2023-2024学年北京市房山区高二下学期学业水平调研（二）数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市房山区高二下学期学业水平调研（二）数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}满足an+1=−2anA.14 B.4 C.−3 D.2.函数y=f(x)的图象如图所示，则(

)

A.f′(1)>f′(3) B.f′(1)=f′(3) C.f′1<f′33.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为r1,r2,r3,A.r1 B.r2 C.r34.设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，使SA.4 B.5 C.6 D.4或55.要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有(

)A.72种 B.120种 C.96种 D.60种6.在x+2x6的展开式中，x2A.15 B.60 C.6 D.127.某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110.A.8225 B.110 C.388.为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高(单位：cm)，得到的数据如表所示．编号1234567891011121314父亲身高x174170173169182172180172168166182173164180儿子身高y176176170170185176178174170168178172165182父亲身高的平均数记为x，儿子身高的平均数记为y，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为y=0.839x+28.957.则下列结论中正确的是(

)A.y与x正相关，且相关系数为0.839

B.点(x,y)不在回归直线上

C.x每增大一个单位，y增大0.839个单位

D.当x=176时，y9.设随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是(

)X123456PppppppA.P(X≥4)=1−P(X≤3)

B.随机变量X的数学期望EX可以等于3.5

C.当pn=12nn=1,2,3,4,5时，10.已知数列A：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, ⋯ ，其中第一项是20，接下来的两项是20, 21，再接下来的三项是20,21, 22，依此类推．SA.16 B.95 C.189 D.330二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若f(x)=x，则f′4=12.若x−14=a0+a1x+a2x13.为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答20个问题，记分规则是：每答对一题得5分，答错一题扣3分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取1名，设其答对的问题数量为X，最后得分为Y分．当X=10时，Y的值为

；若P(Y≥60)=0.7，则P(X<15)=

．14.设无穷数列{an}的通项公式为an=−n2+λn+3 (λ>2).若15.已知函数fx=①当a=0时，f(x)在定义域上单调递增；②对任意a>0，f(x)存在极值；③对任意a>2，f(x)存在最值；④设f(x)有n个零点，则n的取值构成的集合是{1,2,3,4}．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（12分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且a2=3，a3=5(1)求an和b(2)设cn=an+bn，求数列17.（12分）已知函数f(x)=−x(1)求函数f(x)的极值点；(2)若f(x)的极小值为−10，求函数f(x)在[−2,2]上的最大值．18.（12分）袋子中有5个大小和质地相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球．(1)求第一次摸到白球的概率；(2)求第二次摸到白球的概率；(3)求两次摸到的小球颜色不同的概率．19.（13分）人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项)，统计结果如下：软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计大学生人数40204020假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响．(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；(2)采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)从该地区的大学生中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为Y，Y的方差记作D(Y)，(2)中X的方差记作D(X)，比较D(X)与D(Y)的大小．(结论不要求证明)20.（13分）已知函数fx=(1)当a=0时，求曲线y=fx在x=0(2)当a>0时，求函数fx(3)若对于任意的x∈2,+∞，有fx≥0，求21.（13分）若数列{an}满足：对任意n∈N∗，都有an+1(1)若an=2n−1，bn=2n−1，判断(2)已知{an}是等差数列，a1=2，其前n项和记为Sn，若{a(3)已知{an}是各项均为正整数的等比数列，a1=1，记bn=an3,cn=an+1n答案解析1.B

【解析】由an+1=−2a又a1=1，所以{an}∴a故选：B2.C

【解析】根据函数的图象，应用导数的几何意义是函数的切线斜率，在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，所以f′1<f′3，A又因为f′1<f′3<0，所以故选：C．3.A

【解析】因③图形比较分散，则r3≈0；因①②④相较③接近于一条直线附近，则又②为下降趋势，则r2<0，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则综上，r1故选：A4.D

【解析】设公差为d，由a2=−3，所以a1+d=−35a1令an≥0，解得n≥5，则数列an所以当n=4或n=5时Sn故选：D5.A

【解析】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有C3第二步：将剩余得4个节目全排列，共有A4所以共有C3故选：A6.B

【解析】由已知可得x+2x6令6−2r=2，解得r=2，所以T3=C故选：B．7.D

【解析】设事件A为当天下雨，事件B为当天刮风，则PB=2则已知刮风的条件下，也下雨的概率PA故选：D．8.C

【解析】A选项，因0.839>0，则y与x正相关，但相关系数不是0.839，故A错误；B选项，回归方程过定点(x,yC选项，由回归方程可知x每增大一个单位，y增大0.839个单位，故C正确；D选项，回归方程得到的y为预测值，不一定满足实际情况，故D错误．故选：C9.D

【解析】A选项：由已知p1+p2+B选项：当p1=p2=C选项：由pn=12nD选项：由pn=1n(n+1)=1n故选：D．10.B

【解析】将数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：2第二组：2第三组：2……第k组：2根据等比例数列前n项公式，得每组和分别为：21每组含有的项数分别为N=1+2+3+⋯+k+k所以S若Sn=2将选项A代入，若n=16，则k=5，即S16为前5组与第6组的第1此时S16=2同理若n=95，则k=13，此时S95=2同理若n=189，则k=18，此时S189=S同理若n=330，则k=25，此时S330=2综上可知，n=95，故选：B11.14【解析】由f(x)=x可得∴f′(4)=1故答案为：112.1；−8

