初中数学中考初中数学中考八大题型典中典复习阅读理解问题

专题复习一阅读理解问题

题型概述

阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结

论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容，思想方法，把握

本质，解答试题中提出的问题，对于这类题求解步骤是''阅读一分析一理解一创新应用”，

其关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供

工具及素材，因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力。

题型例析

类型1:新定义运算型

对于这种新定义型问题解答需要深刻理解新定义运算法则和运算过程，将新定义运算转化

为熟悉的加减乘除等运算。

【例题工(2015•湖北省武汉市，第15题3分)定义运算“*”，规定/y=a?+6y,其中

a、6为常数，且1*2=5,2*1=6,则2*3=

10

a+2Z?=5fa=1

<<

【解析】由题意知，［4a+b=6,所以W=2,所以xXy=x?+2y,所以2X3=22+2X3=10.

新定义翻译：新定义的实质是解二元一次方程组，从而确定常数值，最后转化为求代数式的

值.本题以新定义的形式出现，使简单问题新颖化，能很好的考查同学们的阅读理解能力.

【变式练习】

(2015•甘肃天水，第10题，4分)定义运算：a®b=a(1-b).下面给出了关于这种运算的

几种结论：®2®(-2)=6,(2)a®b=b®a,③若a+b=0,贝(a®a)+(b®b)=2ab,④若a®b=0,

则或b=l,其中结论正确的序号是()

A.①④B.①③C.②③④D.①②④

考点：整式的混合运算；有理数的混合运算.

专题：新定义.

分析：各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断.

解答：解：根据题意得：2®(-2)=2X(1+2)=6,选项①正确；

a®b=a(1-b)=a-ab,b®a=b(1-a)=b-ab,不一定相等，选项②错误；

(a®a)+(b®b)=a(1-a)+b(1-b)=a+b-a-b2#2ab,选项③错误；

若a®b=a(1-b)=0,贝Ua=0或b=l,选项④正确，

故选A

点评：此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题

的关键.

类型2：学习应用型

解决此类问题时要注意以下两点：一要理解阅读材料中解题方法及其存在的规律性；二是

熟练把握相关的知识。

【例题工(2015•江苏南昌，第24题12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三

角形”.例如图1,图2,图3中，加；助是△/回的中线，ZaL龙，垂足为尸.像△/回这样

的三角形均为“中垂三角形”.设BC-a，AC=b，AB=c*

特例探索

(1)如图1,当/A3E=45°,:2也时，；

如图2,当/A3E=30。，(：=4时，a=，b二；

cc

ABABAB

图1图2图3

归纳证明

2122

(2)请你观察⑴中的计算结果,,猜想〃，〃，c三者之间的关系，用等式表示出来，并利

用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

⑶如图4,在.DABCD中，点、E,F,G分别是AD,BC,缪的中点，BELEG,A氏2表，AB=3_

求4分的长.

BpC

答案：解析：（1）如图1,连接哥;则厮是△力8c的中位线，

-AB厂

:.E耳2=V2）

跳M5°,力虹0V.△力帆是等腰直角三角形，

'：EF//AB，二△诙也是等腰直角三角形，

：.AP^BP=2,E六F"\,:.AE=BRW

:.a=b=2V5.

如图2,连接俄则所是△被7的中位线.C

VZABE=2,0o,AELBF,AB=4,y\

：.A/^2,B占2M,A、\尸

//>邪；

•：EF=2,:・P斤73,p六L\/

•a=2yfi3b=2&

,,,•

（2）a2+Z?2=5c2

如图3,连接阳设/小0,阱〃.，贝I］。？=A32=机2+/

:.P斤2BK2n,小2仍2加,

AB

图3

-

A)T

A七7-12=m2+।—1n2TBr12=n2।+1—m2

・44

,•，

22222

,・•b=AC=4AE，=4m+n

a=BC2=4B尸2=4〃2+加2

.a2+Z?2=5(m2+n2)=5c2

(3)

P

如上图，延长%,6。交于点Q,延长曲刃交于点A延长蜴龙分别交做PQ千点、M,N,连

接第

:四边形是平行四边形，.园AB=CD,

'：E,G是分别是AD,。的中点，/.XEDG9△QCG"；.CQ=DE=a,DG=AM=1.5,：.

B后4.5.

