第二章　§2.9　指、对、幂的大小比较-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.9指、对、幂的大小比较重点解读指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质例1设，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>b>a D．b>c>a答案C解析因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x为增函数，所以，即a<b，又因为函数y＝为增函数，所以，即b<c，故c>b>a.命题点2找中间值例2(2023·昆明模拟)设a＝，b＝lneq\r(2)－eq\f(1,3)ln3，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．c>a>bC．c>b>a D．a>b>c答案B解析因为b＝lneq\r(2)－eq\f(1,3)ln3＝eq\f(ln2,2)－eq\f(ln3,3)＝eq\f(3ln2－2ln3,6)＝eq\f(ln\f(8,9),6)<eq\f(ln1,6)＝0，而a＝>0，c＝>0，所以b最小．又lna＝＝eq\f(1,π)<eq\f(1,e)，lnc＝＝eq\f(1,e)lnπ>eq\f(1,e)，所以lnc>lna，即c>a，因此c>a>b.命题点3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，则下列结论正确的是()A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc答案C解析取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,4)，则，∴ac>bc，故A错误；abc＝4×，bac＝2×，∴abc>bac，故B错误；logac＝log4eq\f(1,4)＝－1，logbc＝log2eq\f(1,4)＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误．思维升华利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq\f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．跟踪训练1(1)(2023·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a答案C解析由y＝0.3x为减函数，得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1，由y＝log0.3x为减函数，得c＝log0.33<log0.31＝0，∴c<a<b.(2)(2023·哈尔滨模拟)已知a＝sineq\f(5π,6)，b＝lneq\r(3)，c＝20.2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．a<c<b答案A解析因为a＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，且b＝lneq\r(3)>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)＝a，b＝lneq\r(3)<lne＝1，且c＝20.2>1，所以a<b<c.题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小命题点1作差法例4(1)设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则()A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案D解析∵eq\f(1,b)＝log312＝1＋log34＝1＋eq\f(lg4,lg3)＝1＋eq\f(2lg2,lg3)，eq\f(1,c)＝log540＝1＋log58＝1＋eq\f(lg8,lg5)＝1＋eq\f(3lg2,lg5)，∴eq\f(1,b)－eq\f(1,c)＝eq\f(2lg2,lg3)－eq\f(3lg2,lg5)＝eq\f(2lg2×lg5－3lg2×lg3,lg3×lg5)＝eq\f(lg22lg5－3lg3,lg3×lg5)＝eq\f(lg2lg25－lg27,lg3×lg5)<0，∴eq\f(1,b)<eq\f(1,c)，又b>0，c>0，∴b>c；∵eq\f(1,c)＝1＋log58<1＋log5eq\r(125)＝1＋＝eq\f(5,2)，∴c>eq\f(2,5)，∵eq\f(1,a)＝log26＝1＋log23>1＋log2eq\r(8)＝1＋＝eq\f(5,2)，∴a<eq\f(2,5)，∴a<c.∴a<c<b.(2)(2024·宿州模拟)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，则()A．a>0>b B．b>0>aC．a>b>0 D．b>a>0答案B解析由3m＝4，得m＝log34，∵log23－log34＝eq\f(lg3,lg2)－eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(lg32－lg2×lg4,lg2×lg3)>eq\f(lg32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2＋lg4,2)))2,lg2×lg3)＝eq\f(4lg32－lg82,4lg2×lg3)＝eq\f(lg92－lg82,4lg2×lg3)>0，∴log23>log34，log34－log45＝eq\f(lg4,lg3)－eq\f(lg5,lg4)＝eq\f(lg42－lg3×lg5,lg3×lg4)>eq\f(lg42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3＋lg5,2)))2,lg3×lg4)＝eq\f(4lg42－lg152,4lg3×lg4)＝eq\f(lg162－lg152,4lg3×lg4)>0，∴log34>log45，∴b＝4m－5＝－5＝0，a＝2m－3＝－3＝0，∴b>0>a.命题点2作商法例5已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则()A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a<c<b答案B解析由eq\f(b,c)＝eq\f(log53,log85)＝eq\f(ln3×ln8,ln52)<eq\f(ln3＋ln82,4ln52)＝eq\f(ln\r(24)2,ln52)<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4，∴b<c<a.命题点3乘方法例6已知a＝log35，b＝log57，c＝eq\f(4,3)，则()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．a>c>b答案D解析因为53＝125>＝81，所以5>，所以log35>＝eq\f(4,3)，即a>c.因为73＝343<＝625，所以7<，所以log57<＝eq\f(4,3)，即b<c.所以a>c>b.命题点4对数法例7已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2023)))2023，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2024)))2024，则a，b的大小关系为________________．