抽象代数完整版本

第一章古典代数以研究代数方程求解为中心，其历史源远流长。19世纪初，年轻数学家伽罗华（Galois）应用群的概念对高次代数方程是否可用根式求解问题进行了透彻研究并给出了明确回答，他成为抽象代数新思想的启蒙者。随后，这种把代数变成集合论的、公理化的科学的改造不断强化，产生了很多新的方法、新的观点、新的结果。到了20世纪20年代，数学最古老的分支之一的代数学完成了一次根本性的革命，完成了初等代数到近世代数的“飞跃”，即从研究数的运算到研究抽象代数系统的结构之“飞跃”。他的标志是范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版。时至今日抽象代数已经成为很多数学分支中最常用的工具，空前普及。以至近年来，人们不再把这门学问冠以“近世”“抽象”等高贵头衔，而朴素地称它为“一般代数学”“基础代数学”甚至“代数学”。本书仍称为《抽象代数》只是想把它与仅仅讨论以数为对象的那种经典代数加以区别。抽象代数是数学中最适合于自学的学科之一，本课程只假定读者学过中学代数并知道一点矩阵运算规则，此外不要求任何高等数学内容作为准备知识。学好本课程的关键在于对“公理化方法”实质和一些重要抽象概念的理解。切忌把抽象代数单纯作为“知识”来学，平均使用力量，每个定义都能背下来，但没有一个能“悟出真谛”。学习抽象代数的一个重要目的就是要提高“抽象思维”能力。本书共7章，本人将着重介绍二、三、四、五、六章，第一张过于基础，都是些普通的概念，第七章的内容已在《GaloisTheory》中详细介绍。大致内容包括：群，环，域，三个方面，三、四章主要介绍群的定义，及几类特殊群；第四章介绍了群同态——仅仅是保运算的一种n对1的对应关系，n取决于ker中元素个数。同样第四章完成的是环的这方面的介绍。第五章主要是对域的一些定义性的介绍，以及如何构造域，当然也对多项式环做了一点介绍，主要是为第六章研究多项式分解做一点铺垫。学完抽象代数印象最深的就是代数系统的定义方式，仅仅是满足几条公理的体系，以至于学拓扑感觉很代数，很亲切！再一个就是同态的那种对应关系，看似复杂的定理形式实际的内涵确实如此的简单，明了！第一章集合映射和关系这一章是抽象代数的基础，也差不多是所有现代数学分支的基础。大家一定早已熟练，在此只简要介绍。1.1集合定义：集合、元素、集合相等、空集、子集合、真子集、幂集（集合A的所有子集所形成的集合）、并集、交集在此略下。子集族：设J是一个非空集合（可以有无限多个元素），每个j∈J对应集合S的一个子集Aj，则通常说，Aj是S的一个以J标号的子集族，J称为指标集。当然还有子集族的交集和并集，余集的定义在此也略下。1.2笛卡儿积和关系定义1对任意集合A和B，集合A*B={（a，b）la∈A,b∈B}称为A,B的笛卡儿积。（从实数到实数对的构造方法）定义2设A,B都是集合。任取笛卡儿积A*B的一个子集R，我们都说确定了A和B的一个关系R。对任意a∈A，b∈B，如果（a，b）∈R，则说a和b有R关系，记为aRb。（一个新的定义）1.3等价关系、分类和商集定义1等价关系（在高等代数已介绍过，在此略下）定义2设~是集合A上的一个等价关系，对每个x∈A，称A的子集Sx={yly~x}为元素x的等价类。命题1.3.1符号如定义2所设，则对于任意x∈A，Sx非空；对任意x，y∈A，若Sx≠Sy，则必有Sx∩Sy=∅；A恰为其所有不同等价类的并集。（这个命题很不一般，直接推导出拉格朗日（Lagrange）定理：有限群G的任意子群H的阶数一定整除G的阶数）（证明：首先A的所有元素都在一个等价类里，就算每个元素自己在一个等价类里x~x（反身性），其次假如Sx与Sy交非空，则由等价关系的传递性必有Sx=Sy。每个A中的任意元素都分到一个等价类里，且只能在一个等价类里）命题1.3.2若有集合A的一个分类，既有A的子集族Si，i∈△满足（1）Si∩Sj=∅，i≠j，（2）A=∪Si，规定，对任意a，b∈A，a~b当且仅当a，b属于同一Si，则~为A上等价关系，且诸Si，i∈△恰为~对应的不同的等价类。（根据定义证明比较平凡）定义3设~是集合A上的一个等价关系。说A的子集T是关系~下的一个等价类表示的完全集，如果T中不同元素的等价类也不同，且A=∪St。定义4设~是集合A上的等价关系，T是关系~之下的一个完全集则集合A（上一短线）={Stlt∈T}称为对等价关系~的商集（等价类为元素的集合，和以后的商群，商环稍有联系,都是集合的集合）1.4映射首先可以定义映射关系，映射定义略，和以前了解的一样。定理1.4.1十分平凡，恒等映射、嵌入映射、投影（笛卡儿积A*B到A或B的映射）、等价关系确定的自然映射（元素对应其等价类的映射）在此只简述。引理1.4.1对任意m∈I，恒有q，r∈I使得m=qn+r，0≤r＜n。而且，满足上述要求的q，r均由m唯一确定。（高等代数的多项式中早已介绍过更一般的结论）映射像Img（f），单、满、双射、复合映射、复合映射满足结合律、单射满射的复合依旧是单射和满射、g*f是满射，则g是满射；g*f是单的，则f是单的、可逆映射、定理1.4.2：映射f是可逆的，必要而只要f是双射。逆映射都不详述。命题1.4.6设f：A→B，对B的任意子集T，都有f（f原像（T））=T∩Img（f）。（f不一定是满射，这条命题在3.3节有个小应用，命题3.3.7，类似的群的映射结论）1.5置换只含有限个元素的集合称为有限集，非空有限集A到A本身的可逆映射称为A上的置换，也说是A的一个置换。（就是可逆变换）定义一数码1,2，……，n的每一个有确定次序的排列称为一个n。在一个n排列中，如果较大的数排在较小的数之前，则说这两个数构成了一个反序，该排列中出现的反序的个数称为它的反序数。（和高代行列式中的定义一样，和之后已证的结论也一样）以下结论不予证明:命题1.5.2若把一个n排列中某相邻两数码互换位置，则所得到的新排列的反序数与与原排列的反序数差1.命题1.5.3当n＞1时，n！个n排列中，反序数为偶数者恰有一半（任何人对奇偶排列都没有偏见）命题1.5.4将一n排列之两数码（未必相邻）对调，得到的新排列与原排列的反序数奇偶性相反。排列为偶数的置换称为偶置换，反之为奇置换。命题1.5.5可由命题1.5.6平凡推出。两个奇偶性相同的置换复合后必为偶置换，两个奇偶性相反的置换复合后必为奇置换。（复合为序数的和差）命题1.5.7置换p的逆映射（在此称为逆置换）p逆与p的奇偶性相同。（由P的定义显然）1.6运算在抽象代数中，所说的运算是以千差万别的集合为对象的，不只限于数的运算而已。定义1设S是非空集合，把S*S到S的映射称为S上的二元运算，简称为S的运算。（定义很简单，不过需要特别注意两点，1，运算封闭；2，相同元素对应的运算结果相同，良定义。还有以后在判断是否构成群的时候首先要注意规定的运算是否合理，是否是二元运算！）接下来的工作是延照高等代数第一章多项式的内容，定义整除，再简略介绍点相关的结论，在此仅摘录，证明及解释可参看高等代数第一章的总结。定义若一个整数a可以表示成a=bc，其中b和c都是整数，则说b和c是a的因子，或说它们能整除a，记为bla，cla。如果正整数p不等于0,1且它只有因子1和p，则称p为素数。引理1.6.1任意两个非零整数a，b恒有最高公因子d，且必有s，t∈I使d=sa+tb。