新教材2025版高中数学课时作业47柱锥台的侧面展开与面积北师大版必修第二册

课时作业47柱、锥、台的侧面绽开与面积[练基础]1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为()A．1:2B．1:1C．1:4D．4:12．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．1443．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的表面积是()A．3πB．3eq\r(3)πC．6πD．9π4．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为()A．20＋4eq\r(2)B．24C．24＋4eq\r(2)D．285．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是eq\r(5)，则该正四棱锥的表面积为________．6．已知正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm2)．[提实力]7．[多选题]长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1，则()A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3eq\r(2)D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2eq\r(5)8．已知一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是________．9．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．[战疑难]10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)：底面ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为()A．8＋6eq\r(2)B．8＋8eq\r(3)C．6eq\r(2)＋2eq\r(3)D．8＋6eq\r(2)＋2eq\r(3)

课时作业47柱、锥、台的侧面绽开与面积1．解析：S1＝2π·1·2＝4π，S2＝2π·2·1＝4π，∴S1＝S2.故选B.答案：B2．解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，所以表面积S＝48(3＋eq\r(3))．答案：A3．解析：依据轴截面面积是eq\r(3)，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4．解析：由直观图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝20＋4eq\r(2).答案：A5．解析：由题得该正四棱锥侧面三角形的斜高h＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2)＝2.所以该正四棱锥的表面积S＝S底面＋4×S侧面＝2×2＋4×eq\f(1,2)×2×2＝12.答案：126．解析：如图所示，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2(cm)，∠OPE＝30°，∴PE＝2OE＝4(cm)，因此，S棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32(cm2)．S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．7．解析：长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A错误．长方体的体积为3×2×1＝6，B正确．如图(1)所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.求表面上最短(长)距离可把几何体绽开成平面图形，如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1绽开，则有AC1＝eq\r(52＋12)＝eq\r(26)，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是eq\r(26)；如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1绽开，则有AC1＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3eq\r(2)；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1绽开，则有AC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2eq\r(5).因为3eq\r(2)<2eq\r(5)<eq\r(26)，所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是3eq\r(2)，C正确，D不正确．故选BC.答案：BC8．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，所以S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，又S侧＝h2＝4π2r2，所以eq\f(S表,S侧)＝eq\f(1＋2π,2π).答案：eq\f(1＋2π,2π)9．解析：(1)圆锥的母线长为eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)(cm)，∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2eq\r(10)＝4eq\r(10)π(cm2)．(2)该几何体的轴截面如图所示．设圆柱的底面半径为rcm，由题意，知eq\f(r,2)＝eq\f(6－x,6)，∴r＝eq\f(6－x,3).∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝eq\f(2π,3)(－x2＋6x)＝－eq\f(2π,3)[(x－3)2－9]，∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6πcm2.10．解析：∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，EF∥AB，∴侧面ABFE，CDEF是等腰梯形，且两等腰梯形全等，易得等腰梯形的高为eq\r(3).∴S梯形ABFE＝S梯形CDEF＝eq\f(1,2)×(2＋4