新教材适用2024-2025学年高中数学第8章立体几何初步8.2立体图形的直观图素养作业新人教A版必修第二册

第8章8.2A组·素养自测一、选择题1．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′＝(D)A．45° B．135°C．90° D．45°或135°[解析]在直观图中，由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°或∠x′O′y′＝135°，即∠A′＝45°或∠A′＝135°，故选D.2．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则(C)A．A′B′＝2C′D′ B．A′B′＝C′D′C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝eq\f(1,2)C′D′[解析]∵AB∥x轴，CD∥y轴，∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.3．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(C)A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等边三角形[解析]将其还原成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故选C.4．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A′B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A′B′＝4，则△ABC的面积是(B)A．8 B．8eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)[解析]∵A′B′＝4，O′C′⊥B′C′，O′C′＝B′C′，∴O′C′＝2eq\r(2)，则△ABC如图所示，其中AB⊥AC，AB＝4，AC＝4eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝8eq\r(2).5．(多选题)如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，则关于平面四边形OABC有(BD)A．图形为矩形 B．周长为8cmC．边OC的长度为2cm D．面积为2eq\r(2)cm2[解析]把直观图O′A′B′C′还原为原图形OABC，如图所示，所以原图形OABC为平行四边形，故A错误；依据题意，OA＝O′A′＝1cm，OB＝2O′B′＝2eq\r(2)cm，AB＝OC＝eq\r(1＋8)＝3cm，平面四边形OABC的周长为3＋3＋1＋1＝8cm，故B正确，C错误；所以平行四边形OABC的面积S＝2eq\r(2)×1＝2eq\r(2)cm2，故D正确．二、填空题6.如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_10__.[解析]由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.7．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为eq\f(\r(2),2).[解析]如图，B′C′＝1，B′到x′轴的距离为1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).故答案为eq\f(\r(2),2).8．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为_10__.[解析]由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.三、解答题9.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．[解析]在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝eq\f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D的面积为eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).10．用斜二测画法画出底面边长为1.4cm高为0.9cm的正四棱锥的直观图．[解析](1)画轴，如图1画x′轴，y′轴，z′轴使得∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面以点O′为中心，在x′轴上画MN＝1.4cm，在y′轴上画PQ＝0.7cm，分别过点M，N作y′轴的平行线，过点P，Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，则四边形ABCD就是该棱锥的底面．(3)画高确定顶点，在z′轴上截取O′S＝0.9cm.(4)连线成图，连接SA，SB，SC，SD(留意区分实线和虚线)，去掉协助线，就得到了正四棱锥的直观图，如图2所示．B组·素养提升一、选择题1．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(C)[解析]按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的eq\f(1,2)，并留意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C.2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(B)A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8[解析]由题可知O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°，∴O′A′＝2eq\r(2)，还原直观图可得原平面图形，如图，则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2eq\r(2)，AB＝DC＝2，∴AD＝eq\r(OA2＋OD2)＝eq\r(2\r(2)2＋42)＝2eq\r(6)，∴原平面图形的周长为4eq\r(6)＋4.故选B.3．(多选题)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是(AC)A．梯形的直观图照旧是梯形B．若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为eq\r(6)C．△ABC的直观图如图所示，A′B′在x′轴上且A′B′＝2，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝eq\r(2)，则△ABC的面积为4D．菱形的直观图可以是正方形[解析]由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图照旧是梯形，故A正确；直观图面积为eq\f(\r(3),4)×4＝eq\r(3)，依据直观图与原图面积关系可得eq\r(3)＝eq\f(\r(2),4)S，解得S＝2eq\r(6)，故B错误；直观图中S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，则△ABC的面积S＝eq\f(\r(2),\f(\r(2),4))＝4，故C正确．由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图肯定是邻边不等的平行四边形，故D错误．故选AC.二、填空题4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是_AC__.[解析]画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，明显，AC边最长．5．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为6eq\r(2).[解析]作线段C′D∥y′，交x′轴于点D，则C′D＝eq\f(B′C′,sin45°)＝eq\f(3,\f(\r(2),2))＝3eq\r(2)，所以边AB上的高为2C′D＝6eq\r(2).故答案为6eq\r(2).三、解答题6．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图．[解析](1)画轴．如图1所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．C组·探究创新如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．[解析]画出平面直角坐标系x