2023-2024学年山西省临汾市部分学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山西省临汾市部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=−1+3i，则i(z−A.−23 B.−23i 2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=4c，B=π3，则sinC=(

)A.38 B.34 C.3.某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分层随机抽样(按男员工、女员工进行分层)的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为(

)A.21 B.24 C.27 D.304.若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了(

)A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍5.若非零向量a，b满足|a+b|=|a−2A.|a|的最大值为14 B.|a|的最大值为1 C.|a|6.如图，在四棱锥O−ABCD中，侧棱长均为2，正方形ABCD的边长为3−1，E，F分别是线段OB，OC上的一点，则AE+EF+FD的最小值为(

)A.2

B.4

C.22

7.从正四面体的6条棱中随机选择2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为(

)A.110 B.18 C.168.苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样(高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔).某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A，B(A为东塔塔底，B为西塔塔底)在同一水平面内的测量基点C，并测得AB=22米.在点C测得东塔顶的仰角为45°，在点C测得西塔顶的仰角为α(tanα=1.5)，且cos∠ACB=0.75，则苏州双塔的高度为(

)A.30米 B.33米 C.36米 D.44米二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在正△ABC中，D为BC的中点，则(

)A.⟨BA,AD⟩=π6 B.AB⋅AC=210.若z=i3+iA.|z|=2 B.z6的虚部为8

C.11+z611.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1A.正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧面积为24

B.A1B与平面BDD1B1所成角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若一组数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数m的最小值为______．13.已知向量a=(t,−1)，b=(t,16t)，t≠0，且a与b的夹角为锐角，则t的取值范围是______(用区间表示)．14.在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB=5，PD=4，PE=λPD，PB/​/平面EAC，则λ=______，四面体ACDE的外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在[45,95]内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分(各组数据以该组数据的中点值作代表)；

(3)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数．16.(本小题15分)

如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，G分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，AF=3F17.(本小题15分)

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立．

(1)若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；

(2)若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率．18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且c=2．

(1)若C=π3，求△ABC周长的最大值．

(2)设acosB=bcosA+63，sin(A−B)=1010．

(ⅰ)求△ABC外接圆的半径19.(本小题17分)

如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=32．

(1)证明：平面PAC⊥平面PBD．

(2)若以P为球心，半径为17的球与直线BC只有1个公共点，求二面角P−BC−A的正切值．

(3)已知当x=6时，f(x)=x3

答案解析1.A

【解析】解：因为复数z=−1+3i，

所以i(z−z−)=i[−1+2.A

【解析】解：因为b=4c，B=π3，

由正弦定理可得：csinC=bsinB，

可得sinC=3.C

【解析】解：根据分层抽样原理得，男员工的样本量为47×940−400940=27人．

故选：4.B

【解析】解：设新圆台与原圆台的体积分别为V2，V1，

则V2V1=π3×5×(15.C

【解析】解：若|a+b|=|a−2b|，两边同时平方得|a+b|2=|a−2b|2，

可得|a|2+2a⋅b+|b|2=|a|2−4a⋅b+4|b|2，化简得2a⋅b6.A

【解析】解：如图，将正四棱锥的侧面展开，则AE+EF+FD的最小值为AD，

在△OAD中，OA=OD=2，

cos∠AOB=OA2+OB2−AB22OA⋅OB=2+2−(7.D

【解析】解：所有的选法共有C62=15种，而选出的这2条棱所在直线互相垂直的选法共有3种，

故这2条棱所在直线互相垂直的概率为315=18.B

【解析】解：设苏州双塔的高度为ℎ米，依题意可得AC=ℎ米，BC=ℎ1.5=2ℎ3米，

因为cos∠ACB=0.75，

所以由余弦定理得222=ℎ29.BCD

【解析】解：由题意，在正△ABC中，D为BC的中点，

则〈BA,AD〉=π−π6=5π6，故A错误；

由AB⋅ACAD2=12|AB|2(32|AB10.BC

【解析】解：因为z=i3+i16=−i+1=1−i，所以|z|=12+(−1)2=2，选项A错误；

因为z2=(1−i)2=1−2i+i211.ABD

【解析】对于A，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧面积为2×3×4=24，故A正确；

对于B，设A1C1∩B1D1=O1，

因为A1C1⊥B1D1，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥A1C1，BB1∩B1D1=B1，