（高代定理1.3.2）引理1.6.2设b为正整数，a为任意整数，则a和b的最高公因子d可表为d=sa+tb，s，t∈I，0≤s＜b（这条引理稍有新意，在原有的上一条引理的基础上d=ja+hb，将j用b带余分解，再合并同类项既得）推论设p为素数。对任意i*∈Ip，如果i≠0，则必有j＜p使i*×j*=1*（此条的证明相对简单，应用却在Ip（p为素数）构成群上十分广泛）结合律及交换律的定义就不多说了！第二章第二章群与子群一个集合，对于它上的一个运算，满足结合律等几条极简单又极自然的要求，即说该集合对这个运算构成群。群是抽象代数最先遇到的代数系统，很基础，是学习以后内容的前提，也是很有代表性的一个，很有代数的风格。2.1群的定义定义1一个集合G和G上的一个运算·满足下列条件，则说G对·构成群，或说（G，·）是个群，在不致引起混乱时,也可简单地说，G是个群：（0）·是二元运算；（1）结合律；（2）有恒等元，即有e∈G，使对任意a∈G，都有e·a=a·e=a；（3）每个元都有逆元素，即对任意a∈G，都有b∈G使得a·b=b·a=e。（封闭，结合律，有单位元，再加上有逆元，使得群内任意元素都能建立关系，比方说环在乘法下就没有这么好的性质）下面，我们来看，一个群具有怎样的简单性质。将来，一旦验证了某个集合及其上的一个运算满足了群的定义中的三条要求，那么，它就一定有这些性质，就不需每次都来证明它有这种共性了。这正是公理化方法的优点。命题2.1.1设（G，·）是个群，那么G中任意元素a只有唯一的一个逆元素。（证明的手法是拆分单位元，在以后证明唯一性的时候经常遇到）命题2.1.2设G是个群。对任意a，b∈G有（a逆）逆=a，b逆a逆=（ab）逆。（很平凡，根据定义验证就可以）命题2.1.3设G为群。对任意a，b，c∈G，ab=ac，蕴涵b=c，ba=ca蕴涵b=c，并分别称为左，右消去律。（有逆元即满足消去律，无逆的系统就没有这么好的性质。而对于有限的集合，还可以自己证明二元运算满足左右消去律的还能推出有逆元，和单位元，即构成群；对于二元运算满足分配律的，如环，满足消去律等价于无零因子）推论略定理2.1.1设·是集合G上的一个运算，只要他满足（1）结合律；（2）有左单位元；（3）有左逆。则（G，·）是个群("削减"了群的形成条件，在以后经常会由此推出集合为群。证明的主要手法是拆分e，再加上考虑每个元素的左逆即可凑出所要得出的结论，最好自己证一下，加深印象)定理2.1.2设·是集合G上的一个运算且满足结合律。那么（G，·）是个群，必要而只要，对任意a，b∈G都有唯一的c，d∈G使得a·c=b，d·a=b（这条等价条件应用比较少，形式上很容易能推出单位元和逆）命题2.1.4对任意正整数n，都有a^(-n)=(a^-1)^n（平凡）命题2.1.5设a是群G的一个元素。对任意的m，n都必有a^m·a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^mn.（平凡）群（G，·）的运算通常称为乘法。当群的运算·满足交换律时，则称之为交换群或阿贝尔（abel）群。交换群的运算可称之为加法。单位元称为零元素，元素a的逆元素改称为a的负元素，记为-a，m个a相加记为ma。2.2子群定义1设（G，·）是个群，如果G的子集H对同一运算·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。或者，简单地说，H是G的子群。（很自然的一个定义，子结构在代数系统一直都占有一定的重要地位）命题2.2.1如果H是G的子群，那么H的恒等元f等于G的恒等元e；也就是说e∈H。（很显然，任意元素和其逆的积都等于e,同样在以后子域零元和单位元都保留）定理2.2.1设（G，·）是个群，H是G的子集。那么，H是G的子群，当且仅当（1）H非空；（2）如果a，b∈H，则a·b∈H；（3）如果a∈H，则a在G中的逆元属于H。（首先结合律不需要验证，首先要验证·是否是子集合上的二元运算，即封闭性（2），（3）保证了逆和单位元）定理2.2.2设G是个群，H是G的一个子集。那么H是G的子群当且仅当（1）H非空；（2）对任意a，b∈H，都有a·b逆∈H。（近一步简化子群的等价条件，和上定理类似，个人解释也类似，可自己验证，这条等价条件很常用）命题2.2.2设G是个群。对于G的任意的一个子群族，它们的交集仍为G的子群。（运算封闭，结合律，单位元，逆自然在每个集合中都满足，当然在交集中也满足，自然构成群）命题2.2.3设H和K都是群G的子群。如果它们的并集也是G的子群，那么必有一个子群包含另一个子群。（反证，在各自的集合找非公共的元素h和k，由于构成群h·k属于并集，则必属于H或K，由消去律知另一个也属于H或K，与假设矛盾。在此想起了向量空间的一条性质，内部和外部作用一定属于外部！）命题2.2.4设G是个群，a是G的元素。则<{a}>={a^ili∈I}。（循环群，每个群中最基本的子结构，稍有些“拼凑”的意思！）定理2.2.3符号如上所述，则<S>=H。（略）2.3对称群和置换群群的初等理论中相当多的问题都来自于几何学，特别是来自对称性的讨论。时至今日，群伦最活跃的几个领域中，如平面或空间运动，晶体结构，生物遗传等，群的威力仍主要体现在处理各式各样的对称问题上。集合S={1,2，……，n}上所有置换在映射合成之下构成群。今后称这个群为n次对称群，记为Sn。同时，实际上，我们也证明了，S上的所有偶置换，在映射的合成之下也构成群，这是Sn的一个最重要的子群，通常记为An，称为n次交代群。定义1n阶对称群Sn的任意一个子群都称为置换群。（集合上映射构成的群，研究集合上的映射的重要性可以参看GaloisTheory，域上的自同构与方程有无根式解有紧密关系）命题2.3.1当n≥3时，Sn不是可交换的。（反例易举，有交叉，不可交换）定义2如果n阶置换P，把1到n中若干个数码i1，i2，……，ik按下方式对应P（i1）=i2，P（i2）=i3，……，P（ik）=i1，而对其余数码不变，则说P是一个K循环，记P=（i1，i2，……，ik）。（着重定义了一种表示方法）定义3循环（i1，i2，……，ik）与（j1，j2，……，jl）称为不交的，如果it≠jst=1,2，……，k，s=1,2，……，l。（针对映射交换的定义）命题2.3.2若两循环不交，则它们可交换。（两个循环没什么交叉的地方，没什么关系，互不影响）定理2.3.1在Sn中，任何一个不等于恒等映射的置换必可表成若干个互不相交的循环的乘积。（很容易证明，只需操作一下，看看先从第一个元素开始映成了什么，依次下来直到回到第一个元素，这就构成了一个循环，再看剩下的第一个，依次下来的各循环都不相交）定理2.3.2设P是个n置换P=P1P2……Pl=Q1Q2……Qk，其中P1P2……Pl与Q1Q2……Qk都是两两不交的循环，则必有k=l，且可将Qi顺序适当调整，使得P1=Q1，P2=Q2，……，Pk=Qk，此循环不包括1循环在内。（实际操作计算一下很容易，很显然得出的结论）命题2.3.3任意一个k循环都可以表成若干个2循环的乘积。（任意循环都可以一步一步变两个元素得到）命题2.3.4在Sn中k循环生成的子群是p阶循环群。（很平凡，尤其是看完下一节）命题2.3.5设G是S={1,2，…，n}上的一个置换群，对于S的任意一个子集T，令GT={P∈GlP（t）=t，对每个t∈T}。则GT是G的一个子群。（根据定义，很规范的过程）命题2.3.6设G是S={1,2，……，n}上的一个置换群，T是S的一个子集。