CDCQ3V5

----~---------~-----

,:BPBQ.BP3指，...於父是解的中点；

'：AD=FQ,.•.四边形题0是平行四边形，，//〃闱

:区尸分别是/〃，6c的中点，州.•.四边形？LW是平行四边形，；.。1=毋；

由AFIIPQ舄•.

OF_BF_a0A_BA_3_10A_OF

QNBQ3'\/^3PNBP93,PNQN,：.P^QN,是国的中点；

・••△即是“中垂三角形”，.•・*=5%2_5产=5?(3㈣292=144,

Pe=4

,,pe=12(;^=|

【变式练习】

(2015•四川成都，第25题4分)如果关于x的一元二次方程ax'+bx+cF有两个实数根，且

其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法,

正确的是②③(写出所有正确说法的序号)

①方程x2-x-2=0是倍根方程.

②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m々Smn+nJO；

2

③若点(p,q)在反比例函数y二一的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；

X

④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点s),N(4-t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c

上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为°.

4

考点：根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上

点的坐标特征..

专题：新定义.

分析：①解方程X2-X-2=0得：Xk2,X2=-1,得到方程X2-X-2=0不是倍根方程，故①

nnn

错误；②由(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，且xi=2,x=---，得到一=-L或一=-4,

2mmm

.•.ni+n=O于是得至!j4m2+5mn+nJ(4m+l)(m+n)=0,故②正确；③由点(p,q)在反比例函数

212

y二一的图象上，得到pq=2,解方程px'Bx+qR得：xi=-—,x2=-—,故.••③正确；④由

xpp

方程ax,bx+c=O是倍根方程，得到XI=2X2,由相异两点M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛

物线y=ax2+bx+c上，/.

得到抛物线的对称轴x=2上至土上二L』，于是求出x1=2,故④错误.

2223

解答：①解方程x2-x-2=0得：xi=2,X2--1,

・・・方程X2-X-2=0不是倍根方程，故①错误；

②;(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，且xi=2,X2----,

m

m+n=0,4m+n=0,

4m2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0,故②正确;

③・・,点(p,q)在反比例函数y二的图象上，

••pq=2,

12

解方程px2+3x+q=0得：xi=-—,X2二-一，

PP

/.X2=2XI,故③正确；

④二•方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

**•设Xi—2x2,

•・•相异两点M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛物线y=ax，bx+c上,

...抛物线的对称轴x=MjL2=l+t+4-t=5,

222

・・Xi+x2=5，

・・Xi+2xi—5,

.-.=-,故④错误.

X13

故答案为：②③.

点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次

函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键.

类型3：新概念阅读型

首先要先读懂题中情形，从而根据相关的知识解决问题，再灵活运用所学过的有关知识点

进行点拨解题。

【例题】(2015•南宁，第12题3分)对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号论x{a,

Max[x—x)=2x+1

6}表示a、6中的较大值，如：%x{2,4}=4,按照这个规定，方程’x的解为

().

(A)1-V2⑻2-V2(C)1+&或1-痣(D)1+也或T

考点：解分式方程..

专题：新定义.

分析：根据X与-X的大小关系，取X与-X中的最大值化简所求方程，求出解即可.

2x+l

解答：当x<-X,即x<0时，所求方程变形得：-尸x,

去分母得：x+2,x+l=Q,即牛-1；

2x+l

当x>-x,即x>0时，所求方程变形得：三x,即V-2产1,

解得：下1+7^下1-正（舍去），

经检验尸-1与下1+我都为分式方程的解.

故选D.

点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为

整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

【变式练习】

（2015•浙江嘉兴，第24题14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的

凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）概念理解

如图1,在四边形40中，添加一个条件使得四边形465是“等邻边四边形”.请写出你

添加的一个条件.

（2）问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。

②如图2,小红画了一个以△A5G其中N/6e90°,AB=2,BOX,并将以△力勿沿

N/8C的平分线跖'方向平移得到△/'B'C,连结.小红要是平移后的四边形

ABCA'是"等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段如'的长）？

（3）应用拓展

如图3,“等邻边四边形”/以力中，AB=AD,ZBAD^ZBCD==90°,AC,即为对角线,

/信由8.试探究8C,CD,劭的数量关系.

图1图2

（第24题）图3

考点：四边形综合题..

