人教版高中数学全册教案-08-圆锥曲线方程-10

抛物线及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教育点

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.

（二）能力训练点

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等

方面的能力.

（三）学科渗透点

通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主

义思想教育.

二、教材分析

1.重点：抛物线的定义和标准方程.

（解决办法：通过…个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的

定义；通过一些例题加深对标准方程的认识.）

2.难点：抛物线的标准方程的推导.

（解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规

定坐标系.）

3.疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线1上”的限制.

（解决办法：向学生加以说明.）

三、活动设计

提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格.

四、教学过程

（一）导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线——

抛物线，以及它的定义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”.

请大家思考两个问题：

问题1:同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图

象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两

种情形.

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函

数的图象来研究了.今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研

究抛物线.

（二）抛物线的定义

1.回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线1的距离的比是常数e的轨迹，当0

VeVl时是椭圆，当e>l时是双曲线，那么当e=l时，它又是什么曲线？

2.简单实验

如图2-29,把•根直尺固定在画图板内直线1的位置上，一块三角板的--条

直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点

A,截取绳子的长等于A到直线1的距离AC,并且把绳子另一端固定在图板上的

-点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使

三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线.反

复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结.

3.定义

这样，可以把抛物线的定义概括成:

平面内与一定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F

不在定直线1上）.定点F叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线.

（三）抛物线的标准方程

设定点F到定直线1的距离为p（p为已知数且大于0）.下面，我们来求抛物

线的方程.怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：（由第一组同学完成，请一优等生演板.）

以1为y轴，过点F与直线1垂直的直线为x轴建立直角坐标系（图2-

30）.设定点F（p,0）,动点M的坐标为（x,y）,过M作MD_Ly轴于D,抛物

线的集合为:p={M||MF|=|MD|）.

由坐标我刷■可,4

化简后得：y2=2px-p2（p>0）.

方案2：（由第二组同学完成，请一优等生演板）

以定点F为原点，平行1的直线为y轴建立直角坐标系（图2-31）.设动点M

的坐标为（x,y）,且设直线1的方程为x=-p,定点F（0,0）,过M作MDL1于D,

抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}.

由坐标环福+司++耳.

化简得：y2=2px+p2（p>0）.

方案3：(由第三、四组同学完成，请一-优等生演板.)

取过焦点F且垂直于准线1的直线为x轴，x轴与1交于K,以线段KF的垂

直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32).

谢KF]=p,a侬球挫标为号，叽幽的方程为x=W，设

抛物线上的点M(x,y)到1的距离为d,抛物线是集合p={M||MF|=d}.

犷e,d*qi，

・小学+/4号.

化简后得：y2=2px(p>0).

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个

方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦

点到准线距离的2倍.

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形（列表如

下）：

Si

y

4

L

1T

y

一

^PJKP>09呻

T0>x

---------1

y

1---------

3r今r=0

>0)5/

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四

种情形中P>0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即：当对

称轴为x轴时，方程等号右端为±2px,相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，

方程等号的右端为±2py,相应地左端为x2.同时注意：当焦点在正半轴上时，

取正号；当焦点在负半轴上时，取负号.

（四）四种标准方程的应用

例题：（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；

⑵已知抛物线的焦点坐标是F（0,-2）,求它的标准方程.

解，(i)a*p=3,所吸侬坐标是埠，叽宸鲂程匕=—.

⑵因为侬在用的黄半轴上，并且畀2,p=4,所以它的标捷

方程是x2=-8y.

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

⑴焦点是F(3,0)；

⑵》助人=•；；

⑶焦点到准线的距离是2.

由三名学生演板，教师予以订正.答案是：(l)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x,y2=-4x,

x2=4y,x2=-4y.

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一

个系数P，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程.当

抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线

的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解.

(五)小结

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用.

五、布置作业

I.It物线y'=2p«p>S上一点辿憔点的距离是哈>乡，点M

到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(l)x2=2y；(2)4x2+3y=0；

⑶2y2+5x=0；(4)y2-6x=0.

3.根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

⑴顶点在原点，对