令G^T={P∈GlP（T）包含于T}，则G^T是G的一个子群。（也是根据定义验证就可以，此种集合T以后会知道称为不变子集，与不变子空间，不动点体都很相近，本书会直接衍变成下一章很重要的不变子群的概念）2.4循环群进一步学习群论还会发现，有一些地位相当重要的群，实际上，可由这种由单个元素生成的子群“拼凑”而成。定义1群G称为循环群，如果有g∈G，使得G=<g>。也有人称循环群为巡回群。（很基本的一个群的子结构）命题2.4.1设G是个群，g∈G。如果有不同的整数r和k使得g^r=g^k，则存在一个正整数m使得（1）g^m=e；（同乘其中次数较小者的逆）（2）当1≤i＜j≤m时，g^i≠g^j；（与m最小矛盾）（3）如果有整数t，使得g^t=e,则mlt；（m最小）（4）<g>={e，g，g^2，…，g^(m-1)}.（循环群的结构形式）命题2.4.2设G是个群，g∈G。如果对任意的不同的整数r，k都有g^r≠g^k,则<g>是个无限群。（很容易理解，没有重复的当然是无限的）定理2.4.1设g是循环群G的一个生成元，那么（1）当有正整数r≠k时，使g^r=g^k时，G是m阶循环群，当i，j小于m时g^i≠g^j；（2）当对任意正整数r≠k时均有g^i≠g^j，G={…，e，g，g^2，…}（完全可由上两个命题平凡推出）命题2.4.3设G={e，g,g^2,…，g^(m-1)}正整数p与m互素且p＜m，那么G=<g^p>（以提到过的1.6节引理1.6.2的推论直接推出，算是数论性质的一个简单应用，p与m互素，则p和小于m的任意元素相乘可得到除以m余小于m的所有元。以后还会用到，注意感受！）这个命题比较完整地回答了循环群生成元唯一性的问题。命题2.4.4无限循环群的每个子群都是循环群。（还是取次数最小元的一个手法应用，结论比较工整好记，与无限没什么关系）命题2.4.5和命题2.4.5略2.5阶数定义1群G中元素的个数称为G的阶数。当G有无穷多个元素时，说G是无限阶的；当G的元素的个数有限的时候，用lGl代表G的元素的个数。对于群G的元素a，如果有非负整数n使得a^n=e，且n为使上等式成立的最小整数，则说n是有限阶的，阶数为n。（关于群元素数量上的一个定义，方便在数量上考虑群的性质。与本书以后提到的特征数char（）关系紧密，特征数实为加法阶数）命题2.5.1设a是G的一个元素。那么a的阶数与子群<a>的阶数相等。（由定义显然）定义2设H是G的一个子群，H在群G中确定关系~如下：a，b∈G，a~b当且仅当ab逆∈H，称~是H在G中确定的右关系。（由子群定义的一个关系，而且是等价关系，由第一章的内容可将G划分成等价类，而且每个等价类中的元素个数相等，从而得出Lagrange定理，这是本节的主线）命题2.5.2设H是G的子群，则H在G中上确定的右关系~是个等价关系。（由等价关系定义的反身性，对称性，传递性验证即可）定义3对G之任意非空自己A，B，称G的子集｛g∈Glg=ab，a∈A，b∈B｝为A与B的乘积，记为AB。（类似笛卡儿积）当A为子群，B={b}时，记Ab=AB，并称Ab是A在G中的一个右陪集。类似的也可以定义左陪集。（为了和左右关系建立联系，当然在不变子群的等价定义上也发挥了很大作用）命题2.5.3设H是G的子群，~是H在G中确定的右关系，那么元素a∈G在等价关系~之下的等价类恰好是H的右陪集Ha。（右陪集和右关系的紧密联系就在这里，等价类就是陪集，比较直观，证明也很简单）推论设H是G的子群，a，b∈G。那么ab逆∈H当且仅当Ha=Hb。（a与b等价当然在一个等价类里，陪集就相同，即Ha=Hb）命题2.5.4如果H是G的有限子群，则子集Ha的元素的个数等于H的阶数。（推出下面重要定理比较关键的一步。Ha明显阶数小于等于H的阶数，只需证明Ha元素各不相同，这一点由群的消去律可以给出）拉格朗日（Lagrange）定理设G是个有限群。那么G的任意子群H的阶数一定整除G的阶数。（定义2总结的主线各个问题都已解决）（值得注意的是并不是G阶数的因子数就是某子群的阶数，如四次交代群无六阶子群）推论1设G是个有限群。那么，它的任意元素a的阶数都能整除G的阶数。（a的阶数等于<a>的阶数，<a>是子群）推论2设G是个有限群，lGl是个素数。那么G只有{e}和G两个子群。（只有两个平凡因子）推论3设G是个有限群，lGl是个素数。那么G必为循环群。（显然）命题2.5.5设G是个有限交换群。如果a∈G的阶数t大于或等于G中所有元素的阶数，那么每个元素的阶数均可整除t。（结论稍奇特，没发现什么应用，证明不难，需要简单构造一下，打字形式稍复杂，略下）本书关于直积的知识略。第三章第三章群的同态两个群同构时，犹如一个是另一个的复制品，其大小和结构完全相同（代数性质完全复制）。比同构更一般的概念是同态，犹如从照片上反映人物特性，后者表现前者在一定要求下的基本属性，不要求一模一样。同态乃是一个群到另一个群的映射，不要求是双射，这样，这样映射的像通常比原来群要来得“小”些（原来群与同态像阶数上有严格倍数关系，等于Ker中元素个数，同态像与商群同构--同态基本定理（本章最主要的结论））。同态概念同样在环论，模论等几乎所有代数学领域广泛使用，是代数学的最重要概念之一。这一阶段是整个抽象代数学习过程中思想方法上的一次飞跃，如果顺利通过本章各个环节，那么在其后的内容的学习上将不会有根本性障碍！3.1群的同构定义1设（G，△）是个群，（H，·）也是个群。如果f：G→H是个双射，且对任意a，b∈G恒有f（a△b）=f（a·b），则说f是G到H的同构映射，G和H同构。（可以自己想想一个群有什么，就是元素和它们之间的运算关系，再无其他。在代数上，元素一一对应而且保持之间的运算关系就可以看作是同一系统）命题3.1.1设G和H同构，则同构映射f把G中的恒等元映成H中的恒等元。(代数结构相同，恒等元是很特殊且唯一的一个元素，保持下来很显然且自然）命题3.1.2条件如命题3.1.1，那么对于G中的任意元素a，都有f（a逆）=f（a）逆。（和上一命题一样，证明起来比较容易，主要就是保运算加上群中元素的逆存在且同态推得，与第三节同态保持的性质一样）命题3.1.3设A={（G，△），（H，·），（K，#），…}是由一些群构成的一个集合。我们在A中定义关系≈，（G，△）≈（H，·）当且仅当G同构H。那么≈是A上的等价关系。（结论显然，亦可根据等价关系的定义验证）命题3.1.4任意n阶循环群都同构于（In，+）。（没什么好说的，显然）命题3.1.5任意无限循环群都同构于整数加法群（I，＋）。（同上，当然都可以用定义步骤证明）命题3.1.6设群（G，△）同构于群（H，·），而G是个循环群，则H也是循环群。（所有代数性质都保持，当然保结构）命题3.1.7略。命题3.1.8设A是有n个元素的集合，G是A到A的所有可逆映射在映射合成之下构成的群。那么G同构于Sn。（显然置换就是可逆映射）3.2群上的可逆变换这一节要讨论群G上的所有可逆映射在映射合成之下构成的群I（G）的性质。最重要的结论是，任意群必同构于其上可以映射构成群的一个子群。一般的群，由于背景各异而千差万别，有了如上的“表示定理”，我们只要把群上可逆映射所构成的群讨论充分，则其他出之各处的群也就清楚了。定义1设（G，·）是个群。将G到G的可逆映射称为G上的可逆变换。G上的所有可逆变换在映射的合成之下构成群，记为I（G）。