分析：(1)由“等邻边四边形”的定义易得出结论；

(2)①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边

相等，得出结论；

②由平移的性质易得画=AA',A'B'//AB,A'B'=AB=2,B'C=801,A'C=4＞而,

再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；

(3)由旋转的性质可得△/母丝由全等性质得//阱/BA户/DAC,AF^AC,

FB=CD,利用相似三角形判定得△/"△/初，由相似的性质和四边形内角和得/或伫90°,

利用勾股定理，等量代换得出结论.

解答：解：(1)/斤6c或6俏切或磬=”或/氏四(任写一个即可)；

(2)①正确，理由为：［来'源&#:中教限网］

V四边形的对角线互相平分，.•.这个四边形是平行四边形，

:四边形是“等邻边四边形”，，这个四边形有一组邻边相等，

这个“等邻边四边形”是菱形；

@'：ZABC=90°,AB=2,BOX,

：.AC=45,

:将应△/以；平移得到△/'B'C,

：.BB'=AA',A'B'//AB,A'B'二AB=2,B'C=B(=\,A'C=AO烟,

(/)如图1,当四'=/6时，BB'=AA'=AB=2-,

(//)如图2,当A4'="C时，BB'=AA'=A'C=巡；

(IH)当/C=BC=立时，

如图3,延长CB'交AB于点、D,则CB'LAB,

'：BB'平分/ABC,

：.AABB'=ZAB(=45°,

/.ZBB'氏'ZABB'=45°,

：.B'D=B,

设6,D=BD=x,

则CD=x+1,BB'=42x,

■:在RtABC，中，加+(CD)J(B。)2

.*./+(x+l)J(V5)2,

解得：Xi=l,X2=-2(不合题意，舍去)，

：.BB'=V2A-V2,

(IV)当BC'=4庐2时，如图4,

与(III)方法一同理可得：加+9D)2=(BC)2,

设夕D=BD=x,

贝ij/+(矛+1)=22,

-i+V？-LV?

解得：荀―一2一,XX-2一(不合题意，舍去)，

'.BB'=V2^=2；

(3)BC,CD,M的数量关系为：切=2的，如图5,

:AB=AD,

...将绕点A旋转到△/册连接CF,

:.丛ABF^丛ADC,

：.AABF^AADC,/BA户NDAC,AF^AC,FB=CD,

ACAD

:./BAD=/CAF,AF=AB^1,

:.AACFsAABD,

CFAC

.-.BD=AB=V2,：.^-42BD,

'：ZBAD^ZADaZBCD^ZAB(=360o,

：.ZABC+ZADC-360°-(ZBAIAZBCD')=360°-90°=270

ZABC+ZAB/^2.7Q°,

：.ZCBF=90°,

：.B^+F^-Cfi=2=2立

；.%+5=2初.

点评：本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理

解新定义，分类讨论是解答此题的关键.

类型4：纠错补全型

对解题过程的阅读，一定要带有批判型的眼光去审查每一步，并且一定要克服自己的思维

定势，应把问题想的更宽更深些，这样存在的问题才能被挖掘出来。

【例题】(2015•四川凉山州第24题8分)阅读理解

材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边,

不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的

中位线.梯形的中位线具有以下性质：

梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半.

如图(1)：在梯形ABCD中:AD〃BC

VE,F是AB、CD的中点

；.EF〃AD〃BC

EF=(AD+BC)

材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

如图(2)：在△ABC中：

是AB的中点,EF〃BC

；.F是AC的中点

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题.

如图(3)在梯形ABCD中，AD/7BC,AC_LBD于0,E、F分别为AB、CD的中点，ZDBC=30

(1)求证：EF=AC；

(2)若0D=3jW0C=5,求MN的长.

考点：四边形综合题•.

分析：(1)由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得0A=AD,0C=BC,

即可证明；

(2)直角三角形中30。的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出0A=3,利用平行线得出

0N=MN,再根据AN=AC=4,得出0N=4-3=l,进而得出MN的值.

解答：(1)证明：：AD〃BC,

.•.ZAD0=ZDBC=30°,

.,.在RtZkAOD和RtZiBOC中，OA=AD,OC=BC,

.•.AC=OA+OC=(AD+BC),

VEF=(AD+BC),

.•.AC=EF；

(2)解：VAD/7BC,

/.ZAD0=ZDBC=30°,

...在RtAAOD和RtABOC中，OA=AD,OC=BC,

V00=373.0C=5,

.\0A=3,

VAD/7EF,

.\ZAD0=Z0MN=30o,

.•.ON=MN,

:AN=AC=(OA+OC)=4,

/.ON=AN-0A=4-3=1,

.•.MN=2ON=2,

点评：此题主要考查四边形的综合题，关键是根据梯形中位线的性质和直角三角形中

30°的锐角所对的直角边是斜边的一半进行分析.