【解析】由题意知，令x=0可得0−14=a由二项展开式的通项可得，C43xC41x即a1故答案为：1,−813.20；0.3/3【解析】由题意知，说明答对10道题，答错10道题，又答对得5分，答错得−3分，所以最后得分Y=5X−320−X即当X=10时，Y=20;若Y≥60，即8X−60≥60，可得X≥15，∴P(Y≥60)=P(X≥15)=1−P(X<15)=0.7，∴P(X<15)=0.3，故答案为：20；0.314.λ=52(答案不唯一，λ∈(2,3)【解析】由an=−n又{an}即−n+1整理得−2n−1+λ<0恒成立，即λ<2n+1∴λ<3，又因为λ>2，所以2<λ<3，即λ取值范围为λ∈(2,3)，故答案为：λ=52(答案不唯一，15.②③④

【解析】对于①，当a=0时，fx对于②，当a>0时，函数f(x)=−x2−ax−1,x≤0在(−∞,−函数f(x)在x=−a2处取得极大值，因此对任意a>0，f(x)存在极值，对于③，当a>2时，∀x∈(−∞,0],−当x>0时，f′(x)=1x−(a−2)，由f′(x)>0，得0<x<1a−2即函数f(x)在(0,1a−2)上单调递增，在(因此x∈R，f(x)max=对于④，当a≤0时，函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，f(x)≤f(0)=−1，在−∞,0上无零点，f(x)=lnx−(a−2)x+1在(0,+∞)上单调递增，f(ea−3)=a−3+(2−a)ea−3当0<a<2时，f(−a2)=a24−1<0当a=2时，f(−a2)=a24−1=0，f(x)=当2<a<3时，f(−a2)=a2当x>0时，f(1a−2)=当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于负无穷大，即f(x)在(0,+∞)上有两个零点，n=4；当a=3时，f(−a2)=a24−1>0，f(x)当a>3时，f(−a2)=a24−1>0，f(x)因此n的取值构成的集合是{1,2,3,4}，④正确，所以所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数．16.(1)设等差数列an的公差为d，a2所以a因为a1=所以q3=27，即等比数列bn所以b1=b所以bn(2)由(Ⅰ)知，an=2n−1，因此c从而数列cn的前nS=n【解析】(1)由an是等差数列求出an=2n−1(2)找出cn17.(1)f′(x)=−3x2令f′x=0，得x=−1或f′x，f(x)x(−∞,−1)−1(−1,3)3(3,+∞)f′−0+0−f递减a递增27+a递减所以x=−1是函数f(x)的极小值点；x=3是函数f(x)的极大值点．(2)因为f(x)的极小值为−10，即f(−1)=1+3−9+a=−10解得a=−5，又f(−2)=−3，

f(2)=17．所以当x=2时，f(x)取得最大值17．【解析】(1)先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；(2)先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可．18.(1)设第一次摸到白球的事件为A，则P(A)=35，即第一次摸到白球的概率为(2)设第二次摸到白球的事件为B，则P(B)=P(BA+B=35×(3)设两次摸到的小球颜色不同的事件为C，则C=AP(C)=P(A=35×【解析】(1)由古典概型计算可得结果；(2)由全概率公式计算可得；(3)根据条件概率公式计算可得．19.(1)设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则P(A)=(2)因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为6×40所以X的所有可能取值为0,1,2，PX=0=C所以X的分布列为：X012P28115EX(或X∼B(N,n,M),则E(3)由(2)可得D(X)=0−由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y∼B可得D(Y)=2×1因此D(Y)>D(X)．【解析】(1)有古典概型计算可得结果；(2)利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得X的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值(或利用超几何分布计算可得结果)；(3)由(2)可得D(X)，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y∼B2,120.(1)由fx=x−2所以当a=0时，有f0=0−2故曲线y=fx在x=0处的切线经过0,−2，且斜率为−1，所以其方程为y=−x−2，即x+y+2=0(2)当0<a<e时，对x∈−∞,lna∪1,+∞有f′x=x−1ex−a>0，对当a=e时，对x∈−∞,1∪1,+∞有f′x=当a>e时，对x∈−∞,1∪lna,+∞有f′x=x−1ex−a>0，对x∈综上，当0<a<e时，fx在−∞,lna和1,+∞当a=e时，fx在−∞,+∞当a>e时，fx在−∞,1和lna,+∞上递减，在(3)我们有fx当a≤e2时，由于lna≤2，1<2，故根据(2)的结果知f故对任意的x∈2,+∞，都有f当a>e2时，由于lna>2所以原结论对x=ln综上，a的取值范围是−∞,e【解析】(1)直接计算导数，并利用导数的定义即可；(2)对a分情况判断f′x的正负，即可得到f