（本节主要讨论可逆变换）群G到G本身的同构映射称为G的自同构。命题3.2.1G的所有自同构的集合Aut（G）是I（G）的一个子群。（由子群的定义或等价条件很容易验证）命题3.2.2设G是个群，a是G的一个固定元素。通过a可以得到G上的一个变换λa，规定每个x∈G对应ax，即λa（x）=ax，x∈G。则λa是G上的可逆变换，称为a左乘变换。（验证可逆即可，λa导出的元素个数小于等于G中元素个数，只验证单射即一定是满射。对于任意x，y∈G，若ax=ay，由消去律自然有x=y，故为单射，即左乘变换为可逆变换。当然也可类似定义右乘变换。）命题3.2.3设G是个群，G中元素的所有左乘变换的集合L={λala∈G}是I（G）的一个子群。（结论显然，用子群的定义简单验证即可）命题3.2.4设G为任意一个群，L是其元素导出的所有左乘变换形成的群，则G同构于群L。（规定a→λa，结论显然）定理3.2.1（凯莱定理）每个群G都同构于其上所有可逆变换构成的群I（G）的一个子群。（G同构于左乘变换群，右乘变换稍有不同）推论每个n阶有限群必同构于n阶对称群Sn的一个子群。（可逆变换群同构于Sn）命题3.2.5设G是个群，a是G的一个固定元素，通过a可导出一个G到G的映射γa，γa（x）=axa逆，x∈G。那么γa必为G到G的同构映射。（可逆，保运算，形式上比较好验证。形式上比较对称）定义2设G是个群。G的元素a所导出的映射γa称为a导出的内自同构。（内自同构是群很重要的一个研究方向，在GaloisTheory中有很重要的性质和结论（不动点体上的可离扩张，伽罗华定理等），主要是刻画群中各元素之间的等价属性，反应群的结构，此处只是给出了非交换群内自同构的一种构造方法，当然还有其他非此类的自同构关系）在2.3节关于置换群的讨论中，我们知道，对有限集S的任意一个子集T，若G是S上的一个置换群，则GT={那些使T不动的的置换}是G的一个子群。一般地，若f是G到G本身的一个映射，T是A的子集，且f（T）包含于T，则说T是f的一个不变子集，此时f在T上的限制就是T到T本身的一个映射。这个概念广泛的用于数学的各个分支，特别是线性代数，拓扑学，泛函分析，等等。定义3设G是个群，H是G的一个子群。如果H在每个内自同构映射之下都不变，即对任意a∈G，任意h∈H，都有aha逆∈H，则说H是G的不变子群。并记成H◁G。（可简单理解为在G中除本身没有与H中元等价（代数性质相同，可替换）的元，或者等价也是H中的元。与不动点体相似）命题3.2.6设H是G的子群。那么H是G的不变子群的充分必要条件是对任意g∈G，gH=Hg。（换序是不变子群最大的优势！是构造商群推到群同态基本定理必不可少的特性，当然下一章会介绍一个与其作用相当的结构-理想）命题3.2.7设G是个群，K是其子群，N是G的不变子群。则KN=NK，且NK也是G的子群。（由于N是不变子群，故易得KN=NK，而且NK=KN是KN是子群的等价条件：由2.5节的定义知KN={x∈Glx=kh，k∈K，h∈N}，首先需验证运算封闭，k1h1k2h2是否属于KN,由于KN=NK，交换顺序可以证明封闭，而且显然满足结合律，ee是单位元，任意逆元属于KN，所以KN=NK是子群）命题3.2.8设N和H都是群G的不变子群，则NH也是G的不变子群。（由于N,H都是不变子群，易知任意NH的左陪集等于右陪集）命题3.2.9设G是个群，Nα都是G的不变子群，α∈M，那么这些子群的交也是G的不变子群。（首先由子群的结论知不变子群的交是子群，其次用内自同构定义容易验证验证是不变子群）3.3群的同态简单地说：同态就是把原群映成原群（同构），或者除去几个循环群单位及它们交叉乘项后的群（除去的是Ker中元素），其他性质不变。与由Ker生成的商群代数结构完全相同！定义1设（G，·）是个群，（H，#）也是个群。那么，G到H的映射f称为G到H的同态映射，如果对任意a，b∈都有f（a·b）=f（a）#f（b）。粗略地说，同态就是保运算的映射。（映射保持了元素间的关系，没有保持的是对应数量关系）命题3.3.1设f是群G到H的同态映射，eG和eH分别是它们的恒等元。那么f（eG）=eH。（原因与同构保持的性质相同--保运算及群中消去律，只能把恒等元映成恒等元。）命题3.3.2设f是群G到群H的同态映射，。那么，对G中任意元素g，元素f（g）在H中的逆元素恰为f（g逆），即f（g逆）=f（g）逆。（保运算且逆元素存在且唯一推得）命题3.3.3设f是群G到群H的同态映射，那么H中恒等元eH的原像K=f逆（eH）={g∈Glf（g）=eH}是G的不变子群。定义2设f是群G到H的一个同态映射，那么称eH的原像为映射f的核，记为Ker（f）。（很重要的一个结构，以下叙述方便仅记为Ker）命题3.3.4如果f是群G到群H的同态映射，g是群H到群K的同态映射，则gf是群G到群K的一个同态映射。（这个映射过程的结论比较简单）定理3.3.1设f是群G到群H的同态映射，g是群H到群K的同态映射。那么，有Ker（gf）=f原像（Ker（g））。（很平凡，过程简单，很好想出。）定理3.3.2设f是群G到群H的同态映射，g是群H到群K的同态映射，那么Img（gf）=g（Img（f））。（比上一个还平凡，在第一章介绍过）命题3.3.5设f是群G到群H的同态映射。如果A是G的子群，则f（A）是H的子群；如果B是H的子群，则f逆（B）是G的子群。（由本节开篇总结的过程可容易得出结论，A的一些循环群单位及交叉项原封不动，其余的循环群单位及交叉项映成eH；反过来的过程也是类似的，可以自己推得。抛开定义证明，感受这种同态映射的实际过程是很重要的！）命题3.3.6设f是群G到群H的满同态映射，A是G的不变子群，B是H的不变子群。那么f（A）是H的不变子群，f逆（B）是G的不变子群。（A是G的不变子群，就是对于G上的任意自同构只能把A的元素映到A中，A中的元素不可能与A之外的元素等价。按照同态的映射过程，A会保持一些循环群单位及交叉项不变，其余映成H的单位元，而H上的内自同构会少一些，但一定不会把A的像同构到A的像的外边，故f（A）是H的不变子群；反过来的过程类似，不变子群的原像是不变子群与Ker中元素作用生成的群，而原群是Ker与H作用（同构意义下）生成的群，因为B是H的不变子群，即B在H中没有与B同构意义下等价的元素，那么在原群中任意同构都不可能把B不与Ker作用的原像映成H不与Ker作用的原像中的元素，但是不能保证不把Ker中的元素映成H的不与Ker中元素作用的原像，这种理解的漏洞主要在于定义不变子群的内自同构不是群上的所有内自同构，所以反过来的证明可以参考书上“形式上的证明”。结论还是挺重要的）定理3.3.3设f是群G到群H的同态映射，eG和eH分别是G和H的恒等元。那么，f是单射的充分必要条件是Ker（f）={eG}。（由同态实质可简单推出）命题3.3.7设f是群G到群H的同态映射，B为H的子群。则f（f逆（B））=B∩Img（f）。（很容易理解，前面提到过类似的结论）命题3.3.8设f是群G到群H的同态映射，A是G的子群，则f逆（f（A））=AKer（f）。（f逆（f（A））等于A和Ker作用生成的群，而Ker是不变子群，由命题3.2.7可写成AKer（f）由前面的铺垫容易得出，结论也从侧面反映了同态的过程）命题3.3.9群G到群H的满同态映射f是同构映射，当且仅当Ker（f）={eH}，其中eH是H的恒等元。