初升高数学暑假衔接（人教版）第13讲 指数及其运算（教师版）

第13讲指数及其运算1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算；2．能准确把握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练应用幂的运算性质进行幂的运算。一、n次方根的定义1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且2、个数：（1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；（2）当n是偶数，=1\*GB3①时，的有两个值，且互为相反数，记为；=2\*GB3②时，不存在二、根式1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2、性质：（，且）a；三、分数指数幂的意义1、分数指数幂的意义（1）正分数指数幂：规定：（2）负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、分数指数幂的注意事项：（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义．四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．五、实数指数幂的运算性质①．②．③．六、条件求值问题的解题思路1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。考点一：根式的概念辨析例1．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，的偶次方根无意义.故选：D【变式训练】有下列四个命题：①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在；正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数；①③错误，②④正确．故选：C考点二：利用根式的性质化简求值例2．（多选）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确；当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确.故选：BD.【变式训练】化简与求值．（1）；（2）（3）；（4）＋.【答案】（1）；（2）3；（3）π－3；（4）【解析】（1））；（2）；（3）；（4）原式=，当时，原式；当时，原式.所以原式=考点三：多重根式的化简例3．化简（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】，故选：D．【变式训练】化简________.【答案】6【解析】.故答案为：.考点四：根式与分数指数幂的互化例4．化简（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由.故选：C【变式训练】（多选）下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（）A．－＝B．＝－C．＝D．＝【答案】ABCD【解析】A中，（），故A错误；B中，，故B错误；C中，（），故C错误；、D中，，故D错误.故选：ABCD.考点五：利用指数幂的性质化简例5．的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式＝.故选：D．【变式训练】计算下列各式．（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式.（2）原式.考点六：条件求值问题例6．已知，则的值是（）A．15B．12C．16D．25【答案】A【解析】因为，所以，又由立方差公式，，故选：A．【变式训练】已知，则的值为________.【答案】23【解析】因为，所以，即，所以.故答案为：1．二次根式成立的条件是（）A．B．C．D．是任意实数【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2．将表示成分数指数幂，其结果是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.3．下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；对于B，当时，，而无意义，故B错误；对于C，，故C错误．对于D，．故D正确．故选：D.4．式子的计算结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D.5．计算的结果为（）A．B．1C．2D．【答案】A【解析】，故选：A6．（多选）已知，则等于（）A．B．C．1D．【答案】AB【解析】令故选：AB7．（多选）已知，则下列选项中正确的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】两边平方得：，所以，A正确；，因为的大小不确定，所以，B正确；，因为，所以，C错误；由立方和公式可得：，D正确.故选：ABD8．化简的结果是______．【答案】【解析】.故答案为：.9．当时，化简______.【答案】【解析】因为，则.故答案为：.10．若代数式有意义，则__________.【答案】8【解析】因为代数式有意义，所以且，故，所以，故答案为：8.11．计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式.（2）原式.12．（1）求值：；（2）已知，化简：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）1．，下列各式一定有意义的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，当时，无意义，A不是；对于B，当时，无意义，B不是；对于C，对任意实数都有意义，C是；对于D，当时，无意义，D不是.故选：C2．可化为()A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选：A3．（）A．B．C．D．当为奇数时，；当为偶数时，【答案】D【解析】当为奇数时，；当为偶数时，.故选：D4．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C5．下列各式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.6．(多选)下列说法中错误的是（）A．根式都可以用分数指数幂来表示B．分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法C．无理数指数幂有的不是实数D．有理数指数幂的运算性质不适用于无理数指数幂【答案】CD【解析】A.由，知根式都可以用分数指数幂来表示，故正确；B.由，知分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法，故正确；C.实数包括无理数和有理数，所以无理指数幂是实数，故错误；D.由指数幂的运算法则知：有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂，故错误；故选：CD7．（多选）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】AC【解析】A：，故A正确；B：0的负指数幂没有意义，故B错误；C：，，故C正确；D：和的值不相等．故D错误.故选：AC.8．____________．【答案】【解析】故答案为：9．（1）_________；_________．（2）_________；_________．