.9答案：B解析：由y＝ebx－1，得lny＝bx－1，令z＝lny，则z＝bx－1，由题意知，x＝1+2+3+44＝2.5，z＝2+3+5+64＝因为（x，z）满足z＝bx－1，所以4＝b×2.5－1，解得b＝2，所以z＝2x－1，所以y＝e2x－1，令e2x－1＝e13，解得x＝7.6.（多选）某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm）和臂展（单位：cm）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线统计图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm，根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的线性回归方程为u＝1.2v－34，则下列结论正确的是（）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据线性回归方程可估计身高为160cm的人的臂展为158cm答案：AD解析：对于选项A，因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确；对于选项B，因为1.2＞0，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B错误；对于选项C，因为这10名志愿者身高的平均值为176cm，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.2×176－34＝177.2（cm），故C错误；对于选项D，若一个人的身高为160cm，则由线性回归方程u＝1.2v－34，可得这个人的臂展的估计值为158cm，故D正确.7.某智能机器人的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表所示：广告费用x（万元）2356销售额y（万元）28314148根据此表可得回归直线方程为y＝5x＋a，据此模型预测广告费用为8万元时销售额为万元.答案：57解析：由表格，得x＝2+3+5+64＝4，y＝28+31+41+484＝所以37＝5×4＋a，即a＝17，所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5×8＋17＝57（万元）.8.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，6）都在曲线y＝bx2－13附近波动.经计算∑i=16xi＝11，∑i=16yi＝13，∑答案：5解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－13，此时t＝∑i=16xi26＝72，y＝∑i=16yi6＝136，代入y＝b9.（2024·江苏连云港）为了研究高三（1）班女生的身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y＝bx＋a.已知∑i=110xi＝1600，∑i=110yi＝460，b＝答案：54.5解析：x＝110∑i=110xi＝160，y＝1故46＝0.85×160＋a，解得a＝－90，故线性回归方程为y＝0.85x－90，则当x＝170时，y＝0.85×170－90＝54.5（kg）.10.（2024·江苏南京）某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：开播天数x（单位：天）12345当天播放量y（单位：百万次）335910（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明.（2）假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.参考公式：r＝∑i=1n（xi－x)(yi参考数据：∑i=15xiyi＝110，∑i=15xi2＝注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.②利润＝收益－广告费.解：（1）由题意得x＝15（1＋2＋3＋4＋5）＝3，y＝15（3＋3＋5＋9＋10所以b＝∑＝6+3+3+8（1－所以a＝y－bx＝6－2×3＝0所以线性回归方程为y＝2x.相关系数r＝∑i=1n（xi－x)(yi所以每日的播放量和开播天数线性相关性较强.（2）设利润为p，则p＝[30＋2（6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14）]×0.7－14＝133，所以估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为133万元.[B组能力提升练]11.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x7，y7）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，7）都在曲线y＝aln（x－1895）＋12.15附近波动，经计算∑i=17（xi－1895）＝210.77，∑i=17yi＝73.50，∑i=17ln（A.－0.5B.0.5C.－1D.1答案：A解析：因为17∑i=17ln（xi－1895）＝23.107＝3.3，所以10.5＝3.3a＋12.15，解得a＝－0.5.12.（多选）2023年6月18日，很多商场都在搞促销活动.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程是y＝－0.32x＋a，相关系数r＝－0.9923，则下列说法正确的有（）A.变量x与y负相关且相关性较强B.a＝40C.当x＝85时，y的估计值为13D.相应于点（105，6）的残差为－0.4答案：ABD解析：对于A，由回归直线可得变量x，y线性负相关，且由相关系数｜r｜＝0.9923可知相关性强，故A正确；对于B，由题可得x＝15（90＋95＋100＋105＋110）＝100，y＝15（11＋10＋8＋6＋5）＝8，故回归直线恒过点（100，8），故8＝－0.32×100＋a，即a＝40，故对于C，当x＝85时，y＝－0.32×85＋40＝12.8，故C错误；对于D，相应于点（105，6）的残差e＝6－（－0.32×105＋40）＝－0.4，故D正确.13.某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型Y＝p0e－kX去拟合过滤过程中废气的污染物浓度Ymg/L与时间Xh之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝lnY，其变换后得到回归直线方程为z＝－0.5X＋2＋ln300，则当经过6h后，预报废气的污染物浓度为（）A.300e2mg/LB.300emg/LC.300e2mg/LD.答案：D解析：当X＝6时，z＝－1＋ln300＝ln300e所以Y＝ez＝300e14.（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑i=110xi2＝0.038，∑i=110y（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）.（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数r＝∑i=1n（解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为x＝0.610＝0.06（m平均一棵的材积量为y＝3.910＝0.39（m（2）样本相关系数r＝∑＝∑＝0＝0.01340.即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.（3）设这种树木的根部横截总面积为Xm2，总材积量为Ym3，则XY＝xy，则Y＝X·yx所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.15.某抽奖系统中，抽得的物品可分为5星、4星和3星，其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下：物品类别5星4星3星基础概率0.600％5.100％94.300％基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率.保底机制：现假定玩家α从未进行过抽奖，则玩家抽取5星（或4星）的概率会随着未抽中5星（或4星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示：连续未抽中4星的次数i[0，7）[8，＋∞）下一次抽中4星的概率5.100％min{5.100％＋51