初升高数学暑假衔接（人教版）初高衔接第03讲：一元二次方程根与系数的关系（学生版）

第03讲：一元二次方程根与系数的关系【考点梳理】考点一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1)当时，方程有两个不相等的实数根：；(2)当时，方程有两个相等的实数根：；(3)当时，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.考点二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：.所以：，.定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．【题型归纳】题型一：一元二次方程的根的判断式1．关于x的一元二次方程，根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．关于的一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关3．在正比例函数中，的值随值的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定题型二:判断式求参数问题4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（）A． B． C．0 D．5．一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（

）A． B． C．或3 D．或1题型三：一元二次方程的根与系数的关系7．已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（

）A．0 B．−11 C．9 D．118．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．9．设与为一元二次方程的两根，则的最小值为（）A． B． C． D．题型四：根和系数与判别式的综合应用10．已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程．(1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；(2)若此方程的两根互为倒数，求的值．12．已知关于x的方程，其中p，q都是实数．(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．【专题突破】一、单选题13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．14．关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．16．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（

）A．0 B． C．1 D．217．对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．018．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．19．已知m、n是一元二次方程的两根，则的值是（

）A．4 B． C．2 D．20．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是(

)A． B． C． D．21．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（

）A．2 B．3 C． D．22．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．且23．若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为(

)A．11 B． C．11或 D．11或或124．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（

）A． B． C． D．3二、填空题25．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．26．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，若，则k的值为______．27．关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；28．已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．29．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______．三、解答题30．已知关于的方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．31．已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求实数的取值范围；(2)当时，设方程的根为，，求代数式的值．32．已知，是方程的两根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．33．阅读材料，解答问题：【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程的解为；(2)间接应用：已知实数，满足：，且，求的值．34．关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求的值．35．已知关于的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．36．若是一元二次方程（为常