2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练4基本不等式

专练4基本不等式[基础强化]一、选择题1．函数y＝2x＋eq\f(2,2x)的最小值为()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4答案：C解析：因为2x>0，所以y＝2x＋eq\f(2,2x)≥2eq\r(2x·\f(2,2x))＝2eq\r(2)，当且仅当2x＝eq\f(2,2x)，即x＝eq\f(1,2)时取“＝”．故选C.2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则eq\f(1,ab)的最小值为()A．2B．eq\f(1,2)C．4D．eq\f(1,4)答案：B解析：∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴0<ab≤2，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，∴eq\f(1,ab)的最小值为eq\f(1,2).3．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为4C．当x>0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2D．当0<x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值答案：C解析：当x∈(0，1)时，lgx<0，故A不成立，对于B中sinx＋eq\f(4,sinx)≥4，当且仅当sinx＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－eq\f(1,x)在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2eq\r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2(当且仅当eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))即x＝1时等号成立).故C正确．4．下列不等式恒成立的是()A．a2＋b2≤2abB．a2＋b2≥－2abC．a＋b≥2eq\r(|ab|)D．a＋b≥－2eq\r(|ab|)答案：B解析：对于A，C，D，当a＝0，b＝－1时，a2＋b2＞2ab，a＋b＜2eq\r(ab)，a＋b＜－2eq\r(|ab|)，故A，C，D错误；对于B，因为a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|≥－2ab，所以B正确．故选B.5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则eq\f(xy,2x＋y)的最大值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,9)D．eq\f(1,12)答案：C解析：x＋2y＝1⇒y＝eq\f(1－x,2)，则eq\f(xy,2x＋y)＝eq\f(x－x2,3x＋1).∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴0<x<1.设3x＋1＝t(1<t<4)，则x＝eq\f(t－1,3)，原式＝eq\f(－t2＋5t－4,9t)＝eq\f(5,9)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,9)＋\f(4,9t)))≤eq\f(5,9)－2eq\r(\f(4,81))＝eq\f(1,9)，当且仅当eq\f(t,9)＝eq\f(4,9t)，即t＝2，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)时，取等号，则eq\f(xy,2x＋y)的最大值为eq\f(1,9)，故选C.6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为()A．8B．4C．2D．1答案：B解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.7．若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5答案：C解析：因为直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)即a＝b＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为()A．12B．2C．3D．6答案：D解析：∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(32)＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6.9．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2B．16cm2C．4cm2D．5cm2答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为xcm，ycm，则x＞0，y＞0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(42,4)＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2.故选C.二、填空题10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq\f(1,8b)的最小值为________.答案：eq\f(1,4)解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋eq\f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b)＝2eq\r(2a－3b)＝2eq\r(2－6)＝eq\f(1,4).当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋eq\f(1,8b)取得最小值为eq\f(1,4).11．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．答案：36解析：∵x>0，a>0，∴4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即：x＝eq\f(\r(a),2)时等号成立，由eq\f(\r(a),2)＝3，a＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．答案：2＋eq\r(3)解析：由3a＋b＝2ab，得eq\f(3,2b)＋eq\f(1,2a)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋eq\f(b,2a)＋eq\f(3a,2b)≥2＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(3a,2b))＝2＋eq\r(3)(当且仅当eq\f(b,2a)＝eq\f(3a,2b)即b＝eq\r(3)a时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案：C解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9(当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即b＝2a时等号成立).14.(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b＞eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)答案：ABD解析：对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥eq\f(1,2)，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝eq\f(1,2)，正确；对于选项C，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，则log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)＜－2，错误；对于选项D，∵eq\r(2)＝eq\r(2（a＋b）)，∴[eq\r(2（a＋b）)]2－(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，正确．故选ABD.15．(多选)已知a，b，c为正实数，则()A．若a＞b，则eq\f(a,b)＜eq\f(a＋c,b＋c)B．若a＋b＝1，则eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值为1C．若a＞b＞c，则eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)D．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为3答案：BCD解析：因为a>b，所以eq\f(a,b)－eq\f(a＋c,b＋c)＝eq\f(c（a－b）,b（b＋c）)＞0，所以eq\f(a,b)＞eq\f(a＋c,b＋c)，选项A不正确；因为a＋b＝1，所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋b))－(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号，所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值为1，故选项B正确；因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（a－b）＋（b－c）))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，当且仅当b－c＝a－b时取等号，所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)，故选项C正确；因为a2＋b2＋c2＝eq\f(1,3)[(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥eq\f(1,3)(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝eq\f(1,3)[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)2＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以a2＋b2＋c2的最小值为3，故选项D正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总