（同态把一部分原封不动，一部分映成eH，现在只有单位元映成单位元，就是全部原封不变）3.4商群总结一下同态在数量上的对应关系：已经反复提过，同态就是把群中的一部分循环群及交叉项同构，剩下的映成像的单位元。而元群的阶数等于两部分元素个数的乘积，而同态像元素个数等于第一部分元素的个数，故同态是n对1的保运算的映射，n取决于Ker中元素的个数。定理3.4.1设N是群G的一个不变子群，G/N代表G对N的所有陪集构成的集合。规定，任意aN，bN∈G/N，对应G/N的元素（a·b）N，则得到G/N的一个运算，记为#，即aN#bN=（a·b）N。进一步，（G/N，#）是个群。（不变子群的换序发挥了很大作用，主要使定义合理，“相同”的元素作用结果应相同唯一，即良定义。其余的结合律，左单位元，左逆元都不是实质上的问题，都比较好解决，所以（G/N，＃）构成群）定义1设N是群G的不变子群。在商集G/N中规定aN#bN=（a·b）N，aN，bN∈G/N。则（G/N，#）构成群，称为群G对不变子群N的商群。（我们来看看这个群，对应数量上肯定是n对1，陪集的元素个数等于N中元素的个数，是上一章的结论，和同态映射未映成单位元的元素原像是aKer（f）相同，而且形式上也是一模一样的，推导出同构是十分自然的！此定义就是为了转换了一下形式阐述同态映射性质而定义的！当然转换形式会一定程度上简化形式，不过也会使规律结论失去一定的原本的面目！）命题3.4.1如果G是个群，N是G的不变子群，那么映射f：G→G/N，f（a）=aN，对任意a∈G，是满同态映射，且Ker（f）=N。（Ker（f）=N显然，满同态也比较自然，满的话，肯定任意陪集都有原像，保运算在定义之初证合理性时就涉及到了）定理（同态基本定理）设G和H都是群，f是G到H的满同态映射，Ker（f）=K。那么有映射φ：G/K→H，使得φ（aK）=f（a），对每个aK∈G/K，且φ是G/K到H的同构映射。从而G/K≈H。（由前几个问题的解释得出结论是平凡的!)叙述手法比较随意，个人感觉解释比较清楚，只是写的一点总结也就不润色了，当然理解清楚本人的方式可能还需一定的思考过程。第四章第四章环与理想前两张讨论的群是个仅有一个二元运算的代数系统。本书的后几章将要学习同时具有两种二元运算的代数系统。当然，一个集合上的两种二元运算各有各的规律，这就需要读者首先掌握好有一种二院运算的系统的研究方法，特别是群论的研究方法。初步学习环时可以不比过多在意乘法运算，只当是群上加法运算的一个附加运算即可。所以本章的大部分内容都是按照前两章的思路平凡地推广一下：群推广→环；子群→子环；不变子群→理想；商群→商环；群同态→环同态。同时，一个集合上的两种二元运算的配合在一起形成一个整体，进一步研究时就需要密切注意这两种运算之间的联系，而不是讨论那类两种二元运算“不搭边”的各自独立无关系统。（这里主要是域研究的内容方向）近世代数学中常见的有两个二元运算的代数系统有结合环、Lie环、Jordan环、格和Boole代数，等等。其中结合环背景最为广泛，研究的历史最长，已成为近世代数学的最基本的学习内容之一。4.1环的定义定义1设集合R上有两种二元运算，一个叫加法，记为+，一个叫乘法，记为∙，且（1）（R，+）是个交换群；（2）乘法∙在R上是结合的；（3）对任意a，b，c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，（b+c）·a=b·a+c·a（分配律）。则说（R，+，·）是个结合环，简单地，说它是个环。（新的代数系统，却不是全新的，只不过是交换群上多加了一个满足结合律的新运算，两运算间满足一定的分配律）命题4.1.1设（R，+，·）是个环，0是（R，+）的零元素，-a代表（R，+）中a的负元素。那么，对任意a，b，c∈R，有（1）0·a=a·0=0；（2）a·（-b）=（-a）·b=-a·b；（3）（-a）·（-b）=a·b；（4）a·（b-c）=a·b-a·c，（a-b）·c=a·c-b·c。（分配律所保持的性质，第一条用到了加法群中零元及负元的简单性质；第二条比较关键，用到了负元的存在及唯一性，后面两条就直接得出了）定义2设（R，+，·）是个环，如果R的乘法有单位元e，则说R是个有单位元环，或称有1环。称e为R的单位元；对于环R的元素a，若有b≠0以及c≠0使ab=0以及ca=0，则说a是R的一个零因子（那些非零元却可以发挥类似零元作用的元素）；如果环R不含非零的零因子，则称R为无零因子环；如果环R的乘法是可换的，则说R是个交换环；有1的交换的无零因子环称为整环或整区（整环的要求就比较高了，当然性质也比较好，第六章因子分解理论大部分结论都是在整环的基础上的；整环的规整程度大致可以看作域了，只是非零乘法上不一定构成交换群，不过在我们之前讨论的有限集合上，满足分配律、无零因子即满足消去律就会存在逆，即构成域！）。命题4.1.2如果（R，+，·），那么R的乘法满足消去律；即a，b，c∈R，a≠0，则a·b=a·c蕴涵b=c。（群中满足消去律主要是每个元素都有逆，此处用分配律及零因子来推导出了环中的消去律）命题4.1.3如果环（R，+，·）有乘法恒等元，设为e，那么对任意n∈I，a∈R，有na=（ne）a。（显然的结论，分配律可以证明）R上所有n阶方阵的集合在矩阵的加法和乘法运算下构成一个环，称为R上的n阶全阵环。（很恰当的例子，代数上再普通不过的矩阵例子，很符合环的定义）定义3设R是个有单位元1的环。R的元素a称为R的一个单位，如果有b∈R使ab=ba=1（环中的单位的另一种说法是乘法下可逆的元素，如全阵环中的可逆矩阵，在第六章会有一些特殊的地方）4.2子环与理想定义1设（R，+，·）是个环，S是R的一个非空子集。如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个换，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。（子群向子环的平凡推导，没什么新意）命题4.2.1设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集。那么，S是R的子环的充分必要条件是（1）对任意a，b∈S，有a+b∈S；（2）对任意a∈S，有-a∈S；（3）对任意a，b∈S，有a·b∈S。（首先（1）、（3）验证了运算封闭，即为二元运算，其次由于是环的子集，当然都满足结合律及分配律，（1）、（2）是第二章第二节构成子群的等价条件，综合以上构成了子环）命题4.2.2设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集。那么，S是R的子环的充分必要条件是（1）（S，+）是（R，+）的子群；（2）对任意a，b∈S，有a·b∈S。（这个太直接了）命题4.2.3设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集。那么，S是R的子环的充分必要条件是（1）对任意a，b∈S，有a-b∈S；（2）对任意a，b∈S，a·b∈S。（此结论进一步简化了命题4.2.1，在子群的等价条件中出现过）命题4.2.4环R的任意一族子环的交仍是R的子环。（首先环亦是群，一族子群的交仍为子群，这是前面介绍过的结论，在加法群的基础上，由上面的命题可知只需验证乘法封闭即可，任意两元素的积必在每个子环中，当然在它们的交集中，故命题得出）定义2设R是个环，a∈R。