所以A1C1⊥平面BDD1B1，

则∠A112.6

【解析】解：将数据从小到大排列：3，3，4，6，m，7，8，9，

因为8×40%=3.2，

所以第40百分位数为第4个数，即为6，

所以m≥6，则m的最小正整数值为6．

故答案为：6．

13.(−∞,−116【解析】解：因为a与b的夹角为锐角，所以a⋅b>0且a、b不共线，

因为a=(t,−1)，b=(t,16t)，t≠0，

所以t2−16t>0且16t2≠−t，解得t>16或t<0且t≠−11614.12

54π【解析】解：连接BD交AC于点O，连接OE，因为PB，OE共面，且PB/​/平面EAC，

所以PB/​/OE，易知O为BD的中点，

所以E为PD的中点，所以λ=12，

四面体ACDE可以补形为一个长方体，

所以四面体ACDE的外接球的半径R=52+52+222=5415.解：(1)由频率分布直方图可得(0.010+2a+0.025+0.035)×10=1，解得a=0.015．

(2)由题意，估计平均分为50×0.1+60×0.15+70×0.25+80×0.35+90×0.15=73分．

(3)由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.015×10=0.15，

则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，

故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为1200×0.15=180．

【解析】(1)根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解；

(2)根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；

(3)根据频率估计概率，即可求解人数．

16.(1)解：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直底面，

则BG⊥AB，BG⊥BC.依题意得BG=1，AB=BC=2，

则AG=CG=5，

所以△ACG的面积S=12×2×5−1=2．

设点B到平面ACG的距离为ℎ，则由VB−AGG=VG−ABC，

得13ℎ×2=13×34×22×1，解得ℎ=32；

(2)证明：因为D，E分别为A1B1，B1C1的中点，

所以DE/​/A1C1，又AC/​/A1C1，所以DE/​/AC．

因为AC⊂平面ACG，DE⊄平面ACG，所以DE/​/平面ACG．

取A【解析】(1)利用体积可求点到面的距离；(2)根据平面与平面平行的判定即可证明．

17.解：(1)若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲，

则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，

故所求概率为0.72+(1−0.7)×(1−0.5)=0.64；

(2)前5次投篮中乙投篮次数为5的概率p1=0.54=0.0625，

若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或前3次乙有1次投篮未命中且甲投篮未命中，

所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；

(2)利用独立事件的概率乘法公式求解．

18.解：(1)因为c=2，C=π3，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=232=433，

所以a=433sinA，b=433sinB，

所以a+b=433(sinA+sinB)=433[sinA+sin(A+π3)]=433(sinA+12sinA+32cosA)=4sin(A+π6)，

△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<B=2π3−A<π2，

可得π6<A<π2，

所以π3<A+π6<2π3，

所以sin(A+π6)∈(32,1]，

所以a+b∈(23,4]，

所以△ABC的周长(2+23,6]，

即△ABC的周长的最大值为6；

(2)(i)因为acosB=bcosA+【解析】(1)由正弦定理可得a，b的表达式，再由锐角三角形中，可得角A的范围，可得a+b的范围；

(2)(i)由题意及正弦定理可得△ABC的外接圆的半径的值；

(ii)求出△ABC的面积的表达式，求出cos(A+B)，再求出cos(A−B)的值，进而求出sinAsinB19.解：(1)证明：设AC与BD交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，

因为AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，

在正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，

因为PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD，

又AC⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBD；

(2)因为以P为球心，半径为17的球与直线BC只有1个公共点，

所以点P到直线BC的距离为17，

取BC的中点E，连接PE，OE，因为PB=PC，

所以PE⊥BC，OE