【变式练习】

（2015•永州,第27题10分）问题探究：

（-）新知学习：

圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形

EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）.

（二）问题解决：

已知。。的半径为2,AB,CD是。。的直径.P是定上任意一点，过点P分别作AB,CD的垂

线，垂足分别为N,M.

（1）若直径ABLCD,对于前上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON

内接于圆，并求此圆直径的长；

（2）若直径ABLCD,在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为

定值，并求其定值；

（3）若直径AB与CD相交成120°角.

①当点P运动到前的中点R时（如图二），求MN的长；

②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值.

（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值,并写出其最大值.

图一图二国三

考点：圆的阅读解题.

专题：探究型.

分析：(1)如图一，易证NPM0+/PN0=180°,从而可得四边形PMON内接于圆，直径0P=2；

(2)如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=0P=2,问题得以解决；

(3)①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得/C0Pi=/B0Pi=60°,根据圆内接四边形的

对角互补可得NMPiN=60°.根据角平分线的性质可得PM=PN从而得到APiMN是等边三角

形，则有MN=PM然后在Rt^PM)运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆

为。0',连接N0,并延长，交。0,于点Q,连接QM,如图三，根据圆周角定理可得

ZQMN=90°,ZMQN=ZMPN=60°,在RtZiQMN中运用三角函数可得：MN=QN・sinNMQN,从而

可得MN=OP・sin/MQN,由此即可解决问题；

(4)由(3)②中已得结论MN=OP・sin/MQN可知，当NMQN=90°时，MN最大，问题得以解

决.

解答：(1)如图一，

VPM±OC,PNXOB,

AZPM0=ZPN0=90°,

.\ZPM0+ZPN0=180°,

...四边形PMON内接于圆，直径0P=2；

(2)如图一，

VABX0C,即/B0C=90°,

ZB0C=ZPM0=ZPN0=90°,

.••四边形PMON是矩形，

.\MN=0P=2,

；.MN的长为定值，该定值为2；

(3)①如图二，

：Pi是黄的中点，ZB0C=120°

.•.ZC0Pi=ZB0Pi=60°,ZMPiN=60°.

：PiM_LOC,PiN±OB,

.1.PiM=PiN,

...△PiMN是等边三角形,

.\MN=PiM.

PiM=OPi•sinZM0Pi=2Xsin60°=y/s，

;.MN=J5；

②设四边形PMON的外接圆为。O',连接NO,并延长,

交。0,于点Q,连接QM,如图三，

则有NQMN=90°,ZMQN=ZMPN=60°,

在Rt/XQMN中，sinZMQN=M

QN

，MN=QN・sin/MQN,

/.MN=OP•sinZMQN=2Xsin60°=2X坐=E，

MN是定值.

(4)由(3)②得MN=OP・sin/MQN=2sin/MQN.

当直径AB与CD相交成90°角时，ZMQN=180°-90°=90°MN取得最大值2.

图二

c

图一

点评：本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、

矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出

MN=OP*sinZMQN是解决本题的关键.

跟踪检测：

1.（2015•永州,第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3,[0.6]=0,[-

3.6]=-4.对于任意实数x,下列式子中错误的是（）

A.[x]=x（x为整数）B.OWx-[x]<1

C.[x+y]W[x]+[y]D.[n+x]=n+[x]（n为整数）

2.（2015•四川遂宁第21题9分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题.

111x-1111

计算：(1----------)(1--)x(1).

2342345234523+4

令』+l+L=t,则

234

原式=(1-t)(t+—)-(1-t--)t

55

114

=t+——t2"——t——t+t2

555

1

5

问题:

（1）计算

(1-----——…--------)X(—+—+—+—…+-------■+--------)-(1----—

23420142345201420152345

--------)X(—+—+-----+―1—)；

201420152342014

(2)解方程(X2+5X+1)(X2+5X+7)=7.