作R的子环族A={S是R的子环la∈S}，我们把S的交称为由R的元素a生成的子环，记为<a>。（以后的符号（），[],<>，{}都会出现，注意记准每个的含义。此定义为单个元素生成循环群的推广）推论设R是个环，a∈R，那么，由a生成的子环<a>是R的所有包含元素a的子环中的最小者。（任意包含a的子环都包含这样一个“单位”，很容易想）命题4.2.5设R是个环，a∈R。那么，R中所有形如ma，ma+na^2,……,m1a+m2a+……+mta^t,……的元素做成的集合S恰好就是a生成的子环<a>。（环中无非就是元素加法和乘法相互作用，首先考虑加法即ma，然后考虑乘法a^n，再将它们交叉相加相乘即得到子环，化简后即为命题形式）命题4.2.6设T是环R的非空子集，则T在R中生成的子环恰为由下述形式元素组成的集合。a1+……an+b1c1+……bmcm+d1e1f1+……+……x1x2……xl+……+z1z2……zl，其中诸ai，bj，……zk均为T中元素或它们的负元。（无非就是加法和乘法的相互作用，使其封闭，第一项是任意两数相加，第二项是任意两数相乘后再相加，第三项后依此类推…这种构造性的结构，构造本身就给出了证明）定义3设（R，+，·）是个环，A是R的非空子集。如果（1）（A，+）是（R，+）的子群；（2）对任意x，y∈A和a，b∈R都有ay∈A，xb∈A，则说A是R的理想，从定义中可以看出，A为R的理想则A必为R的子环。因此，有人也称环的理想为环的理想子环。（不变子群在环中的推广，主要是为了使商环良定义，从而得到环同态基本定理。理想体现吸附性，和任意元素作用都会被吸进去，当然这种性质是被要求从而得到的）从定义中可以看出，A为R的理想则A必为R的子环。（乘法封闭）命题4.2.7设R是个环，R的一族理想的交集必然也是R的理想。（此种手法又一次用到了，首先子环的交还是子环，其次吸附性在每个理想中都存在当然在它们的交中存在）定义4设R是个子环，T包含于R，T非空。作R的理想族B={I是R的理想，T包含于I}，I的交集得到的理想称为R的由子集T生成的理想，记为（T）。（又给出了子集构造或生成理想的定义，这种定义早在生成向量空间、子群、子环…就出现过，算是比较常见的定义类型。给出定义当然下面就会讨论生成理想的具体形式了）定理4.2.1设T是环R的非空子集。那么，R中所有形如如下的元素的集合恰为（T）：n1a1+……+ntat+r1b1+……+rkbk+c1s1+……+clsl+x1d1y1+……+xidiyi,其中n是整数，a，b，c，d是T中元素，而r，s，x，y是R的元素。（目的就是包含所有R中与T作用的元素。首先是自封闭加法，然后两项是吸附性的构造，比较简单，就是这样的形式）推论1设R是个环，a∈R。那么（a）恰为所有形如下的元素构成的集合：na+ra+as+x1ay1+……+xiayi,其中n为整数，r，s，x，y都是R中的元素。（由上一定理平凡得出）推论2设R是个有恒等元素e的环，a∈R。那么a生成的主理想（a）恰为所有形如下的元素构成的集合：x1ay1+……+xjayj,其中x，y是R的任意元素。（只留了第三类项，x或y为e可得出第二类，都为e得出第一类）命题4.2.8设A.B是R的理想。那么A+B=（A∪B)。（稍不太平凡的形式。首先证明A+B为子环，由命题4.2.3很容易判定，其次乘法的吸附性由A,B都是理想也容易得到。接下来证明A+B=(A∪B)，思路就是互相包含，后者包含前者显然，其次（A∪B）是包含A，B最小的理想当然包含于A+B，故得证）类似的结论也可以看一下例题7.4.3理想与商环（I）定理4.3.1设（R，+，·）是个环，A是R的理想，作为加法群，得商群R/A，#加法。再在加法群上定义乘法，令任意a+A，b+A，对应ab+A，则构成环。(在加法上，由于满足交换律，对任意子群都可定义商群，关于群同态的结论自然不消细说；然而对于乘法满足群同态的性质，保乘法及分配律则并非对于任意子环都成立，由定义的合理性自然需要子环的吸附性，这也是理想定义产生的原因，就是满足商环定义的合理性，即同一等价类运算作用结果相同，分配律的验证就比较平凡了)定义设R是个环，A是R的理想，在商集R/A中规定任意a+A，b+A，加法对应（a+b）+A，乘法对应ab+A，得到的环称为环对理想A的商环，或称剩余环。（对于环同态的解释，由于对群同态印象比较深，也可能是对环论接触的比较少，在环中的特殊含义不太清楚，也没太感觉。个人的理解还是在群同态元素的数量及加法对应的基础上添加的乘法及分配律都满足的一种系统对应，普通的环于我而言还是加法群上添加了附加的，不太重要的乘法及分配律的结构）4.4环的同态映射定义1设（R，+，·）和（S，+，⊙）都是环。R到S的映射φ称为R到S的环同态映射,如果对任意a，b∈R恒有φ（a+b）=φ（a）#φ（b），φ（a·b）=φ（a）⊙φ（b）。（保运算，同态的基本要求，没什么新意）特别地，当φ是满射时，称S是R的同态像。（R→S满同态）当φ是双射时，说φ是R到S的环同构映射。（一一对应，且保运算就是代数结构完全相同，就是同构）定义2设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射，那么，称集合Img（φ）={s∈Sl有r∈R使s=φ（r）}为映射φ的像，称集合Ker（φ）={r∈Rlφ（r）=0}为映射φ的核。（群到环比较平凡的推广）命题4.4.1设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。那么φ的像Img（φ）是环S的子环。（首先由上一章的结论，Img（φ）的像一定是加法群，故只需验证乘法封闭，由保运算，像中任意元素间作用都可以对应到R中的元，故封闭。）命题4.4.2设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。如果φ是满的，R有恒等元e，则环S必为恒等元，而且恰好就是φ（e）。（一般而言，R与S同态，二者的恒等元没有什么关系，主要是S中大多数元素可能与R没什么关系，书上有比较好的例子。当然对于满同态而言，这种保运算保结构的映射，保持恒等元就再平凡不过了！）命题4.4.3设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的满的同态映射。那么，如果R是交换的，则S必然也是交换的。（这和上一命题都是那种但凡熟悉同态就无需证明的结论！）命题4.4.4设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。ψ是（S，#，⊙）到环（K，*，△）的同态映射。那么复合映射ψ·φ是R到K的环同态映射。（不好再说平凡了，按定义自己证一下吧）命题4.4.5设φ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射。那么φ的核Ker（φ）必然是环R的理想。（我们来终结一下环同态的过程！概括起来就是定理4.4.1，首先就是上一章总结了好多遍的群同态过程，此处为加法可交换意义下的形式，接下来就要考虑乘法。由于乘法的定义没有固定形式，加上乘法系统本身就不太成体系，需要深入研究，比方域论的研究，给出严格验证详细的介绍不太现实，想看都也不太容易。