2022年广东省佛山一中高三数学第一学期期末检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（）A． B． C． D．2．已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）A．2k B．4k C．4 D．23．下列函数中，在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．4．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知复数，其中，，是虚数单位，则（）A． B． C． D．6．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．“若，则”的逆命题为真命题C．，使成立D．“若，则”是真命题7．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势8．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知函数，则的最小值为()A． B． C． D．10．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（）A．的值域是 B．是奇函数C．是周期函数 D．是增函数11．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了12．已知三棱柱()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________，该几何体的表面积为_________．15．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面，所在平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是__________.16．已知，满足，则的展开式中的系数为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在正四棱柱中，，，过顶点，的平面与棱，分别交于，两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求证：与不垂直；（3）若平面与棱所在直线交于点，当四边形为菱形时，求长.18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围.19．（12分）已知函数（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：20．（12分）的内角，，的对边分别是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面积.21．（12分）已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由22．（10分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程；直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.2、D【解析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程；当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.3、C【解析】

由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增，而在递减.故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.4、C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.5、D【解析】试题分析：由,得,则，故选D.考点：1、复数的运算；2、复数的模.6、D【解析】选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．选项C，由题意知对，都有，故C不正确．选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．选D．7、D【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.8、D【解析】

“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.9、C【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.【详解】由于，故其最小值为：.故选：C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.10、C【解析】

根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为选项A，函数，故错误；选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【点睛】本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.11、C【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.12、C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有由知，因此.故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题14、；【解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积．15、【解析】

根据与相似，，过作于，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出，，利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在平面内的动点，且满足，又，∴与相似∴，即，过作于，设，，∴，化简得：，，根据函数单调性判断，时，取得最大值36，，在正方体中平面.三棱锥体积的最大值为【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.16、1【解析】

根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．【详解】由题意，．∴的展开式中的系数为．故答案为：1．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】

（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.【详解】（1）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形；（2）因为，两点不在棱的端点处，所以，又四边形是平行四边形，，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）如图，延长交的延长线于点，若四边形为菱形，则，易证，所以，即为的中点，因此，且，所以是的中位线，则是的中点，所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用勾股定理结合条件求得和，利用椭圆的定义求得的值，进而可得出，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出，利用几何法求得直线截圆所得弦长，可得出关于的函数表达式，利用不等式的性质可求得的取值范围.【详解】（Ⅰ）在椭圆上，，，，，，，又，，，，椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设点、，联立消去，得，，则，，设圆的圆心到直线的距离为，则.，，，，的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；（2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证.【详解】（1）对任意恒成立等价于对任意恒成立，令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；有最大值，.（2）证明：由（1）知，当时，即，，，令，则，令，则，在上是增函数，又，当时，；当时，，在上是减函数，在上是增函数，，即，．【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.20、（1）（2）【解析】

（1）利用余弦定理可求，从而得到的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求.【详解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因为，所以.（2）由，得.由正弦定理，得，因为，所以.又因，所以.所以的面积.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.21、（1）见解析（2）不存在，见解析【解