2024年福建省中考+专用数学一轮知识点梳理复习5.2-特殊的平行四边形课件

PPT下载http:///xiazai/第5章四边形5.2特殊的平行四边形

矩形1.矩形的定义有一个角是

的平行四边形叫做矩形.直角

2.矩形的性质（1）边：两组对边分别

且

⁠；（2）角：四个角都是

⁠；（3）对角线：对角线互相

且

⁠；（4）对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有

⁠

条对称轴，两条对称轴是过对角线交点且与边平行的直线；平行

相等

直角

平分

相等

两

（5）面积：矩形的面积等于相邻两边的乘积，即S＝ab.注意点①矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角

三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长；②当已知条件中有一个角为30°时，应联想到“在直角三角形

中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质.③矩形中的特殊三角形与面积问题图形

延伸一60°（或AB

＝AO）

结论一对全等的

直角三角形S1

S2两对全等的等腰三

角形：S1

S2

S3

⁠

S4△AOB和△DOC是

一对全等的等边三

角形＝＝＝

＝

3.矩形的判定（1）有一个角是直角的

⁠叫做矩形；（2）对角线

⁠的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的

是矩形.平行四边形

相等

四边形

（4）具体如下：

注意点判定矩形时首先明确判定的前提是四边形还是平行四边形，

再选择合适的判定定理.比如：对角线相等的四边形不一定是

矩形，还可能是等腰梯形.

菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.菱形的性质（1）边：两组对边分别

，四条边都

⁠

⁠；（2）角：两组对角分别

⁠；（3）对角线：对角线互相

⁠，且每一条对角线平

分一组对角；平行且相等

相

等

相等

垂直平分

2

3.菱形的判定（1）一组

⁠相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的

⁠是菱形；（3）四条边都相等的

是菱形.（4）具体如下：

邻边

平行四边形

四边形

注意点菱形中的特殊三角形与面积问题图形

延伸一：60°延伸二：60°（AE＝BF）结论一对全等的等腰三角形：S1

⁠

S2四个全等的

直角三角

形：S1

S2

⁠

S3

⁠

S4△ABD和

△CBD是

一对全等

的等边三

角形△AED≌△BFD；△BED≌△CFD；△ABD≌△CBD＝

＝

＝＝

注：菱形中连接一边的中点与两条对角线的交点可构成直角

三角形斜边上的中线或三角形的中位线。

正方形1.正方形的定义有一组邻边相等且一个角是直角的

⁠叫做正

方形.平行四边形

2.正方形的性质（1）边：对边

，四条边都

⁠；（2）角：四个角都是

⁠；（3）对角线：对角线

且互相

⁠；平行且相等

相等

直角

相等

垂直平分

4

3.正方形的判定（1）一组

⁠的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的

⁠是正方形；（3）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是

正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线相等的菱形是正方形；（6）对角线

⁠且相等的四边形是正方形；邻边相等

菱形

互相垂直平分

（7）四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形.（8）具体如下：

图形

（人教八下P58例5）延伸：巧用45°

EF是平行于边AD的任意

一条直线结论一对全等的

等腰直角三

角形；S1

S2四个全等的等腰

直角三角形：S1

S2

⁠

S3

S4△AEG和△CFG都是等

腰直角三角形＝＝＝

＝特别地，①45°＋直角三角形＋斜边中线可得到很多相等线段；

②注意两条对角线的对称性的应用.

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比边角对角线对称性平行四边形对边平行

且相等对角相等对角线互相

平分中心对称图形矩形对边平行

且相等四个角都

是直角对角线互相

平分且相等轴对称图形；中心对称图形边角对角线对称性菱形对边平

行、四条

边都相等对角相等对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一

组对角轴对称图形；中心对称图形正方形对边平

行、四条

边都相等四个角都是

直角对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角轴对称图形；中心对称图形2.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系

如下：

中点四边形1.定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做

中点四边形.2.常见结论注意点（1）不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是

平行四边形；（2）中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和；（3）中点四边形的面积是原四边形面积的一半；注意点（4）如图，点E，F分别为边AB，AC的中点，点G，H分别为

线段CD，BD的中点，则①四边形EFGH一定为

⁠

；②若AD＝BC，则四边形EFGH为

；③若

AD⊥BC，则四边形EFGH为

；④若AD＝BC且

AD⊥BC，则四边形EFGH为

⁠.平行四边

形

菱形

矩形

正方形

（5）如图，点E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别为

线段BD，AC的中点，则①四边形EFGH一定

⁠；

②若AB＝CD，则四边形EFGH为

；③若AB⊥CD，则

四边形EFGH为

；④若AB＝CD且AB⊥CD，则四边形

EFGH为

⁠.平行四边形

菱形

矩形

正方形

类型一

矩形的性质及判定1.下列命题正确的是（A）A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形A2.（2023·株洲）如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD

相交于点O，下列说法正确的是（A）A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴第2题图A3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作

EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（B）A.1C.2第3题图B4.（2023·岳阳）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请

从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选

择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形.（1）你添加的条件是

⁠（填序号）；解：（1）①当∠1＝∠2时，

▱

ABCD为矩形；②当AM＝DM时，▱ABCD为矩形，故答案为：①或②；第4题图①或②

（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形.

第4题图

第4题图5.（2023·威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如

图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折

痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若

矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为

（C）第5题图C类型二

菱形的性质及判定6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，

0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为

（D）第6题图D7.（2023·吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸

条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形

EFMN.转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形.

其判定的依据是

⁠

⁠.两组对边分别相平行的四边形是平行四

边形

第7题图解：【操作发现】

如图①，四边形EFMN总是平行四边形.其

判定的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和

EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将

它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点

M，N.求证：▱EFMN是菱形.第7题图【探究提升】

证明：∵四边形纸条ABCD和EFGH是平行

四边形，∴MN∥EF，EN∥FM，∴四边形EFMN是平行四边形，∵∠B＝∠FEH，∴AB∥NE，∵AN∥BE，∴四边形ABEN

是平行四边形，∴AB＝EN，∵AB＝EF，∴EN＝EF，∴▱EFMN是菱形.8.（2023·十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是

AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的

面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝

⁠.第8题图6

9.如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C

作CF∥AB，交DE的延长线于点F.（1）求证：AD＝CF；解：（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝

∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，

∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；第9题图（2）连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足

什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论.

第9题图10.（2023·日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC

上一点，连接BE，DE，且BE＝DE.（1）求证：四边形ABCD是菱形；第10题图

第10题图（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积.

第10题图

第10题图类型三

正方形的性质及判定11.（2023·枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的

周长为32，则OF的长为

⁠.第11题图

12.下列命题为假命题的是（C）A.对角线相等的平行四边形是矩形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形D.有一组邻边相等的矩形是正方形C

第13题图8

14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F

在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是

正方形.第14题图证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形.第14题图

第15题图

第15题图（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形

BPCO是正方形？

第15题图16.如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP

为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP

上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F

（点F与点A、B不重合）.（1）求证：△AEP≌△CEP；第16题图解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝

∠CPD＝45°，又∵PE＝PE，∴△AEP≌△CEP（SAS）；第16题图（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；解：（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，∵∠FCP＋∠CMP＝90°，∠AMF＝

∠CMP，∴∠AMF＋∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，

∴CF⊥AB；第16题图（3）求△AEF的周长.解：（3）过点C作CN⊥PB.∵CF⊥AB，BG⊥