但是符合已由群同态映过来的的元素体系是一定的，正如群同态时循环群间交叉项形成（通过阶数）循环群一样（根据原本的乘法系统，虽说这个由于没有固定形式也无法轻易给出推断，不过根据定义可以严格证明环同态的基本过程），而Ker的形式比较特别，由于任意元素和0相乘都等于零，可以很容易得出结论）推论同态映射φ为单射的充分必要条件是Ker（φ）={0}。（无需在意环，只从群伦的角度考虑即可，上一章已有的结论）命题4.4.6如果A是环R的理想，那么φ：r→r+A是环R到环R/A的满的同态映射。（证明下一定理的最后一步工序，满射及保运算都比较好验证，就是要和以A为Ker的同态像建立联系！）定理4.4.1设f是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的满的同态映射。Ker（f）=A。那么R/A同构于环（S，#，⊙）。（群同态加上附加的群上的乘法及分配律的自然符合这一系统得出的群上附加的乘法及分配律得到的环的同态规律，详细的过程上面已经总结完了。）第五章第五章从环到域我们已经见过许多种结合环，尽管这些代数系统都满足环的定义中要求的几条公理，但具体的集合在有了加乘运算之后形成的代数系统（同构之下不计差异）仍然各有特点。本章主要讨论几种环的重要类型及各类型的关系的关系及转换。5.1除环和域定义1设（R，+，·）是个至少含2个元素的环。用R0代表R中所有非零元的集合。如果R0在R的乘法下是个群，则说（R，+，·）是个除环。进一步，若（R，+，·）是交换环，又是除环，则说（R，+，·）是个域。有人称除环为体、除体、斜域。有人称域为交换除环或交换体。（我会把环看作是交换群上附加了乘法及结合律的代数结构，主要是环在乘法结构下不太有严格体系，比较杂乱，性质也不好。然而为了更好讨论运算间的关系，这里使乘法系统有了更规整的结构，即构成群。当然这会让大家更熟悉）定义2设（R，+，·）是个至少含2个元素的环。如果（1）R有乘法恒等元1；（2）对任意r∈R有，只要r≠0，则必有s∈R使得rs=sr=1则说环（R，+，·）是个除环。（很初级的集合构成群的验证）命题5.1.1只含有限个元素的除环必为域。（之前提过好多遍的结论，最早是在第二章提到过，基本思想就是满足消去律的有限集合，而且有满足结合律的二元运算，则集合构成群）命题5.1.2域不含非平凡的理想。（要么只含零元，要么单位元一定属于理想，由之前知道的理想的形成过程，域中每个元素和单位元相乘都属于理想，当然得到的理想是平凡的）命题5.1.3设φ是环R到S的环同态，且为满射。如果R是个域，则φ或者是同构映射，或者将R的所有元素映成S的零元。（环同态中Ker为{0}或R）定义3域（F，+，·）的子集S称为F的子域，如果它是F的子环且它在F的运算之下本身是个域。（很平凡的定义类型--子结构，不过与群或环不同，域的扩张的研究是很大的代数分支，在本书第7章介绍，当然那只是GaloisTheory的一小部分）定义4设R是个环。如果有自然数m使得，对每个r∈R均有mr=0，而小于m的自然数都不具备该性质，则说环R的特征数char为m，如果找不到满足上述要求的自然数，则说环R的特征数为0。（仅当作加法运算下的元素阶数即可，而且可以明确的说是单位元e的加法阶数，因为任意元素a都可以写成ea，稍有不同之处下面的命题会给出）命题5.1.4有限环的特征数比整除其元数。（拉格朗日定理，第二章阶数最主要的结论）命题5.1.5域F的特征数或为0或为素数。（此处稍有不同，主要是结合了乘法的性质。me=0，若m不是素数，m=pq，则me=peqe，由于F是个域，满足消去律，无零因子，故pe=0或qe=0矛盾）命题5.1.6设域F的特征数为p≠0，那么，对任意a，b∈F，恒有（a+b）^p=a^p+b^p.（张开验证一下即知其余项都为0）命题5.1.7设环（R，+，·）有1，那么，当1在群（R，+）中阶数无限时，R之特征数为0，当1的阶数为正整数n时，R之特征数恰为n。（环R的特征数即为1的加法阶数，可平凡得出结论）5.2理想与商环（II）定义1环R的理想M≠R称之为R的极大理想，如果对R的任意理想A，M包含于A，其M≠A蕴涵A=R。换言之，在R中真比A大的理想只有环R本身。（需特殊注意的就是R的极大理想可能不唯一）定理5.2.1设R是个有1的交换环，A是它的一个理想。那么，剩余环R/A为域的充分必要条件是A为R的一个极大理想。(主要体现极大理想的作用，稍朴实的证明方式：R/A是域主要就是需要乘法下构成交换群，结合律及交换律都是保持的，单位元为1+A，最大的问题是乘法的逆元，对于任意的a+A（a不属于A），必能在R/A找到其逆b+A使得ab+A=1+A。有前面的命题可知，R是有1交换环，（a）={y∈Rly=ax，x∈R}，由于（a）+A也是理想且≠A，由极大性只能=R，故1∈（a）+A，1∈ab+A，1+A=（a+A）（b+A）于是b+A就是a+A的逆，于是R/A是个域。当R/A是个域时，设B是理想，A包含于B，A≠B，b∈B不属于A，b+A≠A故为非零元，由于R/A是域，则有逆c+A，使得（b+A）（c+A）=1+A，即1=bc+a，由于B是理想，bc∈B，A包含于B，所以1∈B，B=R，A是极大理想)定义2设R是个交换环，P是R的一个理想。如果P≠R且对任意的a，b∈R，ab∈P蕴涵a∈P或b∈P，则说P是R的一个素理想。（这种由需要（剩余环为无零因子环）而构造的定义不太好直接给出理解，主要突出元素与集合间被包含的较直接的关系，在第六章还会有类似的素元的定义）如果{0}是环R的素理想，则说R是个素环。（没太见过应用）命题5.2.1设R是个交换环。那么，环R的理想P（≠R）为其素理想的充分必要条件是剩余环R/P为无零因子环。（任意元a+P和b+P，若ab+P=P则当P是主理想整环，则a或b属于P，即a+P或b+P为零元；当R/P无零因子，则a+P或b+P为零元，即a或b属于P，P是素理想）命题5.2.2设R是个环，A是R的理想。环R/A为交换环的充分必要条件是A包含R中所有形如xy—yx，x，y∈R的元素。（如上面的方法，都是比较正规的证明过程，没什么新意，也比较平凡，可以自己练习）5.3嵌入问题（本节的主要目的就是介绍由环构造扩张成域的过程）命题5.3.1设R是个环，I是整数环。在I*R中，规定运算，对任意（m，a），（n，b）∈I*R，（m，a）#（n，b）=（m+n，a+b），（m，a）⊙（n，b）=（mn，mb+na+ab）。则（I*R，#，⊙）是个环，R同构于它的一个子环。（通过突破性的构造去得出结论是比较困难的，然而已知构造方式去验证结论却是比较容易的，此处就是根据定义验证（I*R，#，⊙）构成环，比较基础。证明同构只需将任意元素a→（0，a）即可得出结论）推论任意交换环R必同构于一个有1交换环的子环。（交换性显然，由上一构造过程的验证可知（I*R，#，⊙）的恒等元为（1,0））命题5.3.2特征数为n的环恒同构于一个特征数为n的有1环的子环。（由第一个命题的构造方式，只需验证（I*R，#，⊙）的恒等元（1,0）的加法阶数为n即可）定理5.3.1设R是个交换的无零因子环。那么，R必同构于某个域的一个子环。（定理的证明过程也就是把R同构意义下扩成域的过程，构造出来的域就是包含R的最小的域称为R的分式域，这种构造在GaloisTheory中是很基础的，正如上面的构造方式构造出恒等元是相对容易的，此处的分式主要体现的是关键步骤环中逆的构造，再加上R是个交换无零因子环就构成了域。