3.（2015•黑龙江绥化，第26题分）自学下面材料后，解答问题。

^^〉0；型把〈0

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：x+1x-1等。那么如何求出它

们的解集呢？

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为:

aa

(1)若a>0,A>0,则6>0；若a<0,b<0,则人>0；

aa

(2)若a>0,b<Q,则；若a<0,6>0,则人<0。

aa>0-a<0

b>0[b<0

反之:（1）若万>0则

a

(2)若6<0,则或

x-2

>0

根据上述规律，求不等式X+1的解集。

4.（2015•山东日照，第21题12分）阅读资料:

如图1,在平面之间坐标系xOy中，A,B两点的坐标分别为A(xi,yD,B(x2,y2),由勾

222

股定理得AB=|X2-X1|+|y2-yj,所以A,B两点间的距离为

22

AB=VX1+(y2-yi)

我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2,在平面直角坐标系xoy中，

A(x,y)为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为0A2=|x-0「+|y-0「，当。0的半

径为r时,。。的方程可写为：x2+y2=r2.

问题拓展：如果圆心坐标为P(a,b),半径为r,那么。P的方程可以写为.

综合应用：

如图3,OP与x轴相切于原点0,P点坐标为(0,6),A是。P上一点，连接0A,使tan

ZP0A=,作PDL0A,垂足为D,延长PD交x轴于点B,连接AB.

①证明AB是。P的切点；

②是否存在到四点0,P,A,B距离都相等的点Q?若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆

心，以0Q为半径的。。的方程；若不存在，说明理由.

5.(2015•浙江宁波，第25题12分)如图1,点户为/妩W的平分线上一点，以户为顶点

的角的两边分别与射线OM,(W交于A,6两点，如果//期绕点P旋转时始终满足

OAOB=OP-,我们就把//阳叫做/脑加的智慧角.

(1)如图2,已知/掰好90°,点户为/掰卯的平分线上一点，以点户为顶点的角的两边分

别与射线黑加交于48两点，且/加分=135°.求证：//阳是/加W的智慧角；

(2)如图1,已知/幽好口(0°<«<90°),OP=2,若//如是/加亚的智慧角，连结48

用含0的式子分别表示//期的度数和△/利的面积；

3

y=—(x〉0)

(3)如图3,C是函数％图象上的一个动点，过点C的直线切分别交了轴和丁

轴于点46两点，且满足6俏2俏，请求出///的智慧角///的顶点户的坐标.

6.(2015•湘潭，第24题8分)阅读材料：用配方法求最值.

己知x,y为非负实数，

,…2行(4)2+(石)2-24心(«-石)2M

，x+y22扬，当且仅当“x=y”时，等号成立.

示例：当x>0时，求y=x++4的最小值.

解：y=(x+2)+4)2Jx,+4=6,当x=，即x=l时，y的最小值为6.

xVx

(1)尝试：当X>0时，求y=X+X+1的最小值.

X

(2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，

假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的

2,

保养、维护费用总和为凡上万元.问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年

10

的年平均费用最少，年平均费用「所有晏'之和）?最少年平均费用为多少万元？

年数n

7.（2014•福建漳州，第24题12分）读材料：如图1,在AAOB中，Z0=90°,OA=OB,点

P在AB边上，PE±OA于点E,PF±OB于点F,则PE+PF=OA.（此结论不必证明，可直接应用）

图1图2

（1）【理解与应用】

如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点0,点P在AB边上，PELOA于点

E,PFLOB于点F,贝UPE+PF的值为证.

（2）【类比与推理】

如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=4,AD=3,点P在AB边上，PE〃OB交

AC于点E,PF〃OA交BD于点F,求PE+PF的值;

（3）【拓展与延伸】

如图4,。。的半径为4,A,B,C,D是。。上的四点，过点C,D的切线CH,DG相交于点M,

点P在弦AB上，PE〃BC交AC于点E,PF〃AD于点F,当/ADG=NBCH=30°时，PE+PF是否

为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

跟踪检测参考答案：

1.（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3,[0.6]=0,[-

3.6]=-4.对于任意实数x,下列式子中错误的是（）

A.[x]=x（x为整数）B.OWx-[x]<l

C.[x+y]W[x]+[y]D.[n+x]=n+[x]（n为整数）

考点：一元一次不等式组的应用.

专题：新定义.

分析：根据“定义[x]为不超过X的最大整数”进行计算.