答案a<b解析构建函数f(x)＝xlneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x>0)，则f′(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－eq\f(1,1＋x)，令g(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－eq\f(1,1＋x)(x>0)，则g′(x)＝－eq\f(1,x1＋x2)<0，可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，又当x→＋∞时，f′(x)→0，所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2024)>f(2023)，即a<b.思维升华求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式．跟踪训练2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a答案B解析因为a＝2100，所以lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，因为b＝365，所以lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，因为c＝930＝360，所以lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，所以b>a>c.(2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．3y<2x<5z B．2x<3y<5zC．3y<5z<2x D．5z<2x<3y答案A解析令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以eq\f(2x,3y)＝eq\f(2log2k,3log3k)＝eq\f(2lgk,lg2)·eq\f(lg3,3lgk)＝eq\f(lg9,lg8)>1，则2x>3y，eq\f(2x,5z)＝eq\f(2log2k,5log5k)＝eq\f(2lgk,lg2)·eq\f(lg5,5lgk)＝eq\f(lg25,lg32)<1，则2x<5z.所以3y<2x<5z.课时精练一、单项选择题1．设，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．b>a>c答案D解析因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x为减函数，则0<a＝<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))x为增函数，则b＝>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))0＝1，因为函数y＝为减函数，则c＝＝0，因此b>a>c.2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，则下列判断正确的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.3．设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为()A．b<c<a B．c<b<aC．a<b<c D．b<a<c答案A解析c＝2－log32＝log39－log32＝log3eq\f(9,2)>log34＝2log32＝b，即c>b，a－c＝log23＋log32－2>2eq\r(log23×log32)－2＝2－2＝0，所以a>c，所以b<c<a.4．(2023·宣城模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y答案A解析因为3x＝4y＝10，则x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，即1<y<2，所以x>y>1，从而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5．已知a＝log32，b＝log43，c＝sineq\f(π,6)，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．b＞a＞c答案D解析c＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，因为函数y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，则a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，b＝log43>log42＝eq\f(1,2).a－b＝eq\f(ln2,ln3)－eq\f(ln3,ln4)＝eq\f(ln2×ln4－ln32,ln3×ln4)，因为ln2>0，ln4>0，则ln2＋ln4>2eq\r(ln2×ln4)⇒ln2×ln4<eq\f(1,4)×(ln8)2<eq\f(1,4)×(ln9)2＝(ln3)2.故a<b，综上，b>a>c.6．已知log4m＝eq\f(9,20)，log12n＝eq\f(1,4)，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为()A．p>m>n B．m>n>pC．m>p>n D．p>n>m答案A解析由log4m＝eq\f(9,20)，得m＝<2，由log12n＝eq\f(1,4)，得n＝，，因此2>m>n；由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.7．已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为()A．b>c>a B．b>a>cC．a>c>b D．a>b>c答案D解析令f(x)＝(18－x)lnx，x≥8，则f′(x)＝－lnx＋eq\f(18,x)－1，f′(x)＝－lnx＋eq\f(18,x)－1在[8，＋∞)上单调递减，且f′(8)＝－ln8＋eq\f(9,4)－1＝eq\f(5,4)－ln8<eq\f(5,4)－lne2＝eq\f(5,4)－2<0，所以f′(x)＝－lnx＋eq\f(18,x)－1<0在[8，＋∞)上恒成立，故f(x)＝(18－x)lnx在[8，＋∞)上单调递减，所以f(8)>f(9)>f(10)，即10ln8>9ln9>8ln10，即ln810>ln99>ln108，所以810>99>108，即a>b>c.二、多项选择题8．若a＝log45，b＝，c＝eln2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为()A．a<bB．b<aC．c<bD．b<c答案AD解析a＝＝eq\f(1,2)log25＝log2eq\r(5)，b＝＝log23，所以根据对数函数y＝log2x的图象与单调性知log22<a<b<log24，即1<a<b<2，c＝eln2＝2，所以a<b<c.9．(2023·邯郸模拟)已知log2m＝eq\f(1,2)，a＝log3m－eq\f(1,3)，b＝log5m－eq\f(1,5)，则下列判断正确的是()A．a>0B．a<0C．b>0D．b<0答案BC解析由log2m＝eq\f(1,2)，可得m＝>1，因为，所以，则a＝log3m－eq\f(1,3)<－eq\f(1,3)＝0，A错误，B正确；又因为，所以，b＝log5m－eq\f(1,5)>－eq\f(1,5)＝0，C正确，D错误．10．已知大于1的三个实数a，b，c满足(lga)2－2lgalgb＋lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系可能是()A．a＝b＝c B．a>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案ABC解析方法一∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga>0，lgb>0，lgc>0，∵(lga)2－2lgalgb＋lgblgc＝0，即lga(lga－lgb)＋lg