把环扩成域的方式是比较基础且实用的手法，书上分了八步，这里的具体内容就不介绍了，可以自己尝试练习）命题5.3.3设R同构于R’，它们是可交换的无零因子环，Q和Q’分别是它们的分式环，那么，Q同构于Q’。（同构在代数上就是一样的！R和R’一样，Q和Q’也一样）5.4交换环上的多项式定义1设（S，+，·）是个有1交换环。每个形如下面的表达式f（x）=a0+a1x+…+anxn，均称为是环S上的一个关于x的多项式。（早在高等代数第一章最开始就给出过的定义，好怀念啊！只是那里给出的是实数域上的多项式的定义，这里的是建立在有1交换环上的多项式，对系数系统要求放低了，当然具有更一般的结论，当然较域而言稍不太规整）定义2多项式的加法和乘法的定义，形式稍麻烦，内容较简单，在此略下。定理5.4.1设S是个有1的交换环，那么，S[x]在上面规定的多项式的加法和乘法之下作成一个有1的交换环。（关于环的按照定义的证明再来回顾一下：加法是S[x]是其上的二元运算，满足结合律，0是零元，元素加负号即为负元，构成交换群；乘法是其上的二元运算，由多项式乘法的定义满足交换律结合律，1即为单位元，满足分配律，S[x]构成有1交换环）定义3环（S[x]，+，·）称为环S上关于x的多项式环。（把多项式放入代数系统进一步系统研究的一个基础定义）定义4多项式f（x）=a0+a1x+…+anx^n+…+amx^m中，如果an≠0，而an+1=…=am=0，则说f（x）的次数为n，记为degf（x）=n。（和高等代数中没什么两样）命题5.4.1对任意f（x），g（x）∈S[x]，恒有两多项式相加的次数小于等于其一次数的最大值；（无须解释）两多项式相乘的次数小于等于二者次数的加和。（小于的情况是对于一般环可能有零因子）推论当S是整环时，S[x]亦为整环。（多项式的预算x除了系数的增加再没有什么，其余都是系数也就是环中元素的运算，S无零因子，S[x]亦无零因子）命题5.4.2设R是有1交换环，R[x]是R上关于x的多项式环。那么，取定u∈R时，φ：a0+a1+…+anx^n→a0+a1u+…+anu^n是环R[x]到R的环同态映射。（按定义很正规的证明，也可很容易感受出保运算，而且是多对一。结构上的意义在于建立了一种S[x]到S的对应联系）定义5设S是有1交换环，f（x）∈S[x]。说元素r∈S是多项式f（x）的一个根，如果f（r）=0.也可以说r满足多项式f（x）。（和高等代数中和大家熟知的没什么差别）命题5.4.3设R是有1交换环，S是R的子环且有（自己的）恒等元，r∈R。如果r不是S[x]中任何非零多项式的根，那么，R的由S∪{r}生成的子环同构于S上的多项式环。（即使不了解域的扩张，也可容易感受到r和x对于S的意义是一样的，都是和自己本身没什么关系的东西）命题5.4.4设F是个域，f（x），g（x）∈F[x].那么二者相乘的次数等于二者次数的加和。（域非零元构成群，无零因子）定义6首系数：次数最高项的系数。（高代中一般叫首项系数）命题5.4.5设D是个整环。f（x）∈D[x]，g（x）是D（x）中首系数为1的多项式。那么，必有q（x），r（x）∈D[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次数小于g的。（在高代里就解释过，带余除法自然的过程，当然那是在数域上，也就是下面的定理，这里稍有不同的就是在于，环在乘法下不构成群，任意元素不能在乘法下建立联系，所以这里做出了一点要求，即g（x）是D（x）中首系数为1的多项式，任意元都能和1建立联系）定理5.4.2设F是个域。那么，任意f（x），g（x）∈F[x]，只要g（x）≠0，必有q（x），r（x）∈F[x]使f（x）=g（x）q（x）+r（x），r的次数小于g的，包括r=0。（F是域乘法下任意元素间都能建立联系（任意元都有逆元））定理5.4.3设F是个域。那么，环F[x]的每个理想都是主理想。（结论很特别很好记，证明方法是以前非常惯用的一种手法，取得次数最低的多项式，在高代及本书第一章都有较强的应用（还有一些在习题里），当然最贴近最类似的应用就是在证明循环群的子群是循环群）命题5.4.6设F是个域，f（x）∈F[x]，a∈F。那么，a是f(x)的根，当且仅当x-a整除f（x）。（和高等代数中没什么差别）命题5.4.7设f（x）是域F上的n次多项式，n≥1.那么，F中至多有n个不同的元素是f（x）的根。（在高等代数1.6中有较详细的个人证明）命题5.4.8设F是个域，f（x）=a0+a1x+…+anx^n,an≠0，I是f（x）在F[x]中生成的主理想。那么，剩余环F[x]/I的每个元素均可唯一地表示成如下形式：（b0+b1x+…+bn-1x^n-1）+I，b∈F，而且F’={b+Ilb∈F}是F[x]/I的子域，它同构于F。（由理想的形成过程，I={g（x）f（x）lg（x）∈F[x]}，I就是大于等于n的所有多项式，任意多项式g（x）用f（x）除之得g（x）=f（x）q（x）+r（x），显然g（x）+I=r（x）+I，唯一性由多项式除法可容易得到；F→F’同构也是平凡的，只需对任意a→a+I即可）现在可以回头审视一下，多项式中“x”到底是个什么东西，用GaloisTheory的域的扩张来解释比较合适，也就是域上添加了一个超越元（不需要借助分式域内容构造逆），与它是“x”还是“y”没什么关系。不了解与扩张也可以简单地把x当成相对于数量的文字也可以，就是和数没什么关系的东西。定义7二元多项式略定理5.4.4设F是个域，那么环F[x][y]和环F[x，y]同构。（可以参看GaloisTheory域扩张的基础知识，也是本书第七章的内容）命题5.4.9设R是个环，S是R的有1可交换的子环，T是R的一个子集。则S∪T在R中生成的子环恰好是S[T].（由子环的生成过程，S∪T生成子环的过程就是S[T]）5.5素域定义1设（F，+，·）是个域。F的子集S称为（F，+，·）的子域。如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环；（2）（S，+，·）本身是个域。（第一节给过的定义）命题5.5.1设S是F的一个子环，且至少含2个元素。那么，S是F的子域，当且仅当，s∈S，s≠0蕴涵s逆∈S。（乘法构成群就是需要有恒等元和逆，这个条件提供了这个需要）推论如果S是域F的子域，那么它们的恒等元相同。（子群保恒等元）命题5.5.2设F是个域，F的一族子域的交集仍为F的子域。（由群的结论，一族子群的交集还是子群，对于加法和乘法分别形成子群就构成域）定义2设F是个域，T是F的一个非空子集，F的所有包含T的子域的交集称为是T生成的子域（很普通的定义方式，在之前出现过好多遍）。特别地，由F的零元素0和恒等元1生成的子域称为F的素域。（由最必要的元素，生成域最小的子域）定理5.5.1设（F，+，·）是个域。那么，F的素域P或者同构于有理数域或者同构于Ip，其中p是个素数。（比较显然，在GaloisTheory中有介绍，连同下面的推论1）推论1域F的素域同构于Ip的冲要条件是它的特征数为p；F的素域同构于Q的充分必要条件。F的特征数为0.（域也是群，考虑加法阶数就可以解决这一问题）推论2设F是个域，P是它的素域。那么F的任意子集T在F中生成的子域与T∪P生成的子域恒相等。（任意子域都包含零元和恒等元，