解答：A、：以]为不超过x的最大整数，

...当x是整数时，[x]=x,成立；

B、：[x]为不超过x的最大整数，

；.0Wx-[x]<1,成立；

C、例如，[-5.4-3.23=[-8.6]=-9,[-5.4]+[-3,2]=-6+（-4）=-10,

：-9>-10,

/.[-5.4-3.2]>[-5.4]+[-3.2],

[x+y]W[x]+[y]不成立，

D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；

故选：C.

点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义.新定义解题是

近几年中考常考的题型.

2.（2015•四川遂宁第21题9分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题.

，111、，1111、，1111111

23423452345234

111

令A一+—+—=t,则

234

原式=（1-t）（t+—）-（1-t--）t

55

"5

问题:

(1)计算

,1111.111111、1111

23420142345201420152345

--_——----)x(_+_+_…+—_——)；

201420152342014

(2)解方程(X2+5X+1)(X2+5X+7)=7.

考点：换元法解一元二次方程；有理数的混合运算.

专题：换元法.

分析：(1)设,+上+^+—-_i=t,则原式=(1-t)X(t+---)-(1-t----

234201420152015

xt,进行计算即可；

(2)设x?+5x+l=t,则原方程化为：t(t+6)=7,求出t的值，再解一元二次方程即可.

解答：解：(1)设工+[+,••+1=t,

2342014

则原式二(i-t)X(t+---)-(1-1----)Xt

20152015

=t+—-12--L_t-t+t2+—^t=o；

201520152016

(2)设x2+5x+l=t,

则原方程化为：t(t+6)=7,

t2+6t-7=0,

解得：-7或1,

当t=l时，X2+5X+1=1,

X2+5X=0,

x(x+5)=0,

x=0,x+5=0,

xi=0,X2=-5；

当t=-7时，X2+5X+1=-7,

X2+5X+8=0,

b2-4ac=52-4XlX8<0,

此时方程无解；

即原方程的解为：xi=0,x2=-5.

点评：本题考查了有理数的混合运算和解高次方程的应用，能正确换元是解此题的关键,

题目比较典型.

3.（2015•黑龙江绥化，第26题分）自学下面材料后，解答问题。

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：x+1x-1等。那么如何求出它

们的解集呢？

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为:

aa

(1)若a>0,b>0,则6>0；若a<0,b<0,则少>0；

aa

(2)若a>0,b<Q,则6<0；若a<0,b>0,则万<0。

aa>0-a<0

反之:（1）若万>0则b>0[b<0

a

(2)若石<0,则或

x-2

>0

根据上述规律，求不等式X+1的解集。

考点：一元一次不等式组的应用..

专题：阅读型.

分析：根据两数相除，异号得负解答;

先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可.

fa〉0fa<0

<<

解答：解：⑵若<0,则〔b<0或（b>0；

'a>0ra<0

故答案为:b<0或b>0

'x-2>02<0

<或L+i<o

由上述规律可知，不等式转化为Ix+l>0

所以，矛>2或才<-1.

点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的

方法是解题的关键.

4.(2015•山东日照，第21题12分)阅读资料：

如图1,在平面之间坐标系xOy中，A,B两点的坐标分别为A(xi,yj,B(x2,y2),由勾

223

股定理得AB=|X2-X1|+|y2-yj,所以A,B两点间的距离为

-

AB=V(X2-xi)+(y2yi).

我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2,在平面直角坐标系xoy中，

A(x,y)为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x-O|，|y-o「，当。。的半

径为r时,。。的方程可写为：x2+y2=r2.

问题拓展：如果圆心坐标为P(a,b),半径为r,那么。P的方程可以写为(x-a)?+(y

-b)2-r2.

综合应用：

如图3,OP与*轴相切于原点0,P点坐标为(0,6),A是。P上一点，连接0A,使tan

ZP0A=,作PDL0A,垂足为D,延长PD交x轴于点B,连接AB.

①证明AB是。P的切点；

②是否存在到四点0,P,A,B距离都相等的点Q?若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆

考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中

线；勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

专题：阅读型.

分析：问题拓展：设A(X,y)为。P上任意一点，则有AP=r,根据阅读材料中的两点之间

距离公式即可求出。P的方程；

综合应用：①由PO=PA,PD_LOA可得N0PD=NAPD,从而可证到APOB0zXPAB,则有NP0B=

ZPAB.由。P与x轴相切于原点。可得/P0B=90°,即可得到NPAB=90°,由此可得AB是

OP的切线；

②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

0P

QO=QP=BQ=AQ.易证/OBP=NPOA,则有tan/OBP=OB^.由P点坐标可求出OP、0B.过点Q

作QHLOB于H,易证△BHQs/^BOP,根据相似三角形的性质可求出QH、BH,进而求出OH,

就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题.

解答：问题拓展：设A(x,y)为。P上任意一点，

VP(a,b),半径为r,

AP2=(x-a)2+(y-b)2=r2.

故答案为(x-a)2+(y-b)2=r2；

综合应用：

①：PO=PA,PD±OA,

ZOPD=ZAPD.

在和APAB中，

'PO=PA

<ZOPB=ZAPB

TB=PB,

.,.△POB^APAB,

.\ZPOB=ZPAB.

OP与x轴相切于原点0,

AZP0B=90°,

/.ZPAB=90°,

；.AB是。P的切线；

②存在到四点0,P,A,B距离都相等的点Q.

当点Q在线段BP中点时，

VZP0B=ZPAB=90°,

/.QO=QP=BQ=AQ.

此时点Q到四点0,P,A,B距离都相等.

VZP0B=90°,OAXPB,

.'.Z0BP=90°-ZDOB=ZPOA,

OP

tanZ0BP=0B=tanZPOA二.

•・・P点坐标为(0,6),

.\0P=6,0B=0P=8.

过点Q作QH_LOB于H,如图3,

则有NQHB=NP0B=90°,

・・・QH〃PO,

.,.△BHQ^ABOP,

QHBHBQ

.\OP=OB=BP=,

.\QH=0P=3,BH=0B=4,

A0H=8-4=4,

・••点Q的坐标为(4,3),

.­.OQ=7OH2+QH2=5,

以Q为圆心，以0Q为半径的。0的方程为(x-4)2+(y-3)=25.

点评：本题是一道阅读题，以考查阅读理解能力为主，在解决问题的过程中，用到了全等三

角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定

与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识，有一定的综合

性.

5.（2015•浙江宁波，第25题12分）如图1,点尸为/加亚的平分线上一点，以尸为顶点

的角的两边分别与射线0M,如交于A,6两点，如果//力绕点P旋转时始终满足

OAOB=OP2,我们就把//阳叫做/掰卯的智慧角.

(1)如图2,已知/例那90°,点户为NWV的平分线上一点，以点户为顶点的角的两边分

别与射线黑加交于48两点，且/加分=135°.求证：//如是/加W的智慧角;

(2)如图1,已知/幽好口(0°<«<90°),〃片2,若//期是/JW的智慧角，连结四,

用含0的式子分别表示//期的度数和△力利的面积;

3

y=—(x>0)

(3)如图3,C是函数％图象上的一个动点，过点C的直线切分别交了轴和丁

轴于点46两点，且满足6俏2俏，请求出///的智慧角///的顶点户的坐标.

【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三

角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.

【分析】(1)通过证明MOPsAPOB,即可得到°尸=0408,从而证得//期是/〃皿

的智慧角.

=-OBAH=-OBOAsina=-OP2sina

,S4AOB

(2)根据222得出结果.

(3)分点8在>轴的正半轴，点6在y轴的负半轴两种情况讨论.

【答案】解：(1)证明：掰好90°,点?为/就加的平分线上一点,

ZAOP=ZBOP=L/MON=45°

2

ZAOP+ZOAP+ZAPO=180°,ZOAP+ZAPO=135°.

•_­ZAPB=135°,ZAPO+ZOPB=135°.ZOAP=ZOPB

OAOP

AAOPsAPOB...OP~OB,即OP2^OAOB

：.//期是/加亚的智慧角.

(2)如是/胱W的智慧角，

M

OA

答图1

OAOP

...OP?=OA-OB,即丽一丽.

:点户为/距川的平分线上一点，

ZAOP=ZBOP=-a

：.2.

\AOP^\POB

NOAP=ZOPB

ZAPB=ZOPB+ZOPA=ZOAP+ZOPA=180°--tz

2.

如答图1,过点/作/吐出于点〃，

111

S=-OBAH=-OBOAsina=-OP^sina

...MOB222

...Qp=2,；.SgoB=2sina

（3）设点,（d°）,则仍=3.如答图，过